郭帥杰，王保田，張福海

(河海大學(xué) a. 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b. 巖土工程科學(xué)研究所， 江蘇 南京 210098)

Terzaghi一維固結(jié)理論自提出以來(lái)在土體固結(jié)沉降計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用，具有簡(jiǎn)單實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)受了大量工程實(shí)踐檢驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出適于吹填土固結(jié)的各種修正方法擴(kuò)展Terzaghi理論的應(yīng)用范圍[1]。但Terzaghi理論主要應(yīng)用于大范圍線彈性小變形飽和土體固結(jié)計(jì)算，對(duì)壓縮性大、孔隙比高的吹填土體固結(jié)問(wèn)題存在理論應(yīng)用上的局限[2]，計(jì)算結(jié)果與土體實(shí)際沉降相差甚遠(yuǎn)。Gibson[3]等采用流動(dòng)坐標(biāo)代替空間坐標(biāo)避免土體沉降引起的坐標(biāo)誤差建立大變形固結(jié)方程，在吹填土、淤積土、河、海相新沉積粘土等軟土體大變形固結(jié)計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用。

Terzaghi理論方程建立過(guò)程中并沒(méi)有小變形約束，僅在利用邊界條件求解固結(jié)方程解析解時(shí)采用小變形假定，小變形固結(jié)方程是Gibson大變形固結(jié)方程某些假定情況下的簡(jiǎn)化處理[4]。Terzaghi理論在固結(jié)方程建立流程上不存在小變形限制，那么通過(guò)有限應(yīng)變理論與固結(jié)參數(shù)固結(jié)過(guò)程中的連續(xù)修正方法將經(jīng)典固結(jié)理論推廣到軟土地基的大變形固結(jié)沉降計(jì)算是可行的。

Mikasa和Gibson[5]作為一維大變形固結(jié)理論的主要開(kāi)拓者，都致力于將Terzaghi小變形理論推廣到更普遍的大變形固結(jié)理論。謝新宇[6]等對(duì)大變形固結(jié)系數(shù)進(jìn)行研究，得到不同情況下固結(jié)系數(shù)的變化趨勢(shì)。Duncan[7]的研究指出假定固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中恒定是不合理的，土體在固結(jié)過(guò)程中表現(xiàn)出非線性非彈性特點(diǎn)。因而，應(yīng)用非線性土體本構(gòu)方程表征固結(jié)參數(shù)的變化趨勢(shì)，以及在固結(jié)沉降計(jì)算中的具體應(yīng)用是值得深入研究的內(nèi)容。

Terzaghi固結(jié)方程求解的關(guān)鍵是固結(jié)系數(shù)固結(jié)過(guò)程中的常數(shù)性假定。土體固結(jié)系數(shù)與滲透性、壓縮性相關(guān)，而滲透性、壓縮性隨土體固結(jié)過(guò)程連續(xù)變化可分別表達(dá)為孔隙比的非線性函數(shù)，固結(jié)系數(shù)也不為常數(shù)，隨固結(jié)過(guò)程不斷變化，將固結(jié)系數(shù)表達(dá)為孔隙比表達(dá)式更能反映吹填土固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中變化規(guī)律[8]。Terzaghi固結(jié)方程解析解應(yīng)滿足小變形假定，將大變形沉降應(yīng)用有限應(yīng)變理論分段表達(dá)，滿足小變形條件(1%～5%)，逐級(jí)疊加求解各步長(zhǎng)沉降量，得到固結(jié)沉降曲線。

1 Terzaghi固結(jié)方程

Terzaghi理論以超孔壓為控制變量，根據(jù)邊界條件與初始超孔壓分布求解固結(jié)方程。為便于控制應(yīng)變步長(zhǎng)與時(shí)間步長(zhǎng)，以孔隙比作為方程變量，根據(jù)邊界條件與初始條件獲得方程解析解。

圖1 土層單向固結(jié)示意圖

1.1 超孔隙水應(yīng)力固結(jié)方程及解析解

圖1所示固結(jié)土層場(chǎng)地條件下，土層坐標(biāo)零點(diǎn)位于底部不可壓縮層，方向豎直向上，排水上邊界，下邊界不透水，初始超孔壓分布為u0，靜孔壓分布為u。超孔壓控制變量固結(jié)方程為

