于江，王樹聲

（上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200240）

＊Fitz Hugh－Nagumo方程的小振幅行波解

于江，王樹聲

（上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200240）

論文主要討論了Fitz Hugh－Nagumo方程行波解.此時(shí)，F(xiàn)itz Hugh－Nagumo系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為三維非線性常微分方程組.使用中心流形定理、Lyapunov系數(shù)法對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行高維Hopf分支分析，給出了系統(tǒng)具有小振幅的周期解的參數(shù)條件.

Fitz Hugh－Nagumo方程；行波解；Hopf分支

近年來(lái)，對(duì)于描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)的Fitz Hugh－Nagumo方程

這里f（u）＝u（u－1）（u－a），其中a是常數(shù)，且0＜a＜1／2，b＞0，d＞0，其中b，d都是參數(shù)，人們進(jìn)行了大量的研究.此方程是由Fitzhugh［1］和Nagumo［2］等引入的用來(lái)描述神經(jīng)表層刺激和沿軸突的神經(jīng)沖動(dòng)的傳播的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型之一.

Gao W和Wang J證明了Fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)前波解和脈沖解的存在性［3］.林常、李繼彬等利用匹配漸近法，計(jì)算了Fitz Hugh神經(jīng)傳導(dǎo)方程的張馳振動(dòng)解的解析表達(dá)式和振動(dòng)周期，并給出了產(chǎn)生張馳振動(dòng)的參數(shù)區(qū)域［4］.袁國(guó)勇等給出了兩個(gè)延遲耦合Fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［5］.王慕潔、張仲研究了fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)的周期初值問(wèn)題，用Calerkin方法證明了其的存在唯一性［6］.最近，J.Llibre和C.Valls給出了Fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)解析的首次積分［7］.我們?cè)谖闹醒芯縁itz Hugh－Nagumo方程（1）小振幅行波解存在性.

1 Fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)的局部定性分析

考慮行波解（u，v）（x，t）＝（u，v）（x＋ct），其中c是實(shí)常數(shù)，稱為傳播速度，于是系統(tǒng)（1）變形為

2 FitzHugh－Nagumo系統(tǒng)的Hopf分支

［1］ Fitz Hugh R.Impulses and Physiological State in Theoretical Models of Nerve Membrane［J］.BiophysJ，1961，1：445－467.

［2］ Nagumo J，EL.An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axion［C］／／proc.IRE，1962，50：2061－2070.

［3］ Gao W，Wang J.Existence of Wavefronts and Impulse to Fitz Hugh Nagumo Equations［J］.NonlinearAnal，2004，57：667－676.

［4］ 林常，李繼彬，劉曾榮.Fitz Hugh神經(jīng)傳導(dǎo)方程的張馳振動(dòng)解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1985，6：1079－1086.

［5］ 袁國(guó)勇，楊世平，王光瑞，等.兩延遲耦合Fitz Hugh－Nagumo系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［J］.物理學(xué)報(bào)，1985，6：1510－1522.

［6］ 王慕潔，張仲.Fitz Hugh－Nagumo神經(jīng)傳導(dǎo)方程的周期初值問(wèn)題［J］.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2000，13：12－13.

［7］ Llibre J，Valls C.Analytic first Integrals of the Fitz Hugh－Nagumo Systems［J］.MathPhys，2009，60：237－245.

［8］ 張芷芬，李承志，鄭志明，等.向量場(chǎng)的分岔理論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1997.

Traveling Wave with Small Amplitude of Fitz Hugh－Nagumo Equations

YU Jiang，WANG Shu－sheng
（DepartmentofMathematics，ShanghaiJiaotongUniversity，Shanghai200240，China）

The existence of traveling wave with small amplitude of Fitz Hugh－Nagumo equations is studied.After it is chnged into a three－dimensional nonlinear ordinary differential system，with the center manifold theorem and Lyapunov coefficient method，it is shown that there exist a small amplitude periodic solutions around a singular point of the system in the given parameters.

Fitz Hugh－Nagumo system；traveling wave；Hopf bifurcation

O175

A

0253－2395（2012）02－0200－06＊

2012－03－13

國(guó)家自然科學(xué)基金（10971133）；Program of Shanghai Subject Chief Scientist（10XD1406200）

于江（1967－），男，山西太原人，博士，教授，從事動(dòng)力系統(tǒng)分岔理論及其應(yīng)用研究.E－mail：jiangyu＠sjtu.edu.cn