楊 輝， 趙恒華， 付紅栓

（遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧撫順113001）

并聯(lián)機(jī)床作為一種新概念機(jī)床［1－2］，其具有許多傳統(tǒng)機(jī)床所無(wú)法取代的優(yōu)點(diǎn)。在對(duì)機(jī)構(gòu)性能的分析中，機(jī)構(gòu)的奇異性、運(yùn)動(dòng)靈巧性以及平穩(wěn)性是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)性能和靜力學(xué)性能的基礎(chǔ)，也是衡量并聯(lián)機(jī)床工作性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。本文基于一種3－TPT型并聯(lián)機(jī)床作為研究對(duì)象，建立該機(jī)床的數(shù)學(xué)模型，求出雅可比矩陣及其逆矩陣，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用MATLAB軟件以及LabVIEW軟件對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性、靈巧性和穩(wěn)定性進(jìn)行仿真分析，并將其作為以后最優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)的組成

本文所依據(jù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)［3－5］主要由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、固定平臺(tái)、平行機(jī)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)桿等幾部分組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，平行機(jī)構(gòu)由虎克鉸、支撐桿和從動(dòng)平臺(tái)組成。固定平臺(tái)與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上的虎克鉸均按正三角形分布排列，三根驅(qū)動(dòng)桿并聯(lián)安裝；平行機(jī)構(gòu)通過(guò)上、下虎克鉸將固定平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接起來(lái)。機(jī)構(gòu)中的3個(gè)移動(dòng)副為3個(gè)驅(qū)動(dòng)副，在伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)改變桿的長(zhǎng)度，從而調(diào)整運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置。由于空間平行機(jī)構(gòu)限制了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，所以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)只能在空間運(yùn)動(dòng)中保持平動(dòng)。

Fig.1 The diagram of 3－TPT parallel mechanism圖1 3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

建立如圖2所示的空間坐標(biāo)系［5］。機(jī)構(gòu)上下平臺(tái)的鉸鏈中心點(diǎn)均按等邊三角形布置，對(duì)應(yīng)邊分別平行，兩平臺(tái)相對(duì)位置在運(yùn)動(dòng)中總是保持平行，姿態(tài)上沒(méi)有變化。首先，將基礎(chǔ)坐標(biāo)系Ob－XbYbZb建立在固定平臺(tái)中心點(diǎn)上，其中Zb軸垂直向下，Yb過(guò)三角形頂點(diǎn)B1，Xb軸正向與邊B1B3相交；然后，在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)上建立移動(dòng)坐標(biāo)系Op－XpYpZp，其中Zp垂直向下，Yp過(guò)三角形頂點(diǎn)A1，Xp軸正向與邊A1A3相交。

Fig.2 Space coordinate system of 3－TPT parallel mechanism圖2 3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間坐標(biāo)系

令固定平臺(tái)的外接圓半徑為R，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑為r，使得R＞r；設(shè)三根驅(qū)動(dòng)桿A1B1，A2B2，A3B3的長(zhǎng)度分別為l1，l2，l3。由此可知固定平臺(tái)3個(gè)頂點(diǎn)在基礎(chǔ)坐標(biāo)系Ob－XbYbZb中的坐標(biāo)為：

同理，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)在移動(dòng)坐標(biāo)系Op－XpYpZp中的坐標(biāo)為：

因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)保持平行，所以O(shè)p－XpYpZp相對(duì)Ob－XbYbZb的齊次變換矩陣為：

其中（xp，yp，zp）為移動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)Op在基礎(chǔ)坐標(biāo)系Ob－XbYbZb中的坐標(biāo)。

根據(jù)坐標(biāo)變換理論，動(dòng)平臺(tái)3個(gè)頂點(diǎn)在基礎(chǔ)坐標(biāo)系Ob－XbYbZb中的位置可表示為：

根據(jù)式（1）和式（5），由兩點(diǎn)間距離公式可得：

其中c＝R－r，xp，yp，zp為移動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)Op在基坐標(biāo)系Ob－XbYbZb中的坐標(biāo)。該式稱為機(jī)構(gòu)位置反解表達(dá)式。

由式（6）可得出機(jī)構(gòu)位置正解表達(dá)式為：

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性研究

特殊位形是機(jī)構(gòu)的固有性質(zhì)，對(duì)于機(jī)構(gòu)，特別是機(jī)器人機(jī)構(gòu)的工作性能有著很大的影響。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于某個(gè)特定形位時(shí)，其雅可比矩陣為奇異陣，且行列式為零，此時(shí)機(jī)構(gòu)的速度反解不存在，這種機(jī)構(gòu)的位形稱為奇異位形。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于該位形時(shí)，機(jī)構(gòu)的操作平臺(tái)將獲得多余的不可控自由度或者變得剛化而失去部分自由度。當(dāng)機(jī)構(gòu)喪失某些自由度的同時(shí)也會(huì)失去一些功能，而如果機(jī)構(gòu)增加了額外的自由度，將會(huì)使機(jī)構(gòu)失控。所以機(jī)構(gòu)在工作時(shí)要避開(kāi)奇異位置。

在本文中用一階影響系數(shù)作為評(píng)判3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性的標(biāo)準(zhǔn)。一階影響系數(shù)是指從關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)速度向操作空間運(yùn)動(dòng)速度傳遞的廣義傳動(dòng)比，也即雅可比矩陣，其定義式為：

