寧小青，郭光耀

(武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430073)

1 隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈下的有關(guān)的熵

設(shè){Xn,n≥1}為狀態(tài)有限的隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈，相關(guān)定義及其性質(zhì)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-9]，且滿(mǎn)足π遍歷，E=m，Ui={Φ}，∧(M)=1，本文將研究與{Xn,n≥1}有關(guān)的熵有關(guān)的極值問(wèn)題.

Pn(ω;i,j)=P(ω0,…,ωn-1;i,j).

對(duì)任意的i,j∈{1,2,…,m}，n=1,2,…，ω∈Ω，令:

En′=((i,j):i,j∈E,P(ωn+1;i,j)>0,n≥1)；ξ=(ξ(1),ξ(2),…,ξ(n))；ξ(n)=(ξij(n),(i,j)∈E′)；

且滿(mǎn)足，?1≤n有:

Ci(ξ(1))=Ci(ξ(2))=…=ri(ξ(1))=ri(ξ(2))=…

(1)

若ξ滿(mǎn)足條件式(1)，則記ri(ξ(n))=ri(ξ).

2 概率空間上有關(guān)測(cè)度與維數(shù)的定義

首先，引入概率空間上Hausdorff測(cè)度與Hausdorff維數(shù)的有關(guān)定義.假定{Xn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,μ)上取值于有限或可列的狀態(tài)空間E的隨機(jī)過(guò)程，令I(lǐng)a1,…,an={ω∈Ω:Xk=ak,k=1,2,…,n}，其中(a1,a2,…,an)∈En，稱(chēng)Ia1,…,an為n階柱集，記In(ω)=:IX1(ω),…,X2(ω)，顯然，這是包含ω的n階柱集，約定零階柱集I0(ω)=Ω.

定義1Φ恒表示滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)φ所成的類(lèi)：

1)φ:(0,δ)→(0.),(δ>0)，

2)φ是單增，右連續(xù)的，且φ(0+)=0.

定義2 任取φ∈Φ，M?Ω，0<δ<1，令:

Lμ(M,φ,δ)=inf{∑φ(μ(Bi)){Bi,i≥1}是M的一個(gè)μ-σ-覆蓋}，

則稱(chēng)Lμ(M,φ)是集合M關(guān)于測(cè)度函數(shù)φ的Hausdorff測(cè)度，特別地，當(dāng)φ(x)=xα?xí)r，分別記此時(shí)的Lμ(M,φ,δ)，Lμ(M,φ)為L(zhǎng)μ(M,α,δ)與Lμ(M,α)容易得到，當(dāng)Lμ(M,α)<時(shí)，?ε>0，總有Lμ(M,α+ε)=0，故存在α0=inf{α:Lμ(M,α)=0}=sup{α:Lμ(M,α)>0}，稱(chēng)此α0是M的Hausdorff維數(shù)，記為dimμ(M).在不引起混淆的情況下，以上符號(hào)可分別寫(xiě)為：L(M,φ,δ)，L(M,φ)，L(M,α,δ)，L(M,α)，dim(M).

類(lèi)似，可以定義填充測(cè)度與填充維數(shù)Dim(M)等，參見(jiàn)文獻(xiàn)[5，8].

b)3條件熵的極值相關(guān)結(jié)論及證明

若令M(ξ)={ω∈Ω:δ(ω,n;i,j)→ξij,?(i,j)∈E′}.B={一切滿(mǎn)足條件1)的所有組合的集合，?1≤i≤m},M(S)={ω∈Ω:?ξ∈S使δ(ω,n;i,j)→ξij，?(i,j)∈E′}，則按照上面條件熵與Hausdorff測(cè)度與Hausdorff維數(shù)及填充測(cè)度與填充維數(shù)的有關(guān)定義與性質(zhì)，可以得到ξ的條件熵的極值與M(S)維數(shù)之間有下面的關(guān)系.

i)dimμ(M(S))=Dimμ(M(S));

首先定義一個(gè)隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈下轉(zhuǎn)移矩陣如下：

則(C1(ξ0),…,Cm(ξ0))是η(ωn;i,j)的平穩(wěn)分布，事實(shí)上:

故{Xn,n≥1}是定義在(Ω,F,v)上以(η(ω0,…,ωn-1;i,j))為轉(zhuǎn)移矩陣且具有平穩(wěn)分布(C1(ξ0),…,Cm(ξ0))的隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈.

往證：

仿照文獻(xiàn)[5]，易證：

故:

(2)

例2：K=3，L=7時(shí)，的最小長(zhǎng)度是十次采樣，圖2說(shuō)明了幾種解法中的一種?？梢钥闯觯〔ú⒉幌袂耙粋€(gè)例子那樣光滑，但是對(duì)于負(fù)頻率更接近于零。這是可以預(yù)測(cè)的，由于我們降低了消失矩的階數(shù)，同時(shí)改進(jìn)了半采樣延期的近似值。

利用求條件極值可以得到:

[1] Cogburn R.Markov chains in random environments:the case of Markovian environments[J].Ann Prob,1980,8:908-916.

[2] Chung K L.Markov chains with stationary transition probabilities[M].New York:Spring-Verlagm,1960.

[3] 胡迪鶴.The existence and moments of canonical branching chain in random environments[J].Act Mathematica Scientia,2004,24B(3):499-506.

[4] 胡迪鶴.隨機(jī)過(guò)程論——基礎(chǔ)理論運(yùn)用[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2002.

[5] 郭光耀，張超杰，婁聯(lián)堂.隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈上一類(lèi)集合的分形維數(shù)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2006，52(3)：277-280.

[6] 李應(yīng)求.關(guān)于馬氏環(huán)境中馬氏鏈的幾點(diǎn)注記[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1999,28(4)：358-360.

[7] 李應(yīng)求.狀態(tài)可數(shù)的馬市環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律[J].數(shù)學(xué)雜志，2003,23(4)：484-490.

[8] 寧小青，郭光耀.隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈下弱遍歷性及其應(yīng)用[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012，30(1)：45-48.

[9] 寧小青.有限狀態(tài)下隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈的性質(zhì)[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011(8):695-701.

[10] 傅祖蕓.信息論——基礎(chǔ)理論與運(yùn)用[M].2版,北京:電子工業(yè)出版社,2007.

[11] 傅祖蕓.趙建中.信息論與編碼[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006.

[12] 鄧稼先.康耀紅.信息論與編碼[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007.

[13] 楊衛(wèi)國(guó).可列非齊次馬氏鏈熵率的存在定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011(2):86-90.