(1)

式中，u為超靜孔隙水應(yīng)力；cv為固結(jié)系數(shù)；t為固結(jié)時(shí)間維度；z為固結(jié)土層空間坐標(biāo)。

(2)

式中，Ω為排水邊界；Γ為不透水邊界。

應(yīng)用分離變量法，(1)式在(2)式條件下解析解為

(3)

1.2 孔隙比固結(jié)方程及解析解

圖1中土層固結(jié)示意圖中邊界條件下，孔隙比控制變量固結(jié)沉降歸結(jié)為(4)式固結(jié)問(wèn)題。

(4)

應(yīng)用分離變量法，方程(4)式解析解為

(5)

式中，n為自然常數(shù)(n=1,2,…)。式(5)可得單面排水情況下任一點(diǎn)、任意時(shí)刻相對(duì)初始狀態(tài)沉降量S(z,t)與平均應(yīng)變固結(jié)度Ut

(6)

式中，St，S∞為固結(jié)歷時(shí)t后沉降量和穩(wěn)定沉降量。

2 修正Terzaghi理論

2.1 固結(jié)參數(shù)固結(jié)過(guò)程中的變異性

滲透性、壓縮性作為最重要的固結(jié)參數(shù)在吹填土體固結(jié)過(guò)程連續(xù)變化，不滿足Terzaghi常量假定，兩固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過(guò)程中變化趨勢(shì)如圖2所示，固結(jié)過(guò)程中滲透系數(shù)、壓縮系數(shù)均非常數(shù)。

圖2 土體非線性本構(gòu)關(guān)系

Gibson[3,5]大變形固結(jié)方程求解時(shí)假定方程參數(shù)g(e)，λ(e)為常量，得到有效應(yīng)力、滲透系數(shù)關(guān)于孔隙比的半對(duì)數(shù)表達(dá)式；方開(kāi)澤[9]、洪振舜[10,11]等由淤泥滲透固結(jié)試驗(yàn)，測(cè)定有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比間非線性關(guān)系，采用半對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行擬合；Fox[12]應(yīng)用孔隙比與有效應(yīng)力、滲透系數(shù)間分段線性關(guān)系代替非線性關(guān)系，形成的大變形數(shù)值模型在離心試驗(yàn)中得到較好應(yīng)用。Lucas[13]根據(jù)室內(nèi)沉降柱模擬粘性泥沙沉降試驗(yàn)結(jié)果采用(7)和(8)式擬冪次函數(shù)關(guān)系表達(dá)土體非線性本構(gòu)關(guān)系。

σ′=Kσ(1+e)n

(7)

k=Kk(1+e)m

(8)

式中，e為孔隙比；σ′為有效應(yīng)力；Kσ為有效應(yīng)力參數(shù)；n為有效應(yīng)力指數(shù)參數(shù)；k為滲透系數(shù)；Kk為滲透參數(shù)；m為有效應(yīng)力指數(shù)參數(shù)。

2.2 固結(jié)系數(shù)

一維沉降固結(jié)系數(shù)采用土體非線性本構(gòu)關(guān)系修正，在經(jīng)典Terzaghi固結(jié)系數(shù)計(jì)算基礎(chǔ)上，引入修正固結(jié)變量參數(shù)，反映大變形固結(jié)沉降中固結(jié)參數(shù)的非線性特點(diǎn)。固結(jié)系數(shù)cv一般定義為

(9)

將式(9)中k與mv作為固結(jié)參數(shù)變量以(7)(8)式代入，得到修正一維固結(jié)系數(shù)cv表達(dá)式

(10)

為得到cv在土體固結(jié)過(guò)程變化趨勢(shì)和主要影響因素，將固結(jié)系數(shù)cv關(guān)于孔隙比e求導(dǎo)。

(11)

