北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“乘法結(jié)合律和交換律”一課主題圖是一個(gè)由許多小正方體搭成的長方體，以前多次教學(xué)沒有重視，都忽略掉了。但參與了一位同事的磨課過程后（教學(xué)內(nèi)容是“乘法結(jié)合律和交換律”），這讓我對(duì)這一課的主題圖引起了重視：為什么要在這里安排使用一個(gè)大的長方體？教材編寫者的目的是什么？
　　在參與這次磨課過程中，我也認(rèn)真思考鉆研了教材，細(xì)細(xì)研究這一長方體，發(fā)現(xiàn)它其實(shí)就是乘法結(jié)合律和交換律的立體模型，每個(gè)面的小正方體個(gè)數(shù)體現(xiàn)了乘法交換律，而整個(gè)長方體的小正方體個(gè)數(shù)體現(xiàn)了乘法結(jié)合律和乘法交換律。后來教學(xué)中就有意識(shí)地充分發(fā)揮長方體的作用，探究乘法結(jié)合律和乘法交換律，體現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。下面，談?wù)勎业捏w會(huì)。
　　第一次教學(xué)設(shè)計(jì)：
　　環(huán)節(jié)一：嘗試，分析與匯報(bào)
　　出示42×125×、25×38×4、25×125×8×4三道算式，然后請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算，分析方法，并匯報(bào)方法。板書如下：
　　42×125×8=42×（125×8）
　　25×38×4=25×4×38
　　25×125×8×4=（25×4）×（125×8）
　　師：你認(rèn)為這樣改變可以嗎？為什么可以？
　　環(huán)節(jié)二：揭題，探索與發(fā)現(xiàn)
　　分析42×125×8=42×（125×8），你有什么發(fā)現(xiàn)？（乘數(shù)位置不變，運(yùn)算順序變了，積不變）
　　師：是否所有的乘法算式都有這樣的規(guī)律呢？（學(xué)生舉例略）
　　師：能否用自己的方式表達(dá)這種規(guī)律呢？（總結(jié)概括乘法結(jié)合律的字母公式）
　　環(huán)節(jié)三：探究乘法交換律（過程同第二環(huán)節(jié)）
　　環(huán)節(jié)四：指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，熟悉、知道這兩個(gè)規(guī)律叫做乘法結(jié)合律和乘法交換律，然后師生共同小結(jié)規(guī)律特點(diǎn)。
　　乘法結(jié)合律：在乘法中，改變運(yùn)算順序，積不變。
　　乘法交換律：在乘法中，交換因數(shù)位置，積不變。
　　環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)（利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算）
　　按照“嘗試——發(fā)現(xiàn)——舉例——結(jié)論——運(yùn)用”的步驟教學(xué)，一切都順理成章、水到渠成，但是細(xì)細(xì)思考，這樣的教學(xué)是建立在學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法定律的基礎(chǔ)之上，這樣的探究與發(fā)現(xiàn)是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到乘法定律客觀存在的前提下進(jìn)行的。那么，課堂教學(xué)中的探究與發(fā)現(xiàn)就變成了舉例和運(yùn)用，所謂的舉例其實(shí)就是迎合、驗(yàn)證，結(jié)論早已定形，運(yùn)用也是機(jī)械應(yīng)用。如果了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律的認(rèn)識(shí)是模糊的、不全面的。既然是模糊的，那么怎樣才能通過課堂教學(xué)讓學(xué)生找到對(duì)乘法定律的清晰的認(rèn)識(shí)，建立簡潔的模型？顯然，不能從第一次教學(xué)設(shè)計(jì)中找到答案。仔細(xì)分析教材，教材在安排本課的內(nèi)容時(shí)，有一個(gè)指導(dǎo)思想，就是把乘法結(jié)合律的引出作為學(xué)生探索活動(dòng)的題材，所以其活動(dòng)的名稱叫“探索與發(fā)現(xiàn)”。本活動(dòng)開展的重點(diǎn)是指導(dǎo)學(xué)生探索乘法的結(jié)合律，教材呈現(xiàn)探索過程：發(fā)現(xiàn)問題——提出假設(shè)——舉例驗(yàn)證——建立模型。
