摘要：“數(shù)形結(jié)合”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要而實用的思想及方法，通過對近年來高考試題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)其中的很多題目都可以通過數(shù)形結(jié)合方法加以簡化并解決. 基于數(shù)形結(jié)合思想的高效性，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識的教學(xué)實踐，例談這種方法在方程、不等式及函數(shù)相關(guān)知識的求解中的應(yīng)用.
　　關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題應(yīng)用
　　
　　“數(shù)形結(jié)合”解題方法是經(jīng)典數(shù)學(xué)思想方法之一. 華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合無限好，割裂分家萬事休.” 數(shù)與形是初等數(shù)學(xué)研究的主要對象，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”解題往往會起到事半功倍的作用. 本文就“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，例談自己的看法.
　　
　　“數(shù)形結(jié)合”方法在解方程或不等式及討論方程解的問題中的應(yīng)用
　　對于含字母的方程f（x）=g（x）或不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））的問題，運用數(shù)形結(jié)合方法可以把問題看做兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)問題，特別是求方程近似解或解的個數(shù)或范圍時非常有效．
　　例1判別關(guān)于x的方程ax=－x2+2x+a（a>0且a≠1）的實根個數(shù)．
　　
　　圖1
　　分析：如圖1所示，構(gòu)造函數(shù)y1=－x2+2x，y2=ax－a，轉(zhuǎn)化為借助兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)問題求解． 當(dāng)a>1時，y2=ax－a是增函數(shù)，過x軸上點（1，0），y軸上點（0，1-a）. 又1－a<0，所以這兩個函數(shù)圖象必有兩個交點；當(dāng)0　　例2若不等式ax2+bx+c>0的解集為（2，3），則不等式ax2－bx+c>0的解集為_______.
　　
　　圖2
　　解析：由不等式ax2+bx+c>0的解集為（2，3）可知a<0，于是設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則其圖象開口向下，與x軸的交點為（2，0），（3，0），如圖2，而ax2－bx+c=f（－x），再畫出f（－x）的圖象，便可以直觀得到－3　　解決此題最關(guān)鍵的是抓住了一元二次不等式解集的形式及其與二次函數(shù)圖象的聯(lián)系，對照兩個不等式，可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系，利用函數(shù)圖象便可直觀求解了.
　　
　　“數(shù)形結(jié)合”方法在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用
　　運用數(shù)形結(jié)合方法解決函數(shù)問題，主要是通過分析代數(shù)式的含義來揭示其幾何意義，探尋解題的切入點，從而使問題獲得解決．
　　例3已知x∈R，確定f（x）=－的取值范圍．
　　分析仔細(xì)觀察上述代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到兩點的距離之差，如圖3，事實上，
　　f（x）=－，
　　
　　圖3
　　這表示x軸上點P（x，0）到兩點A－，和B，的距離之差，由于線段AB平行于y軸，不論P(yáng)（x，0）在x軸什么位置，始終可構(gòu)成△PAB，由“三角形任意兩邊之差小于第三邊”，得PA－PB　　例4若函數(shù)f（x）=x2-4x+5－m與x軸有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍為多少？
　　
　　圖4
　　解析：設(shè)函數(shù)y1=x2－4x+5，函數(shù)y2=m，則方程x2－4x+5=m的實數(shù)解，就是函數(shù)y1與y2圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)方程x2－4x+5=m有4 個不同的實數(shù)解時，兩個函數(shù)的圖象應(yīng)有4 個不同的交點.
　　在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖4所示，則得實數(shù)m的取值范圍是1　　
　　“數(shù)形結(jié)合”方法在不等式問題中的應(yīng)用
　　很多不等式與幾何圖形特別是三角形有著直接或間接的聯(lián)系，如果想到這一點往往能收到事半功倍之效.
　　例5正數(shù)a，b，c，A，B，C滿足a+A=b+B=c+C=k，求證aB+bC+cA　　分析：這是一道有難度的代數(shù)問題，運用代數(shù)方法來解決很困難，若從一個新的角度考慮，如從幾何的角度考慮，或許會收到出奇的效果.
　　由于三個的和相等，即為k，則易聯(lián)想到等邊三角形的三邊相等，而不等式可變形為aBsinα+bCsinα+cAsinα　　解析：如圖5，邊長為k的正三角形DEF，各邊取點L，M，N，使得DN=C，EN=c，EL=A，F(xiàn)L=a，DM=b，F(xiàn)M=B，那么S△FML+S△DMN+S△ENL　　故aB+bC+cA　　
　　“數(shù)形結(jié)合”方法在代數(shù)式中的幾何意義中應(yīng)用
　　例6設(shè)m，n，p為正數(shù)，且m2+n2－p2=0，求的最小值.
　　分析此題如果直接用代數(shù)方法求解，難以入手，但是仔細(xì)觀察“m，n，p為正數(shù)，且m2+n2－p2=0”這個條件，很容易聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)成一個有關(guān)直角三角形的圖形可能有助于解題，從而使解題思路變得寬闊.
　　
　　圖6
　　證明：以m，n為直角邊，p為斜邊的直角三角形，構(gòu)造加菲爾德圖形（如圖6）.
　　在直角梯形ABCD中，AD=p.
　　因為BC≤AD，所以m+n≤p，
　　所以≥=，
　　所以的最小值是.
　　評注：當(dāng)幾何圖形構(gòu)造出來后，答案似乎變得自然而然了. 本例聯(lián)系了加菲爾德圖形，巧妙地將題中等式表示成直角三角形邊的關(guān)系，并把這樣的直角三角形鑲嵌在加菲爾德圖形中.
　　總之，數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)了抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換，是中學(xué)解題常用的思想方法之一. 運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠直觀發(fā)現(xiàn)解題捷徑， 而且能避免大量的計算和復(fù)雜的推理，大大簡化解題過程. 因此，在平常解題過程中要多給學(xué)生滲透這種思想方法，多加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度，從而開拓學(xué)生的思維和視野.