程鳳林

（衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，河北 衡水053000）

本文介紹了兩種新型期權(quán)定價模型，分別是籃子期權(quán)和亞式期權(quán).籃子期權(quán)通常比單個資產(chǎn)期權(quán)的總價值便宜，它是多種標(biāo)的資產(chǎn)的一個投資組合的期權(quán).亞式期權(quán)又稱為平均價格期權(quán)，是股票期權(quán)的衍生，是在總結(jié)真實(shí)期權(quán)、虛擬期權(quán)和優(yōu)先認(rèn)股權(quán)等期權(quán)實(shí)施的經(jīng)驗教訓(xùn)基礎(chǔ)上推出的.對于籃子期權(quán)和亞式期權(quán)定價理論的研究都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 籃子模型

作為一種新型出現(xiàn)的期權(quán)形式一籃子期權(quán) （Basket Options）從本質(zhì)上說是多種標(biāo)的資產(chǎn)的一個投資組合的.它的收益是根據(jù)其標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)平均價格所決定的，一籃子期權(quán)它對投資費(fèi)用的利用效率較之單個期權(quán)更為高效.

下面將使用Mellin變換方法［1］在Black－Scholes模型框架下研究在常值波動率及無風(fēng)險利率下，求解和分析一籃子期權(quán)的定價模型.第一步，要在滿足Black－Scholes模型推導(dǎo)的假設(shè)條件下建立歐式一籃子期權(quán)的定價模型.

一籃子期權(quán)就是關(guān)于多個標(biāo)的資產(chǎn)的投資組合的期權(quán)，令si（T）（i＝1，L n）表示n種證券價格，μi（i＝1，L n）表示第i種證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利計算的期望收益率，σi（i＝1，L n）表示第i種證券收益率單位時間的方差，K表示期權(quán)的執(zhí)行價格，t表示現(xiàn)在時刻，T表示期權(quán)的到期時刻，V＝V（s1，s2，L sn，t）表示期權(quán)的價格.則歐式一籃子看跌期權(quán)的到期收益（即期權(quán)在T時刻的價值）為：V＝｛K－

這里si（T）（i＝1，L n）表示第i種證券，ωi≥0表示第i種證券的權(quán)重，且 ＝1.

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格過程si在一個過濾的概率空間（－；F；F；P¤）上服從幾何布朗運(yùn)動，也就是說，d si＝siμid t＋siσid zi，這里d zi（i＝1，L n）是n個維納過程，且cor（dzi，dzj）＝ρij（i，j＝1，L n）且i≠j.

假設(shè)V 是基于si（T）（i＝1，L n）的某個看跌期權(quán)或其它期權(quán)的價格，根據(jù)ITO定理［2－4］得到：

對于到期日為T，執(zhí)行價格為K的歐式看跌期權(quán)，結(jié)合其邊界，得到歐式一籃子看漲期權(quán)的定價模型為：

2 亞式期權(quán)

它最早是由美國銀行家信托公司 （Bankers Tr ust）在日本東京推出的.亞式期權(quán)是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一，與通常意義上股票期權(quán)的差別是對執(zhí)行價格的限制，其執(zhí)行價格為執(zhí)行目前半年二級市場股票價格的平均價格.與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的區(qū)別在于：在到期日確定期權(quán)收益時，不是采用標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的市場價格，而是用期權(quán)合同期內(nèi)某段時間標(biāo)的資產(chǎn)價格的平均值，這段時間被稱為平均期.在對價格計算平均時，可采用兩種平均法，分別為算術(shù)平均和幾何平均.

以I1（T）為例對于平均價格型亞式看漲期權(quán)，T時刻其價值為：

其看跌期權(quán)價值為｛K－I1（T）｝＋；而平均執(zhí)行價格型亞式看漲期權(quán)T時刻的價值為：｛sT－I1（T）｝＋，其看跌期權(quán)價值為 ｛I1（T）－sT｝＋.

下面以算術(shù)平均價格的平均價格型亞式看漲期權(quán)為例來建立定價模型.假設(shè)V＝V（s，t，I）是基于算術(shù)平均價格的平均價格型亞式看漲期權(quán)的價格，這里I＝tI1（t），顯然有＝sI.且股票價格的變化過程可以用普通布朗運(yùn)動描述，即：d s＝sμd t＋sσd z.

在dt（dt趨于0）時間后，該投資組合的價值變化為：d∏＝－.得到：

結(jié)合無套利原理，得到Black－Scholes期權(quán)定價模型：

對于到期日為T，執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)，結(jié)合其邊界，得到算術(shù)平均價格的平均價格型亞式看漲期權(quán)的定價模型：

3 結(jié) 語

本文介紹了兩種新型期權(quán)定價模型及其建立過程.一份一籃子期權(quán)要比一籃子單個期權(quán)在費(fèi)用上更有效率，而亞式期權(quán)作為一種新型期權(quán)，對新型定價模型的研究將使得金融市場更加有效率，它將加強(qiáng)市場與市場參與者的相互依賴.由于投資者對其投資最大化的要求和投資組合分散化日益增長的要求，建立新型期權(quán)定價模型具有較大的現(xiàn)實(shí)意義.

［1］ Panini R.Srivastav RP.Option pricing with Mellin transforms［J］.J Mat h Co mp Modell，2004，40：43－56

［2］ Wilmott P，Howynne S.The Mathematics of Financial Derivatives ［M］.London：Cambridge University Press，1995，58－67

［3］ 楊啟帆，方道元.數(shù)學(xué)建模 ［M］.浙江大學(xué)出版社，2003：34－47

［4］ 程鳳林，李樂.Mellin變換在推廣的歐式期權(quán)定價中的應(yīng)用 ［J］.衡水學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，13（04）：95－97

［5］ 程鳳林.Mellin變換在歐式期權(quán)定價中的應(yīng)用 ［J］.衡水學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，11（04）：18－20

［6］ 袁博，張賀，張艷紅.改進(jìn)投資組合模型的一種可行性解法 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，3：74－76