式中，w′為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度矢量，q′為關(guān)節(jié)速度矢量。按定義式，對(duì)式（7）兩邊求導(dǎo)，則可得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為：

由MATLAB軟件計(jì)算雅可比矩陣的行列式為：

由運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程（7）可知，zp≥0，所以移動(dòng)平臺(tái)只能處在固定平臺(tái)的一側(cè)，而不能翻轉(zhuǎn)到另一側(cè)。又因?yàn)閷?shí)際機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不能與固定平臺(tái)重合，所以zp≠0。故而可知雅可比矩陣行列式｜J｜＞0且不趨于∞，由此可知實(shí)際上該機(jī)構(gòu)不存在不定位形。

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧性研究

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的靈巧性是指該系統(tǒng)在當(dāng)前位形狀態(tài)下沿指定方向運(yùn)動(dòng)的能力。它是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)幾何特性的一項(xiàng)重要指標(biāo)，能夠深刻地反應(yīng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。

為了使機(jī)器人在作業(yè)空間內(nèi)任一位置的操作能力都能得到定量的評(píng)估，本文將利用雅可比矩陣的條件數(shù)K（J）作為評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)靈巧性的衡量標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)矩陣的譜范數(shù)可知條件數(shù)與奇異值的關(guān)系為：

式中σmax和σmin是雅可比矩陣J的最大和最小奇異值。該指標(biāo)稱作各向同性指標(biāo)，強(qiáng)調(diào)各方向的映射放大倍數(shù)不能差距太大。由式（11）可以看出矩陣條件數(shù)取值范圍是：

當(dāng)K（J）＝1時(shí)，表示沿各個(gè)方向進(jìn)行的映射放大倍數(shù)完全相等，這種位形稱作各向同性。所以在設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)時(shí)應(yīng)使最小條件數(shù)在操作范圍內(nèi)盡量的小。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸，取3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)各桿最小桿長(zhǎng)Lmin＝8 5 0mm，最大桿長(zhǎng)Lmax＝1 300mm，由此利用LabVIEW軟件和MATLAB軟件就可以仿真出K（J）在不同位形時(shí)的變化情況［7－8］，仿真結(jié)果如圖3，4所示。

Fig.3 Dexterity analysis of parallel mechanism1圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧性分析1

由圖3可以看出，條件數(shù)K（J）的變化與c的取值有著很大的關(guān)系，所以在滿足機(jī)構(gòu)合理的前提下，應(yīng)使c的取值滿足條件數(shù)最小的原則。由圖3，4可知，條件數(shù)K（J）隨機(jī)構(gòu)位姿的變化而連續(xù)變化，沒(méi)有突變發(fā)生，這表明機(jī)構(gòu)沒(méi)有奇異現(xiàn)象，并且在不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下均存在最小K（J）值。這樣在機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，可以根據(jù)仿真結(jié)果，避開(kāi)K（J）值較大的范圍，在滿足工作要求的前提下，使K（J）的值盡可能的接近于1。

Fig.4 Dexterity analysis of parallel mechanism2圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧性分析2

Angeles和Rojas于1987年提出把最小條件數(shù)K（J）min的倒數(shù)定義為度量機(jī)構(gòu)靈巧性的指標(biāo)［6］，其定義式為：

對(duì)于3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，由參數(shù)搜索和仿真結(jié)果可知，其K（J）min＝1.13，即該機(jī)構(gòu)的靈巧性為88.5%，這表明3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的靈巧性，且在其運(yùn)動(dòng)空間沒(méi)有明顯的奇異位姿。

5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平穩(wěn)性研究

平穩(wěn)性是衡量機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的重要指標(biāo)之一。本文用3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度和加速度變化曲線的光滑程度作為平穩(wěn)性的衡量標(biāo)準(zhǔn)。由（8）式可得，

式中q′為關(guān)節(jié)速度矢量，w′為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度矢量，雅可比逆矩陣為：

將公式（14）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，則可得到機(jī)構(gòu)加速度表達(dá)式：

假設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)Op在Z＝1m的截面內(nèi)，（xp，yp，zp）為移動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)Op在基礎(chǔ)坐標(biāo)系Ob－XbYbZb中的坐標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)方程為xp＝0.05cos（t），yp＝0.05sin（t），運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝10s。根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的結(jié)構(gòu)尺寸，R＝600mm，r＝200mm。用MATLAB軟件和LABVIEW軟件得到的驅(qū)動(dòng)桿l1，l2，l3伸縮速度及加速度變化曲線如圖5所示。由圖5可以看出，三根驅(qū)動(dòng)桿的伸縮速度曲線和伸縮加速度曲線連續(xù)且非常光滑，故該機(jī)構(gòu)具有較好的平穩(wěn)性。

Fig.5 Stretching speed and stretching acceleration of the rods l1，l2，l3圖5 l1，l2，l3三桿的伸縮速度和伸縮加速度

6 結(jié)束語(yǔ)

奇異性、靈巧性以及平穩(wěn)性均是分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的重要指標(biāo)。本文針對(duì)3－TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、求解雅可比矩陣，利用MATLAB軟件和LabVIEW軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)的奇異性、靈巧性和平穩(wěn)性做了仿真分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該機(jī)構(gòu)不存在奇異位形，并擁有較好的靈巧性和平穩(wěn)性，為確定工作形位和機(jī)構(gòu)尺寸提供了設(shè)計(jì)依據(jù)。

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