張學(xué)茂

(泰州師范高等?？茖W(xué)校,江蘇 泰州 225300)

研究非擴(kuò)張映像一個(gè)經(jīng)典方法是利用一系列壓縮映像來直接逼近或迭代逼近非擴(kuò)張映射的不動點(diǎn)[1].近年來，非擴(kuò)張映像與漸近擴(kuò)張非映像在Hilbert空間及Banach空間中的強(qiáng)收斂性，引起了不少專家學(xué)者的關(guān)注，得到了許多強(qiáng)收斂的條件和證明方法[2-6].受他們的啟發(fā)，本文主要利用半閉原理及不動點(diǎn)理論,在具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)和一致Gateaux可微范數(shù)的Banach空間中給出了關(guān)于非擴(kuò)張映像顯式迭代序列的強(qiáng)收斂性，弱化了非擴(kuò)張映像顯式迭代序列收斂性的條件，改進(jìn)和完善了許多學(xué)者的證明方法.

1 預(yù)備知識

定義1[1]E是一實(shí)的Banach空間,C是E中一非空子集映像，f:‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖,?x,y∈C,α∈(0,1)則稱f:C→C為一壓縮映像.

定義2[7]?x,y∈C都有‖T(t)x-T(t)y‖≤α‖x-y‖,α∈(0,1)稱T:C→C是非擴(kuò)張映像.

引理1[8]設(shè)E是一實(shí)的Banach空間，E*是E的對偶空間,J:E→2E*是由下式定義的正規(guī)對偶映像：J(x)={f∈E*:=‖x‖.‖f‖,‖x‖=‖f‖,x∈E},則對任意x,y有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2J(x+y)>,?j(x+y)∈J(x+y).

引理2[8]設(shè)E是一致光滑的Banach空間，C是E的非空閉凸子集，T:C→C是一非擴(kuò)張映像，且F(T)≠φ,f∈∏C,若定義Q：∏C→F(T),Q(f)=limt-0xt則Q(f)是下列變分式不等式的解

<(I-f)Q(f),J(Q(f)-p)>≤0,
f∈∏C,p∈F(T)．

引理3[8]設(shè)E是一致光滑的Banach空間，C是E非空有界集，F(xiàn)={T(t):f>0}為壓縮映像?h≥0總有

引理4[9]設(shè)E是一致凸的Banach空間，C是E一閉凸子集，T:C→C為有不動點(diǎn)的一非擴(kuò)張映像.若xn→x∈C且(xn-Txn)→y,則(xn-Txn)=y，特別若y=0,則x是T的一個(gè)不動點(diǎn).

引理5[10]設(shè)E是一致光滑的Banach空間,T:C→C是有不動點(diǎn)的一非擴(kuò)張映像.對于任意給定的U∈C,及t∈(0,1),當(dāng)t→0時(shí)壓縮映像Tt:tu+(1-t)T有唯一不動點(diǎn)，則xt∈C強(qiáng)收斂于T的一個(gè)不動點(diǎn).

引理6[10]設(shè)E是一致凸的Banach空間，C是E一閉凸子集，T:C→C是有不動點(diǎn)集：F:∩≥0F(T(t))≠φ為非擴(kuò)張映像，f∈∏k,設(shè){an}?(0,1),β∈[0,1]及{tn}∈R+滿足:

則x0∈k,xn+1=αnf(xn)+(1-αn)T(xn),n=1,2,…強(qiáng)收斂于一不動點(diǎn)T.

引理7[10]設(shè)E是一致凸的Banach空間，C是E一閉凸子集，T和S是兩個(gè)非擴(kuò)張映像，F(xiàn)(S)∩F(T)≠?，則F(ST)=F(TS)=F(S)∩F(T).

2 主要結(jié)論

xn+1=αnf(xn)+(1-αn)T(tn)xn

,

則該序列{xn}強(qiáng)收斂于F中一不動點(diǎn)P.

證明 第一步證明變分不等式≤0有唯一解，且對于任意兩個(gè)非擴(kuò)張映像T和S，總有TP=Sp=p.

`首先假設(shè)p,q?F都是變分不等式的解,則

.

兩式相減得=

‖p-q‖2-<(f(p)-f(q))(p-q)>≤0,

即‖p-q‖2≤<(f(p)-f(q),j(p-q)>≤α‖p-q‖2,又α∈(0,1)，則p=q.

據(jù)引理7，再令S=(1-α)I+αU，α∈(0,1)，U為非擴(kuò)張映像.如果Sz≠z則有

‖Sz-q‖2=
‖(1-α)(z-q)+α(Uz-q)‖2=
(1-α)‖z-q‖2+α‖Uz-q‖2-
α(1-α)‖z-Uz‖2≤
(1-α)‖z-q‖2+α‖z-q‖2<‖z-q‖2.

因Tp≠p由定義2有‖p-q‖=‖S(TP)-q‖=‖S(TP)-Sq‖≤‖TP-q‖<‖p-q‖,因此

TP=P,Sp=p,

第二步證{xn}有界,由定義1，引理1和定理中的條件，對于任意序列{xn}∈F,

‖xn+1-xn‖2=<αn(f(xn)-xn)+
(1-αn)(T(tn)xn-xn),j(xn+1-xn)>=
αn<(f(xn)-xn),j(xn+1-xn)>+
(1-αn)<(T(tn)xn-xn,j(xn+1-xn)>=
αn<(f(xn)-xn),j(xn+1-xn)>+
(1-αn)<(T(tn)xn-T(tn)xn,j(xn+1-xn)>≤
αn‖f(xn)-xn‖‖xn+1-xn‖+(1-αn)
(‖T(tn)xn-T(tn)xn‖‖f(xn+1)-f(xn)‖)≤
αnβ‖xn+1-xn‖2.

即(1-αnβ)‖xn+1-xn‖2≤0，從而‖xn+1-xn‖→0,所以{xn}一致收斂，則{xn}有界.

由以上證明可知{T(tn)xn}與{f(xn)}有界，由定義1有

‖T(tn)xn+1-T(tn)xn‖≤‖xn+1-xn‖;
‖f(xn+1)-f(xn)‖≤β‖xn+1-x‖.

?h>0總有

‖xn-T(h)xn‖≤‖xn-T(tn)xn‖+
‖T(tn)xn-T(h)(T(tn)xn‖+
‖T(h)(T(tn)xn-T(h)xn‖≤
2‖xn-T(tn)xn‖+
‖T(h)(T(tn)xn-T(h)xn‖→0,

由引理3可得

第四步證明{xn}強(qiáng)收斂于變分不等式

≤0

的唯一解p∈F(t).由引理1、引理6和迭代序列可得

對上式化簡得

J(xn+1-p)>≤0，p∈F(T),

則‖xn+1-p‖2→p.

由引理4、5可得{xn}強(qiáng)收斂于不動點(diǎn)變分不等式的唯一解p.

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