劉云龍，高存臣，?？》?，郭真真

（1.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東青島266100；2.濰坊學院信息與控制工程學院，山東濰坊261061；3.中國海洋大學數學科學學院，山東青島266100）

自主水下航行器的軟變結構控制＊

劉云龍1，2，高存臣1，3，?？》?，郭真真3

（1.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東青島266100；2.濰坊學院信息與控制工程學院，山東濰坊261061；3.中國海洋大學數學科學學院，山東青島266100）

研究自主水下航行器系統(tǒng)的軟變結構控制策略問題。首先分析軟變結構控制系統(tǒng)的結構特征，利用雙曲正切函數，給出控制受限情形的軟變結構控制策略。其次利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，討論自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然后構造了基于雙曲正切函數的軟變結構控制器，給出自主水下航行器軟變結構控制的具體算法?；陔p曲正切函數的自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)調節(jié)精度高，響應速度快，有效地削弱了系統(tǒng)抖振。最后通過一個仿真實驗，比較了自主水下航行器垂直深度通道的4種控制策略對系統(tǒng)性能的影響，從而驗證了研究方法的有效性。

自主水下航行器；軟變結構；滑模；雙曲正切函數；飽和性

隨著依托海洋，海陸統(tǒng)籌，高端產業(yè)聚集，生態(tài)文明，科技先導為基本特征的藍色經濟迅速發(fā)展，能夠進行海洋資源開發(fā)和信息探測的自主水下航行器研究受到了國內外眾多科研機構和學者的廣泛關注［1－3］。目前，自主水下航行器，在軍事方面，已應用于水下巡航、水下偵查和水下中繼通訊等領域；在商用方面，已應用于海洋資源勘查與探測、水下建筑、電纜等設施檢查、海洋救險和打撈等領域。由于自主水下航行器各自由度運動存在強耦合，海流等外界環(huán)境的擾動，具有良好動態(tài)品質與穩(wěn)態(tài)性能的控制系統(tǒng)是它們進行高質量水下作業(yè)的前提。自主水下航行器系統(tǒng)設計需要采用調節(jié)精度高、響應速度快的控制策略，以提高自主水下航行器的適應性和自主性。

變結構控制是1種先進的非線性控制策略，在理論和應用上都取得了很大進展。滑?？刂剖亲兘Y構控制策略中一種簡單有效的控制模式，其滑動模態(tài)對系統(tǒng)內部參量攝動和外部干擾具有完全魯棒性［4－5］。然而，滑?？刂茣鹣到y(tǒng)抖振。雙曲正切函數是一類具有光滑性、嚴格單調性、飽和性特點的函數，其性質類似于Sigmoid函數。文獻［6］給出了基于Sigmoid函數的滑模變結構控制，有效地削弱了系統(tǒng)抖振，系統(tǒng)最終趨近于平衡態(tài)。文獻［7］給出了一種自主水下航行器運動S面控制策略，改進了控制器的收斂速度。軟變結構控制是基于無滑模變結構控制模式產生和發(fā)展的，具有調節(jié)精度高、響應速度快，幾乎不產生抖振等優(yōu)點。文獻［8］給出了分段線性二次型最優(yōu)受限系統(tǒng)的軟變結構控制。文獻［9］給出了輸入受限廣義系統(tǒng)的軟變結構控制。文獻［10］給出了基于Sigmoid函數的軟變結構控制。文獻［11］基于隱Lyapunov函數、變飽和函數等工具討論了線性時不變系統(tǒng)的軟變結構控制策略。

