摘要：在解決一類導數(shù)題的過程中，如果用常規(guī)方法就會帶來煩瑣的討論，并且學生不易掌握.筆者大膽下放部分相關的高等數(shù)學知識，實踐證明學生比較容易掌握和操作. 本文主要講述利用羅比達法則、函數(shù)的極限、函數(shù)的圖象等高等數(shù)學中的基本知識來解決這一類導數(shù)難題.
　　關鍵詞：導數(shù)；羅比達法則；函數(shù)極限；圖象
　　
　　筆者在進行導數(shù)教學的時候，留意到近幾年高考很多導數(shù)的所謂的“難題”，如果能夠?qū)W會利用高等數(shù)學中的導數(shù)知識畫出函數(shù)的大致圖象，結合圖象來解題會獲得事半功倍的效果. 下面筆者就講講如何利用好導數(shù)這個工具畫出函數(shù)的大致圖象.
　　首先，我們先來看看函數(shù)的大致圖象有哪些要點需要我們關注，也就是畫圖時哪些是需要我們大致弄清楚的. 筆者發(fā)現(xiàn)，要畫出函數(shù)的大致圖象不外乎要關注以下幾點：
　　一、得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點、極值
　　實現(xiàn)這點并不難，只要能夠準確求導就可以了.
　　二、得出函數(shù)與坐標軸的交點
　　函數(shù)圖象與y軸的交點一般不難求出，但是與x軸的交點往往不能輕易求出，我們的原則是能求盡量求出.
　　三、?搖求出函數(shù)在所給區(qū)間端點的函數(shù)值或函數(shù)值的變化趨勢
　　在這個過程中，值得提出的是有些區(qū)間比如［a，b］，函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f（a），f（b）很容易求出，但是有時區(qū)間為開區(qū)間（a，b），此時函數(shù)值f（a），f（b）可能不存在，這時我們可以求出■f（x）和■f（x），再利用這些極限值來解決問題.當我們遇到的區(qū)間是（a，+∞），（－∞，a），（－∞，+∞）這些結構時，我們也需要求出■f（x）和■f（x），再利用這些極限值來解決問題. 當然，在求函數(shù)極限時，可能會遇到■，■的形式，這時我們就要利用羅必達法則來求出函數(shù)的極限.下面先講講羅必達法則：
　　定理1：（羅必達法則I）假設函數(shù)f（x）和g（x）在x0的鄰域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=0，■g（x）=0，■■=A，則■■=■■=A.
　　定理2：（羅必達法則Ⅱ）假設函數(shù)f（xqxcB2eqlrozlr88eRcZSzGWFHQ0dKdDiPSzVrQk5ATU=）和g（x）在x0的鄰域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=∞，■g（x）=∞，■■=A，則■■=■■=A.
　　以上兩個定理的證明方法，讀者可以參考高校數(shù)學分析教材，在此筆者不再累述.下面筆者結合近幾年高考題講講如何利用上述方法做出函數(shù)的大致圖象解決導數(shù)綜合問題.
　　例1（2005全國卷Ⅱ）已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2-2ax）ex.
　?。?）當x為何值時，f（x）取得最小值？證明你的結論；
　?。?）設f（x）在［－1，1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.
　　解：（1）易得f′（x）=（x2+2x－2ax－2a）·ex. 令f′（x）=0，得［x2+2（1－a）x－2a］ex=0，從而x2+2（1－a）x－2a=0，解得x1=a－1－■，x2=a－1+■.
　　當x變化時，f（x），f′（x）的變化如表1：
　　所以f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值.
　　當a≥0時，x1<－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）上為減函數(shù)，在（x2，+∞）上為增函數(shù)，且■f（x）=0，■f（x）=+∞；易得函數(shù)與坐標軸交點坐標為（0，0），（2a，0）.
　　利用以上信息，所以我們可以得到函數(shù)的大致圖象，如圖1.
　　所以由圖1可得，函數(shù)在x=x2處取得最小值.
　　（2）利用（1）所得到的函數(shù)大致圖象可知，要使得f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是x2≥1，且必為遞減函數(shù). 于是，a－1+■≥1，解得a≥■，即f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是a≥■，a的取值范圍是■，+∞.
　　例2（2006年全國卷Ⅱ）設函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．
　　解：（1）當x=0時，不等式f（x）≥ax即為f（0）=0≥a·0=0，顯然成立，此時a∈R.
　?。?）當x∈（0，+∞）時，不等式f（x）≥ax變形為a≤■，所以問題就轉(zhuǎn)化為當x∈（0，+∞）時，不等式a≤■恒成立，則只需a≤■min.
　　下面令g（x）=■，其中x∈（0，+∞）. 易得g′（x）=■=■>0，?搖因為當x∈（0，+∞）時，x>ln（x+1）恒成立（證明略）. 于是g（x）在x∈（0，+∞）上遞增，且■g（x）=■■. 由于■（x+1）ln（x+1）=0，■x=0，所以我們利用羅必達法則可得■g（x）=■■=■■=1.
　　我們利用以上信息得到函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上的大致圖象如下：
　　■
　　圖2
　　結合圖象可得，當x∈（0，+∞）時，a≤（g（x））min=■g（x）=1.
　　例3（2008遼寧卷22）設函數(shù)f（x）=■－lnx+ln（x+1）．
　　（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
　　（2）是否存在實數(shù)a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．
　　解：（1）f′（x）=■－■－■+■=－■． 當x∈（0，1）時，f′（x）>0；
　　當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0．所以f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
　　由此知f（x）在（0，+∞）的極大值為f（1）=ln2，沒有極小值．
　　所以結合圖象可得，要使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞），只需要a≤0.
　　導數(shù)是一個很強大的數(shù)學工具，在新課程中導數(shù)也占據(jù)著重要的地位.我們一線數(shù)學教師應該充分引導學生利用好這個工具解決問題. 有必要時，可以下放一些高等數(shù)學中的知識，比如上述的羅必達法則，非常實用，操作性也很強.這樣會使得學生解決問題的能力加強，也會使得學生在高考中盡顯優(yōu)勢.