(11)式中Kk、Kσ為正值，固結(jié)系數(shù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)由-n(n+m)正負(fù)性確定，可預(yù)測(cè)固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中的變化趨勢(shì)。根據(jù)淤積泥沙沉降柱試驗(yàn)結(jié)果，n=-3.40；m=7.72，cv′>0恒成立，即固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中保持減小趨勢(shì)[14,15]。

2.3 修正Terzaghi理論在大變形固結(jié)中應(yīng)用

為修正大變形問(wèn)題中經(jīng)典Terzaghi固結(jié)理論的適用性問(wèn)題，修正Terzaghi固結(jié)理論以土層有限應(yīng)變固結(jié)理論為基礎(chǔ)，采用分段計(jì)算方法，控制每一個(gè)沉降計(jì)算步長(zhǎng)上的應(yīng)變步長(zhǎng)，使其滿足小變形要求；計(jì)算每一應(yīng)變步長(zhǎng)上對(duì)應(yīng)時(shí)間步長(zhǎng)，經(jīng)沉降累加與時(shí)間累加計(jì)算得到吹填土體時(shí)間維度上的固結(jié)曲線。根據(jù)計(jì)算得到的土體內(nèi)部實(shí)時(shí)孔隙比，調(diào)整每一應(yīng)變步長(zhǎng)上固結(jié)參數(shù)，主要包括平均孔隙比、滲透系數(shù)、體積壓縮系數(shù)、固結(jié)系數(shù)等固結(jié)參數(shù)調(diào)整，每一個(gè)應(yīng)變步長(zhǎng)均采用(5)、(6)式獨(dú)立求解。

限定應(yīng)變步長(zhǎng)ε，由初始孔隙比分布及固結(jié)參數(shù)代入式(5)計(jì)算第i個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)Δti上孔隙比分布ei(z)，由式(12)計(jì)算土層平均孔隙比及應(yīng)變。

(12)

εi<ε，不改變固結(jié)參數(shù)，增大時(shí)間步長(zhǎng)Δti計(jì)算(12)式；εi≥ε，循環(huán)計(jì)算時(shí)i=i+1，T(i)=T(i-1)+Δti為固結(jié)歷時(shí)；固結(jié)參數(shù)由(12)式修正。固結(jié)參數(shù)修正為

(13)

邊界條件為

(14)

代入式(5)進(jìn)行新應(yīng)變步長(zhǎng)計(jì)算ei+1(z)。最后一級(jí)應(yīng)變步長(zhǎng)一般達(dá)不到ε，設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)限值tlimit，當(dāng)Δti>tlimit時(shí)強(qiáng)制結(jié)束循環(huán)求解過(guò)程。

2.4 程序?qū)崿F(xiàn)流程

根據(jù)修正Terzaghi理論計(jì)算流程，采用Matlab工具內(nèi)部語(yǔ)言編制計(jì)算程序，通過(guò)循環(huán)調(diào)整計(jì)算得到固結(jié)計(jì)算結(jié)果。程序?qū)崿F(xiàn)流程如圖3所示。

圖3 修正Terzaghi方法程序?qū)崿F(xiàn)流程

3 修正Terzaghi算例驗(yàn)證

應(yīng)用算例從三個(gè)方面對(duì)修正Terzaghi理論適用性及預(yù)測(cè)精度進(jìn)行驗(yàn)證：(1)小變形問(wèn)題修正方法對(duì)比計(jì)算；(2)壓縮系數(shù)、滲透系數(shù)保持不變的大變形固結(jié)問(wèn)題；(3)固結(jié)參數(shù)隨固結(jié)過(guò)程連續(xù)變化的大變形非線性固結(jié)問(wèn)題。算例均采用圖1土層條件。

3.1 小變形固結(jié)問(wèn)題

為驗(yàn)證修正Terzaghi理論計(jì)算固結(jié)問(wèn)題的可行性，將其與小變形固結(jié)問(wèn)題計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)沉降曲線計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性與收斂性驗(yàn)證修正Terzaghi理論的可靠性。算例中，飽和粘土層厚10 m，底邊界不透水不可壓縮，均布荷載240 kPa，初始孔隙比e1=0.8，av=2.5×10-4kPa-1，k=6.342×10-10m/s，穩(wěn)定應(yīng)變量為4.8%，屬于小變形固結(jié)問(wèn)題。采用Terzaghi方法與分段修正方法計(jì)算結(jié)果如圖4所示，其中邊界條件與固結(jié)系數(shù)均不進(jìn)行修正。