自主水下航行器系統(tǒng)設計需要采用能夠高速調節(jié)和快速響應的控制策略，滑模控制策略雖具有上述優(yōu)點，但系統(tǒng)易產生抖振。本文借助具有光滑性的雙曲正切函數，重點研究了控制受限情形下自主水下航行器縱向自由度方向的深度控制問題。首先分析了軟變結構控制系統(tǒng)的結構特征，給出了控制受限情形下基于雙曲正切函數的軟變結構控制策略。其次討論了自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然后構造了基于雙曲正切函數的軟變結構控制器，給出了自主水下航行器軟變結構控制的具體算法。最后，用1個仿真實驗分析了基于雙曲正切函數的自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)，綜合性能優(yōu)于線性控制、飽和控制和基于變飽和函數的軟變結構控制情形。

1 軟變結構控制系統(tǒng)描述

為分析軟變結構控制系統(tǒng)的結構特征，首先給出具有有限k個子控制器的非連續(xù)變結構控制系統(tǒng)。

考慮n維線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)

其中：x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u（t）∈R為系統(tǒng)控制輸入；A∈Rn×n為常數矩陣，b∈Rn為常數向量，且（A b）為可控矩陣對。

自主水下航行器控制輸入是受限的，假設滿足

其中：u0為正常數。引入自主水下航行控制器

其中：F為控制器；p為選擇策略參量；在非連續(xù)變結構控制系統(tǒng)中，它由不連續(xù)函數S（x）決定。

這種變結構控制器由有限k個子控制器構成，其控制系統(tǒng)結構見圖1。

圖1 具有k個子控制器的變結構控制系統(tǒng)結構圖Fig.1 Frame of VSC system with k sub－controllers

具有k個子控制器的非連續(xù)變結構控制策略，無論是無滑模變結構控制模式、還是滑?？刂颇Ｊ剑饕康亩际怯脕砀咚僬{節(jié)趨近速度、快速縮短趨近時間和削弱變結構控制系統(tǒng)在控制過程中由于時滯等因素引起的抖振。這類變結構控制的子控制器數目越多，系統(tǒng)狀態(tài)軌線趨近平衡態(tài)的時間一般就越短。但過多的子控制器會降低控制器的使用壽命和增加經濟成本。為了解決上述問題，考慮若S（x）連續(xù)，參量p取無窮多個值，也具有連續(xù)性，一般表示為

這種具有連續(xù)選擇策略參量p的變結構控制稱為軟變結構控制［11］，其控制系統(tǒng)結構見圖2。

圖2 基于軟變結構控制策略的動態(tài)系統(tǒng)結構圖Fig.2 Frame of dynamic system with soft VSC strategy

為了簡化數學公式書寫，在不引起歧義的前提下，本文以下數學公式中的時間變量t，一律省寫。

雙曲正切函數是一類重要的雙曲函數，一般表達式為

其中：參量α為增益，決定變化速率。該函數光滑，嚴格單調遞增，飽和變化范圍是（－1，1）。

實際問題中，α可根據趨近速度和原點精度等適當調節(jié)，這里取α＝1，有

基于雙曲正切函數的軟變結構控制系統(tǒng)類似于基于變飽和函數的軟變結構控制系統(tǒng)，具有調節(jié)精度高、響應速度快的優(yōu)點。然而，變飽和函數僅具有單調性和飽和性，在變量臨界值處不具有高階連續(xù)導數，所設計的軟變結構控制系統(tǒng)在臨界值處不具有光滑性。雙曲正切函數既具有飽和性，又具有飽和函數所不具備的光滑性和嚴格單調性。基于雙曲正切函數的軟變結構控制系統(tǒng)結構見圖3。

圖3 基于雙曲正切函數的軟變結構控制系統(tǒng)結構圖Fig.3 Frame of soft VSC system with hyperbolic functions

2 軟變結構控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

考慮控制受限（2）情形下的線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)（1），構造向量k1∈Rn，k2∈Rn，使得

其中：u1為線性控制器；u2為基于雙曲正切函數的軟變結構控制器，綜合構造變結構控制器

其中：φ＞0為給定參數，影響參量p的取值范圍。

將式（5）代入系統(tǒng)（1），得軟變結構控制系統(tǒng)

