摘要：本文對(duì)2011年四川省高考數(shù)學(xué)理科卷第21題的第二個(gè)問(wèn)題展開(kāi)五層探究，總結(jié)得到六個(gè)命題．
　　關(guān)鍵詞：高考題；探究
　　
　　2011年四川省高考數(shù)學(xué)理科卷第21題為：橢圓有兩頂點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），過(guò)其焦點(diǎn)F（0，1）的直線(xiàn)l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)Q． （1）略；（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A(yíng)，B兩點(diǎn)時(shí)，求證：? 為定值．
　　
　　圖1
　　此橢圓中b=c=1，可證得?=1． ?與b或c存在某種內(nèi)在聯(lián)系嗎？由此引發(fā)第一層探究．
　　
　　探究1：定值的特殊性
　　命題1：已知橢圓+=1的兩頂點(diǎn)A（-b，0），B（b，0），過(guò)焦點(diǎn)F（0，c）的直線(xiàn)l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P異于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)Q，則?=b2．
　　證明：直線(xiàn)l顯然存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+ck≠0，k≠±，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別設(shè)為（x1，y1），（x2，y2），．
　　由y=kx+c，+=1， 消去y得（b2k2+a2）x2+2b2ckx－b4=0，故x1+x2=－，x1x2= －．
　　直線(xiàn)AC的方程為y=（x+b），直線(xiàn)BD的方程為y=?（x-b）．
　　故=，由－b　　y1y2=（kx1+c）（kx2+c）=k2x1x2+kc?（x1+x2）+c2=－?，則與y1y2異號(hào)，故=，解得x=－． 所以?=－，0?－，y=b2． 至此命題1得證．
　　如果直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn)（不含中心）而其他條件不變，此時(shí)?=b2是否仍然成立？由此引發(fā)第二層探究．
　　
　　探究2：由長(zhǎng)軸上的特殊點(diǎn)變?yōu)殚L(zhǎng)軸上任意點(diǎn)
　　命題2：已知橢圓+=1的兩頂點(diǎn)A（-b，0），B（b，0），過(guò)長(zhǎng)軸上任意點(diǎn)F（0，m） （0　　證明：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+mk≠0，k≠±，0　　2=?==2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km?;（x1+x2）+m2= －?（bk+m）（bk-m），故=，解得x=－． 所以?=－，0?－，y=b2，至此命題2得證．
　　如果把直線(xiàn)l過(guò)長(zhǎng)軸上的任意點(diǎn)改為過(guò)短軸上的任意點(diǎn)（不含中心），那么?=b2仍然成立嗎？由此引發(fā)第三層探究．
　　
　　探究3：由直線(xiàn)過(guò)長(zhǎng)軸上的任意點(diǎn)變?yōu)橹本€(xiàn)過(guò)短軸上任意點(diǎn)
　　命題3：已知橢圓+=1的兩頂點(diǎn)A（0，-a），B（0，a），過(guò)短軸上任意點(diǎn)（m，0）（0　　此命題的證明可參照命題1和命題2的證明，不再贅述．
　　以上探究都基于直線(xiàn)過(guò)橢圓長(zhǎng)、短軸上的點(diǎn)，若放開(kāi)目光，在橢圓上選取動(dòng)點(diǎn)，與頂點(diǎn)作連線(xiàn)，又將帶來(lái)什么新的發(fā)現(xiàn)？由此引發(fā)第四層探究．
　　
　　探究4：由長(zhǎng)、短軸上的任意點(diǎn)變?yōu)闄E圓上任意點(diǎn)
　　命題4：已知橢圓+=1的兩頂點(diǎn)A（-b，0），B（b，0），點(diǎn)M是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，則?=a2．
　　
　　圖1
　　證明：設(shè)壓縮變換f把點(diǎn)（x，y）變?yōu)辄c(diǎn)（x1，y1），且滿(mǎn)足
　　x1=x，y1=y. 在f的作用下橢圓+=1變?yōu)閳Ax2+y2=a2． 如圖1所示，橢圓上的點(diǎn)A，B，M分別變?yōu)閳A上的點(diǎn)A1，B1，M1，點(diǎn)O，P，Q在變換前后保持不變，直線(xiàn)A1M1與直線(xiàn)B1M1與y軸的交點(diǎn)仍是點(diǎn)P，Q．
　　容易看出Rt△A1OP∽R(shí)t△QOB1，所以=，故OP?OQ=OA1?OB1=a2.
　　所以在橢圓+=1中，?=OP?OQ=a2，至此命題3得證．
　　類(lèi)比推理，不難得到與命題4類(lèi)似的命題．
　　命題5：已知橢圓+=1的兩頂點(diǎn)A（0，-a），B（0，a），點(diǎn)M是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB分別與x軸交于點(diǎn)P，Q，則?=b2．
　　此命題的證明可參照命題4的證明，不再贅述．
　　在探究4中，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)分別與橢圓的頂點(diǎn)作連線(xiàn)，如果橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)作連線(xiàn)，又將如何？由此引發(fā)第五層探究．
　　
　　探究5：由橢圓上任意點(diǎn)與頂點(diǎn)相連變?yōu)榕c焦點(diǎn)相連
　　命題6：已知橢圓+=1，M是橢圓上的任意點(diǎn)，MF1，MF2分別與橢圓交于點(diǎn)A，B，設(shè)=λ，=μ，則λ+μ=2（e為橢圓離心率）．
　　證明：若M是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，結(jié)論易于證明；反之則設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0）（x0≠0），MF1，MF2的直線(xiàn)方程分別是y=x+c，y=x－c．
　　由y=x+c，+=1，
　　得?x2+x－b2=0，故x0xA=，則xA=． 同理得xB=．
　　則λ+μ=+=+=．
　　命題5得證．
　　至此本文完成了對(duì)此道高考題的五層探究． 每年的高考試題無(wú)不凝集著命題者的智慧和汗水，給我們?nèi)粘５臄?shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的、寶貴的鮮活資源． 作為一線(xiàn)教學(xué)者，我們理應(yīng)重視對(duì)高考試題的深入思考和理性探究，洞察命題的設(shè)想和解題的思路，才能在豐富的變化中把握客觀(guān)規(guī)律，才能更好地應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)．