圖4 小變形、線彈性固結(jié)問(wèn)題

圖4中小變形固結(jié)問(wèn)題計(jì)算結(jié)果表明，固結(jié)參數(shù)不變情況下，采用修正Terzaghi理論固結(jié)曲線具有很好的收斂性，說(shuō)明小變形條件下修正方法能夠與經(jīng)典理論保持一致，能夠應(yīng)用于小變形固結(jié)計(jì)算。

3.2 壓縮性參數(shù)調(diào)整固結(jié)問(wèn)題

對(duì)于大變形固結(jié)問(wèn)題，固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過(guò)程中連續(xù)變化，采用修正體積壓縮系數(shù)方法修正，滲透系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中保持不變，但固結(jié)系數(shù)連續(xù)變化。將修正理論與Terzaghi理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)沉降曲線計(jì)算結(jié)果的差異確定修正Terzaghi理論計(jì)算大變形固結(jié)的可行性。驗(yàn)證算例中，飽和粘土層厚10 m，不透水不可壓縮底層，均布荷載100 kPa，初始孔隙比e1=4，av=2.0×10-5kPa-1，k=1.0×10-8m/s，穩(wěn)定應(yīng)變量為47%，屬于大應(yīng)變固結(jié)問(wèn)題。采用Terzaghi方法與分段修正方法計(jì)算結(jié)果如圖5所示，其中邊界條件不修正為常量。

圖5 壓縮性修正求解大變形固結(jié)問(wèn)題

圖5結(jié)果表明大變形固結(jié)問(wèn)題采用修正固結(jié)參數(shù)方法能夠反映出土體大變形固結(jié)特性，一定程度上克服基本假定引起的計(jì)算誤差。采用修正方法計(jì)算最終穩(wěn)定沉降量略小于Terzaghi方法，但是修正方法達(dá)到80%固結(jié)度固結(jié)歷時(shí)僅為T(mén)erzaghi方法的一半，符合大變形固結(jié)進(jìn)程快于小變形的一般結(jié)論。

3.3 固結(jié)參數(shù)雙修正計(jì)算

固結(jié)參數(shù)雙修正方法以室內(nèi)沉降柱模擬粘性泥沙沉降試驗(yàn)為基礎(chǔ)，采用式(13)滲透系數(shù)、有效應(yīng)力及固結(jié)參數(shù)修正公式進(jìn)行固結(jié)計(jì)算。土層基本參數(shù)為：固結(jié)起始態(tài)飽和土層厚0.430 m，底層不透水不可壓縮，自重固結(jié)穩(wěn)定，初始孔隙比e1=11.45，Gs=2.75;初始態(tài)壓縮系數(shù)av(1)=0.14 Pa-1，k(1)=5.6×10-6m/s，體積壓縮系數(shù)mv(1)=0.01125 Pa-1，固結(jié)系數(shù)cv(1)=4.98×10-8m2/s，穩(wěn)定應(yīng)變?yōu)?2%，屬于大應(yīng)變固結(jié)問(wèn)題。固結(jié)土體采用式(7)、(8)擬冪次形式本構(gòu)關(guān)系，代入方程參數(shù)進(jìn)一步表達(dá)為(15)式，有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比關(guān)系如圖6(a)、(b)所示。

(15)

圖6 土體非線性本構(gòu)關(guān)系

采用Terzaghi方法與固結(jié)參數(shù)雙修正方法計(jì)算結(jié)果以及沉降柱試驗(yàn)曲線如圖7所示。計(jì)算過(guò)程中，上邊界條件et=11.45保持不變，下邊界條件孔隙比關(guān)于坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)隨固結(jié)過(guò)程根據(jù)式(14)連續(xù)調(diào)整修正。采用1%應(yīng)變修正方法，自重固結(jié)孔隙比在固結(jié)過(guò)程中沿深度分布及發(fā)展曲線如圖8所示。