系統(tǒng)（7）應當滿足2個條件：

1）控制輸入滿足｜u｜≤u0；

2）保證條件1）的前提下，系統(tǒng)平衡態(tài)具有全局漸近穩(wěn)定性，考慮控制受限情形，所有系統(tǒng)狀態(tài)軌線應出發(fā)于一個能保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的區(qū)域

其中：vG＞0為區(qū)域G的最大邊界；R∈Rn×n為待定正定矩陣。

在控制受限（2）的前提下，系統(tǒng)（7）的穩(wěn)定性取決于參量p和正定矩陣R的合理選取。

在區(qū)域G內，構造Lyapunov函數為

對函數V（x）取導數為

總存在解矩陣R。

當系統(tǒng)狀態(tài)軌線趨近平衡態(tài)時，即‖x‖→0，由洛必達法則知，

對于選擇策略參量p，有

由雙曲正切函數性質知，選擇策略參量p取值范圍為（0，φ），控制輸入u2取值范圍為（－φ，φ）。

在實際問題中，選擇策略參量p不會為0。假定p取最小值pmin∈（0，φ），則有p∈［pmin，φ］。

在Lyapunov方程（11）中，由于矩陣珚A（p）關于參量p是線性的，p∈［pmin，φ］，則軟變結構控制系統(tǒng)（7）的穩(wěn)定性取決于當矩陣Q（pmin）和Q（φ）為正定矩陣時，Lyapunov方程（11）中矩陣R有解［12］。

3 軟變結構控制系統(tǒng)的綜合問題

3.1 軟變結構控制器的參量設計

此時系統(tǒng)狀態(tài)軌線發(fā)生在區(qū)域G的邊界上，有

這里R為對稱正定矩陣。解式（17）得，

代入式（16），得

因為滿足條件2）的軟變結構控制策略須在條件1）的前提下設計，將式（5）代入式（2），得

若要使得上式成立，只要滿足

而軟變結構控制器滿足

記u1（x）最大值｜u1（）｜，為充分利用控制器，對應的系統(tǒng)狀態(tài)軌線應在區(qū)域G的邊界上?？梢勒丈鲜鲞^程，得到

將式（22）、（23）代入式（21），得

這樣選擇策略參量p就由式（24）完全確定。取一個滿足式（24）的特殊形式

將式（25）代入式（19），得

由式（6）、（7）、（25）和（26）知，基于雙曲正切函數的軟變結構控制設計完成。

另外，反正切函數性質類似雙曲正切函數，也具有光滑性，嚴格單調性和飽和性。利用反正切函數代替雙曲正切函數，選取合適的參數，設計軟變結構控制器，也具有可行性。

3.2 軟變結構控制的算法

基于雙曲正切函數的軟變結構控制策略設計主要是構造合適的選擇策略參量p，使得控制系統(tǒng)（7）是漸近穩(wěn)定的。為了設計軟變結構控制器，總共需要構造5個參量，這取決于以下3個方面：i）.式（6）中的參數φ和矩陣k2；ii）.式（9）中的矩陣R；iii）.式（25）中的參數和矩陣k1。整個算法設計分4個步驟：

步驟1 利用極點配置等方法，選擇合適的向量k1，保證矩陣A－的所有特征值均具有負實部，使得系統(tǒng)具有良好的動態(tài)品質。

步驟2 考慮pmin＝0特殊情形，對任意給定正定矩陣Q（0），由Lyapunov方程（11），有

解出矩陣R。

可得區(qū)域G的邊界vG，使得從給定初始狀態(tài)區(qū)域X0出發(fā)的狀態(tài)軌線最終趨近于平衡態(tài)。如果上述情形無法滿足，應重復步驟1，利用極點配置等方法，選取一個較小的控制向量k1。