　　第二次教學(xué)設(shè)計(jì)：
　　環(huán)節(jié)一：發(fā)現(xiàn)問題
　　1．觀察長方體
　　師：這里有幾個(gè)小正方體？
　　生：60個(gè)。
　　師：你是數(shù)出來的，還是算出來的？（生列算式，師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度計(jì)算正方體的個(gè)數(shù)）
　　2．研究算法的異同
　　相同點(diǎn)：都是通過3、4、5這三個(gè)數(shù)連乘得來。
　　不同點(diǎn)：先算的部分不同。
　　根據(jù)先算部分的不同得到三個(gè)算式：3×4×5、3×（4×5）、（3×5）×4。
　　3．研究算式特征，體會(huì)變化
　　不變：數(shù)字，運(yùn)算符號(hào)，結(jié)果。
　　變化：運(yùn)算形式，因數(shù)位置。
　　環(huán)節(jié)二：提出假設(shè)（構(gòu)建研究素材，提出猜想）
　　表示改變運(yùn)算順序的兩個(gè)算式：3×4×5、3×（4×5）。
　　表示改變因數(shù)位置的兩個(gè)算式：3×4×5、（3×5）×4。
　　師：這樣的發(fā)現(xiàn)是不是有科學(xué)性呢？那么，這個(gè)規(guī)律對(duì)其他的算式也正確嗎？
　　環(huán)節(jié)三：舉例驗(yàn)證（學(xué)生舉例，反饋）
　　環(huán)節(jié)四：建立模型
　　師：這樣的算式從數(shù)量上能不能舉完？你能否用其他方式表示出來？［揭示乘法結(jié)合律：（a×b）×c=a×（b×c）］
　　師：你知道乘法結(jié)合律告訴我們什么？
　　環(huán)節(jié)五：回顧方法
　　師：請(qǐng)大家想一想，我們是怎樣發(fā)現(xiàn)乘法結(jié)合律的呢？
　　環(huán)節(jié)六：乘法交換律的探究
　　環(huán)節(jié)七：應(yīng)用深化，完善認(rèn)識(shí)
　　思考：
　　教師根據(jù)教材的編寫意圖，通過組織學(xué)生活動(dòng)，使他們不知不覺地進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律的探索?？v觀整個(gè)教學(xué)流程，有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
　　1.通過數(shù)正方體，引出乘法算式
　　雖然學(xué)生對(duì)三個(gè)數(shù)相乘的乘法運(yùn)算是熟悉的，也會(huì)計(jì)算，但教師在設(shè)計(jì)時(shí)仍讓學(xué)生自己數(shù)正方體，這樣做可能要花費(fèi)一些時(shí)間。然而，正是由于經(jīng)歷了自己數(shù)正方體的活動(dòng)，使學(xué)生在后面討論、發(fā)現(xiàn)問題時(shí)有了一個(gè)直觀的題材，而這個(gè)題材既可以使學(xué)生借助形象模型進(jìn)行直觀思考，又可以幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解算式的意義。
　　2.經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證，概括出乘法的結(jié)合律
　　學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的算式其結(jié)果是相同的——這是在計(jì)算小正方體的個(gè)數(shù)時(shí)的一個(gè)十分特殊的情況，因?yàn)椴煌臄?shù)法實(shí)際上都是在數(shù)同一個(gè)長方體，個(gè)數(shù)當(dāng)然不變。當(dāng)學(xué)生有了這一發(fā)現(xiàn)后，教師問學(xué)生“這樣的發(fā)現(xiàn)是不是有科學(xué)性呢？那么，這個(gè)規(guī)律對(duì)其他的算式也正確嗎”，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步擴(kuò)大驗(yàn)證的范圍。經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證對(duì)學(xué)生來說特別重要。學(xué)生通過數(shù)直觀的正方體提出猜想，在學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，教師又啟發(fā)學(xué)生用抽象的算式來舉例驗(yàn)證，從而為發(fā)現(xiàn)、概括乘法結(jié)合律奠定了基礎(chǔ)。