圖7 壓縮性修正求解大變形固結(jié)問(wèn)題

圖8 孔隙比分布及固結(jié)過(guò)程中發(fā)展變化

圖7實(shí)際沉降曲線與不同層次應(yīng)變修正方法計(jì)算曲線及Terzaghi方法計(jì)算曲線對(duì)比表明修正Terzaghi方法能夠滿足土體大變形固結(jié)沉降特點(diǎn)及計(jì)算要求，與實(shí)際沉降曲線符合良好；經(jīng)典Terzaghi理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際沉降曲線相差甚遠(yuǎn)，固結(jié)進(jìn)程遠(yuǎn)慢于土體實(shí)際沉降進(jìn)程，在大變形固結(jié)計(jì)算中存在較大誤差。圖8中孔隙比在固結(jié)過(guò)程中的變化規(guī)律基本滿足土體自重固結(jié)過(guò)程特點(diǎn)，孔隙比分布與不排水下邊界條件處理相關(guān)，由于邊界條件在固結(jié)過(guò)程中的變化，下邊界附近孔隙比在固結(jié)后期有增大膨脹現(xiàn)象，與土體實(shí)際情況不相符，邊界條件的合理處理對(duì)提高修正Terzaghi方法的計(jì)算精度具有重要意義。

Terzaghi理論求解大變形固結(jié)問(wèn)題的誤差來(lái)源于沉降量引起的較大坐標(biāo)誤差以及固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過(guò)程中的變異性誤差，采用單一不變固結(jié)參數(shù)無(wú)法反應(yīng)固結(jié)過(guò)程的非線性大變形特點(diǎn)。修正方法以有限應(yīng)變理論分步計(jì)算為基礎(chǔ)，應(yīng)變步長(zhǎng)滿足小變形要求并根據(jù)固結(jié)進(jìn)程實(shí)時(shí)進(jìn)行固結(jié)參數(shù)調(diào)整修正，反映出固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過(guò)程的非線性與變異性，擴(kuò)展Terzaghi理論在大變形固結(jié)領(lǐng)域中的應(yīng)用范圍。

4 結(jié) 論

(1) Terzaghi固結(jié)方程在建立過(guò)程中不存在小變形限定，基于有限應(yīng)變理論的修正Terzaghi方法在滿足小變形解析計(jì)算、收斂于小變形解析解基礎(chǔ)上能夠應(yīng)用于吹填土大變形固結(jié)沉降計(jì)算，計(jì)算結(jié)果反映出土體固結(jié)的大變形非線性特點(diǎn)，沉降預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際沉降符合良好。

(2) 采用基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬冪次函數(shù)關(guān)系表征有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比間非線性關(guān)系能夠反映出固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過(guò)程的非線性變化規(guī)律。根據(jù)三個(gè)算例的計(jì)算驗(yàn)證，得到修正Terzaghi方法收斂于小變形固結(jié)計(jì)算，固結(jié)參數(shù)的變化對(duì)固結(jié)進(jìn)程影響巨大以及考慮雙參數(shù)修正方法能夠得到與實(shí)際沉降曲線相匹配計(jì)算結(jié)果的結(jié)論。

(3) 孔隙比控制變量固結(jié)方程邊界條件處理是方程求解的困難所在，由于固結(jié)參數(shù)的變化，孔隙比邊界條件一直改變，賦值不當(dāng)極易造成較大計(jì)算誤差。不排水孔隙比邊界條件的處理是孔隙比變量固結(jié)計(jì)算的關(guān)鍵，特別是考慮吹填土體自重應(yīng)力的欠固結(jié)土固結(jié)計(jì)算，這也是修正Terzaghi方法改進(jìn)的方向。

(4) 應(yīng)變步長(zhǎng)對(duì)固結(jié)計(jì)算結(jié)果有較大影響，但小變形與大變形固結(jié)的分界一直沒(méi)有嚴(yán)格限定。根據(jù)修正計(jì)算、大變形固結(jié)計(jì)算以及Terzaghi固結(jié)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析確定不同土體大小變形固結(jié)界限具有重要工程意義。

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