步驟4 選擇合適的向量k2。考慮p＝1時，對任意給定正定矩陣Q（1），由Lyapunov方程（11），有

4 仿真實驗

為了便于對自主水下航行器運動規(guī)律進行研究，通常將其運動分解為在深度控制通道、航向控制通道和橫滾控制通道。為了驗證軟變結構控制算法的優(yōu)越性，仿真實驗中略去相互間耦合作用，重點研究了基于雙曲正切函數的軟變結構控制策略在自主水下航行器深度控制通道的應用，其它2個通道的軟變結構控制系統(tǒng)設計可類似得到?？紤]自主水下航行器深度控制系統(tǒng)（1），參數為

其中：x1為自主水下航行器垂直深度；x2為自主水下航行器垂直升降速度；x3為自主水下航行器垂直升降加速度?？刂戚斎雞滿足

初始狀態(tài)向量滿足

文獻［11］綜合給出了自主水下航行器垂直深度的線性控制、飽和控制和基于變飽和函數的軟變結構控制策略。根據文中3.2節(jié)分析，設計基于雙曲正切函數的自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)。

根據極點配置法，選取合適的特征值λ1＝－0.003 7，λ2，3＝－0.002 5±j0.005，其中j為虛數單位，得向量

求解式（27），得矩陣

假定初值xT0＝［0 0 －4×10－3］，自主水下航行器垂直深度x1與控制輸入u的仿真結果如圖4～5所示。

其中，曲線1表示線性控制；曲線2表示飽和控制；曲線3表示基于變飽和函數的軟變結構控制，曲線4表示基于雙曲正切函數的軟變結構控制。在自主水下航行器深度控制通道中，基于雙曲正切函數的軟變結構控制系統(tǒng)，在響應速度、調節(jié)精度方面，與基于變飽和函數的軟變結構控制情形相差無幾，而優(yōu)于線性控制和飽和控制情形。在系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)過程中，控制輸入更為平滑，幾乎無抖動，具有良好的動態(tài)品質。

5 結語

本文給出了基于雙曲正切函數的自主水下航行器軟變結構控制策略。分析了軟變結構控制系統(tǒng)的結構特征，討論了自主水下航行器軟變結構控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構造了基于雙曲正切函數的軟變結構控制器，給出了自主水下航行器軟變結構控制的具體算法。通過仿真實驗對比驗證該軟變結構控制系統(tǒng)調節(jié)精度高，

響應速度快，具有良好的動態(tài)性能，可進一步推廣到其它機器人模型和復雜系統(tǒng)。需要指出的是，自主水下航行器具有自由度復雜耦合和環(huán)境干擾情形的軟變結構控制，有待于進一步研究和完善。

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Soft Variable Structure Control for Autonomous Underwater Vehicle

LIU Yun－Long1，2，GAO Cun－Chen1，3，CHANG Jun－Fang1，GUO Zhen－Zhen3
（1.College of Information Science and Engineering，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.College of Information and Control Engineering，Weifang University，Weifang 261061，China；3.School of Mathematics Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

The soft variable structure control strategy problem for autonomous underwater vehicle system is studied.Firstly，the structure feature of the system was analyzed and the strategy under restricted controls was presented by hyperbolic tangent functions.Secondly，the stability of the system for autonomous underwater vehicle was analyzed by Lyapunov stability theory.Furthermore，the soft variable structure controller with hyperbolic tangent functions was designed and the concrete algorithm on soft variable structure control for antuonmous underwater vehicle was given.High regulation rates were achieved，settling time was shorted and the system chattering was decreased by this strategy.Finally，a simulation experiment designed by soft variable structure control strategy and other control strategies for the vertical depth of autonomous underwater vehicle were carried out to verify the effectiveness of the proposed strategy.

autonomous underwater vehicle（AUV）；soft variable structure；sliding mode；hyperbolic tangent function；saturability

TP242；TP273

A

1672－5174（2012）09－110－05

國家自然科學基金項目（60974025）資助

2011－05－30；

2012－06－13

劉云龍（1982－），男，博士。E－mail：fhylren＠163.com.

AMS Subject Classification:93B12

責任編輯 陳呈超