　　3.及時(shí)梳理思路，掌握探索規(guī)律的基本步驟
　　探索數(shù)學(xué)的規(guī)律是有一個(gè)過程的，對(duì)這個(gè)過程的認(rèn)識(shí)并不是教師傳授的，而是需要學(xué)生自己體驗(yàn)、感受的。對(duì)學(xué)生已有的體驗(yàn)與感受及時(shí)地進(jìn)行梳理，是提高探索能力的重要一環(huán)。在本案例的最后，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)概括出乘法的結(jié)合律后，教師并沒有立即組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的練習(xí)，而是詢問學(xué)生：“請(qǐng)大家想一想，我們是怎樣發(fā)現(xiàn)乘法結(jié)合律的呢？”通過學(xué)生對(duì)方方面面的反思，引出教師最后的概括。雖然，學(xué)生要真正理解教師所做的概括還需要大量的體驗(yàn)，但相信經(jīng)歷多次這樣的過程，學(xué)生就能體會(huì)到探索的基本步驟。但是也凸顯其中的弱點(diǎn)：沒有充分發(fā)揮長方體的作用。主要表現(xiàn)在研究素材的三個(gè)算式上，3×4×5 、3×（4×5）、（3×5）×4出現(xiàn)的較牽強(qiáng)，出現(xiàn)之后沒有聯(lián)系長方體。如果教師僅僅是為了構(gòu)建研究素材而把長方體作為素材來源的話，那么就不能很好地發(fā)揮長方體的作用。細(xì)細(xì)羅列，計(jì)算有幾個(gè)小正方體一共有12個(gè)算式，分三大類。第一類從上面看：3×5×4、5×3×4、4×（3×5）、4×（5×3）；第二類從右側(cè)面看：3×4×5、4×3×5、5×（3×4）、5×（4×3）；第三類從正面看： 4×5×3、5×4×3、3×（4×5）、3×（5×4）。這12個(gè)算式之間的變化關(guān)系有乘法交換律：3×5=5×3、3×4=4×3、4×5=5×4；還有乘法結(jié)合律：3×5×4=3×（5×4）、5×3×4=5×（3×4）、3×4×5=3×（4×5）、4×3×5=4×（3×5）、4×5×3=4×（5×3）、5×4×3=5×（4×3）。3×5和5×3都表示上面這一面的小正方體的個(gè)數(shù)，每個(gè)面的小正方體個(gè)數(shù)體現(xiàn)了乘法交換律，而整個(gè)長方體的小正方體個(gè)數(shù)體現(xiàn)了乘法結(jié)合律。我認(rèn)為沒有哪一種方式能夠像長方體一樣把乘法結(jié)合律和乘法交換律體現(xiàn)得這么淋漓盡致，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。
　　如何充分發(fā)揮長方體的作用？我一直在思索，恰恰自己教學(xué)四年級(jí)上冊(cè)，可以親自帶著問題，按照自己的想法進(jìn)行試教，我覺得非常不錯(cuò)。主要體現(xiàn)在第一環(huán)節(jié)和第二環(huán)節(jié)的改進(jìn)上。
　　環(huán)節(jié)一：兩次充分觀察長方體
　　第一次觀察，學(xué)生獨(dú)立觀察長方體，列出算式，匯報(bào)算法。
　　第二次觀察，在學(xué)生匯報(bào)算法的時(shí)候，教師適當(dāng)引導(dǎo)每個(gè)學(xué)生從不同角度進(jìn)行觀察：你也是這樣觀察的嗎？如果不是，那請(qǐng)你也從這一角度進(jìn)行觀察，你能想出其他算式嗎？得到從一個(gè)角度觀察的一組算式，進(jìn)而得到12個(gè)不同的算式，分類有序板書。
　　環(huán)節(jié)二：從算式的數(shù)字本身和意義兩個(gè)角度自己發(fā)現(xiàn)乘法結(jié)合律與