摘 要： 本文主要通過(guò)對(duì)近年來(lái)幾道典型的中考題的詳細(xì)剖析，分別介紹了基本圖形的分解、構(gòu)造、變換的應(yīng)用方法，目的在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解題中應(yīng)用上述方法提高學(xué)生的觀察，分析題意，重新構(gòu)造組合熟悉的基本圖形進(jìn)行計(jì)算和推理的能力。
　　關(guān)鍵詞： 基本圖形 分解 構(gòu)造 變換 中考題
　　
　　直線形、圓形是初中平面幾何的一個(gè)主要內(nèi)容，它們的定義、公理、定理和圖形，是進(jìn)一步研究直線形、圓形和其他幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，因此，我們把這些幾何圖形叫做“基本圖形”。在學(xué)習(xí)直線形性質(zhì)時(shí)，已初步培養(yǎng)了邏輯推理能力。一個(gè)幾何命題，由條件（A）和結(jié)論（B）兩部分構(gòu)成。證明一個(gè)幾何命題，是從條件A出發(fā)，應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一連串過(guò)渡結(jié)論，從而在此基礎(chǔ)上推出結(jié)論B，其基本形式為A→C→D→E→…→B，這里的過(guò)渡結(jié)論C、D、E、…，都是由一些基本圖形的性質(zhì)得出的幾何命題。因此，應(yīng)用基本圖形進(jìn)行命題轉(zhuǎn)化的能力，表現(xiàn)出邏輯推理的水平，從而說(shuō)明要提高邏輯推理能力。特別是近幾年來(lái)，中考幾何題突出考查基本圖形和基本元素間的相互關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)圖形的分解、組合、變形的能力，需要學(xué)生觀察，分析題意，重新構(gòu)造組合熟悉的基本圖形進(jìn)行計(jì)算和推理等。因此教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生熟練地掌握一些基本圖形及其應(yīng)用的方法。
　　從一般的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，有一些重要的例題、習(xí)題中常見的圖形，它們雖不是課本中定義、公理、定理的圖形，而是由基本圖形變形得到的，但由于它們?cè)诮忸}中用得較多，亦是研究比較復(fù)雜幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，這些圖形也被當(dāng)做基本圖形而應(yīng)用。
　　例如下面是關(guān)于梯形的兩個(gè)基本圖形：
　　圖1中將一腰AD平移到BE構(gòu)成△BCE，它含有梯形的兩腰，兩底角、兩底之差。圖2中將一對(duì)角線AC平移到BF構(gòu)成△BDF，它含有梯形的兩條對(duì)角線、兩對(duì)角線和一底的夾角、兩底之和。這兩個(gè)基本圖形由于將梯形的主要元素集中于三角形之中，加強(qiáng)了元素間的聯(lián)系，開拓了解題思路，因而應(yīng)用頗多。像這樣的基本圖形，也是我們要熟練掌握的。在明確了基本圖形的重要作用之后，對(duì)于基本圖形的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)方法考慮，概括為分解、構(gòu)造、變換三個(gè)方面，現(xiàn)逐一加以介紹。
　　一、分解
　　有時(shí)一個(gè)平面幾何圖形，它的線條縱橫交錯(cuò)，局部圖形重疊遮蓋，基本圖形如草里藏珠，令人視而不見，思路阻塞。這時(shí)，應(yīng)根據(jù)解題的需要，將復(fù)雜的圖形進(jìn)行剖析，并分解出有用的基本圖形，或應(yīng)用它們的性質(zhì)，或應(yīng)用它們的聯(lián)系，以便找到正確的解題途徑。由于幾何學(xué)是研究幾何圖形性質(zhì)的學(xué)科，因此培養(yǎng)認(rèn)識(shí)幾何圖形，善于把有用的基本圖形分解出來(lái)的能力，是一項(xiàng)首要任務(wù)。
　　平面幾何證題的基本思路，通俗地講，一是“從已知看可知到未知（求證）”，二是“從未知想需知到已知”。那么如何看可知?告訴我們應(yīng)從條件圖中看有用的基本圖形；又如何想需知?就是從條件圖中找需要的基本圖形。這里的會(huì)看、會(huì)找，就是會(huì)分解的意識(shí)。
　　二、構(gòu)造
　　研究幾何題，經(jīng)常需要給圖形添設(shè)輔助線，添設(shè)輔助線的實(shí)質(zhì)在于構(gòu)造基本圖形，以便將復(fù)雜的問(wèn)題化簡(jiǎn)，將隱蔽的關(guān)系明朗化，將分散的元素相對(duì)集中，從而找到一種解題途徑。同時(shí)，設(shè)計(jì)基本圖形的構(gòu)造，有時(shí)還需配合使用聯(lián)想、代換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。
　　例：（2006宿遷市中考題）如圖，在?荀ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．
　?。?）試說(shuō)明：AE⊥BF；
　?。?）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明.
　　分析：
　　（1）如圖4，延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P，構(gòu)造基本圖形等腰三角形ABE，利用三線合一性質(zhì)可證AP⊥BF；
　　（2）如圖5，延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O，由兩個(gè)基本圖形△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA得比，可知線段DF與CE是相等關(guān)系.
　　說(shuō)明：解題時(shí)在一些問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的圖形中，常常缺少基本圖形的某一部分，為了利用它的性質(zhì)，我們應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的需要構(gòu)造出基本圖形。例如例題中通過(guò)延長(zhǎng)BC、AE構(gòu)造了基本圖形△ODF∽△OAB，從而問(wèn)題得以證明。
　　三、變換
　　這里所說(shuō)的變換，是幾何變換的簡(jiǎn)稱。平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。應(yīng)用幾何變換解題時(shí)，主要是通過(guò)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的幾何圖形，改變它們的位置，或?qū)l件與結(jié)論相對(duì)集中，使它們的聯(lián)系明朗化，或在改變圖形的位置后，使條件與結(jié)論之間出現(xiàn)新的聯(lián)系，從而易于找到一種解題方法。
　　例：（2005無(wú)錫市中考題）已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC.
　?。?）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖6）；①設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；
　　.
　?、谶B接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而PC=6.
　　（2）利用旋轉(zhuǎn)變換將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理可證∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上.
　　說(shuō)明：熟練掌握基本圖形，掌握住變換的條件、變換的性質(zhì)，把幾何命題中分散的缺乏邏輯性的幾何元素通過(guò)變換加以有效集中，就能提高應(yīng)用幾何變換法解題的能力。
　　以上介紹了基本圖形的分解、構(gòu)造與變換，這是應(yīng)用基本圖形的研究直線形、圓形性質(zhì)的幾種基本方法。從智力訓(xùn)練的角度來(lái)看，它們是重要的創(chuàng)造性思維活動(dòng)，有利于培養(yǎng)靈活、獨(dú)創(chuàng)性等思維品質(zhì)。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文