摘 要： 利用導(dǎo)數(shù)可求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值。導(dǎo)數(shù)是分析和解決函數(shù)問(wèn)題的有效工具。
　　關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 應(yīng)用
　　
　　導(dǎo)數(shù)是一個(gè)特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想.隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)的不可缺少的工具.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)問(wèn)題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法.近年一些省高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過(guò)研究其圖像性質(zhì)，來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題.我結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作初步探究.
　　有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用單調(diào)性和極值求參數(shù)的取值或取值范圍，求方程的根的個(gè)數(shù)（或曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)）.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類型成為近兩年熱門的考點(diǎn)之一，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，預(yù)計(jì)也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn).
　　一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線
　　例1.已知曲線y=x-3x-1，過(guò)點(diǎn)（1，-3）作其切線，求切線方程.
　　分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
　　解：y′=3x-6x，當(dāng)x=1時(shí)y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3（x-1），即為：y=-3x.
　　方法總結(jié)：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x，f（x））處的切線的斜率.也就是說(shuō)，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x，f（x）），處的切線的斜率是f′（x），相應(yīng)的切線方程為y-y=f′（x）（x-x）.
　　二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
　　例2．求函數(shù)y=x-3x-1的單調(diào)區(qū)間.
　　分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可.
　　解：y′=3x-6x，由y′>0得3x-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2.
　　由y′<0得3x-6x﹤0，解得0﹤x＜2.
　　故所求單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）∪（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）.
　　方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；（4）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論.
　　三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
　　例3．求函數(shù)f（x）=x-4x+4的極值.
　　解：由f′（x）=x-4=0，解得x=2或x=-2.
　　當(dāng)x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：
　　當(dāng)x=-2時(shí)，y有極大值f（-2）=-，當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值f（2）=-.
　　方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求f′（x）=0的所有實(shí)數(shù)根；（3）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號(hào)如何變化，如果f′（x）的符號(hào)由正變負(fù)，則f（x）是極大值；如果f′（x）的符號(hào)由負(fù)變正，則f（x）是極小值.注意：如果f′（x）=0的根x=x的左右側(cè)符號(hào)不變，則f（x）不是極值.
　　四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
　　例4.（2005年全國(guó)卷Ⅱ）已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x-2ax）e．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）取得最小值？證明你的結(jié)論；（2）設(shè)f（x）在［-1，1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
　　分析與解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=（x+2x-2ax-2a）e．
　　令f′（x）=0，得x+2（1-a）x-2a=0．
　　解得x=a-1-，x=a-1+，其中x＜x.
　　當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）的值變化如下表：
　　∴f（x）在x=x處取得極大值，在x=x處取得極小值．
　　∵a≥0，x＜-1，x≥0，f（x）在（x，x）上為減函數(shù)，在（x，+∞）上為增函數(shù)．
　　而當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x（x-2a）e＞0；當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0.
　　所以當(dāng)x=a-1+時(shí)，f（x）取得最小值．
　　（2）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是x≥1，即a-1+≥1，解得a≥．
　　于是f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是a≥，即a的取值范圍是，+∞．
　　五、證明不等式
　　例5.（2004年高考天津卷）已知函數(shù)f（x）=ax+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-2．
　　（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
　　（2）證明對(duì)任意x，x∈（-1，1），不等式|f（x）-f（x）|＜4恒成立．
　　分析與解：從函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系著手．
　　（1）由題意f（-x）=-f（x），x∈R，得d=0．
　　由f′（x）=3ax+c，f（x）在x=1處取得極值，必有f′（1）=0，
　　故3a+c=0①
　　由f（1）=-2，得a+c=-2 ②
　　聯(lián)立①②，得a=1，c=-3，因此f（x）=x-3x．
　　求出f′（x）后，經(jīng)判斷知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)．其極大值為f（-1）=2．
　?。?）由（1）知，f（x）=x-3x在x∈［-1，1］上是減函數(shù)，且f（x）在［-1，1］上的最大值M=f（-1）=2，最小值m=f（1）=-2.所以，對(duì)任意x，x∈（-1，1），恒有|f（x）-f（x）|＜M-m=2-（-2）=4.
　　方法提升：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點(diǎn)題型.其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”.
　　六、求方程的根的個(gè)數(shù)
　　例6.已知函數(shù)f（x）=x-x+2的定義域?yàn)椋?2，t］（t∈N），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n.
　?。?）若函數(shù)f（x）在［-2，t］（t∈N）上為單調(diào)函數(shù)，求t的值；
　?。?）求證：n＞m；
　?。?）當(dāng)t取哪些值時(shí)，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三個(gè)不相等的實(shí)根？并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)p的取值范圍.
　　分析與解：（1）∵f′（x）=x（x-2），由f′（x）＞0得x＜0或x＞2，∴f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，所以t≤0，又t∈N，故t=0；
　　（2）因?yàn)閒（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，所以f（x）在x=2處取得極小值f（2）=，又f（-2）=-＜=f（2），所以f（x）定x=-2在處取得最小值，從而當(dāng)t∈N時(shí)，f（-2）＜f（t），即n＞m；
　　（3）由（1）知f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，故當(dāng)t=0或t=2時(shí)，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）最多只有兩個(gè)實(shí)根，所以t≥3，且t∈N.當(dāng)t≥3，且t∈N時(shí)，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三個(gè)不相等的實(shí)根，只需滿足p∈（max{f（-2），f（2）}，min{f（0），f（t）}）即可.如下圖所示，因?yàn)閒（-2）=-，f（2）=，f（0）=2，f（3）=2，且f（t）≥f（3）=2，因而p∈（，2）.
　　方法提升：研究方程的根的個(gè)數(shù)（或y=f（x）圖像與直線y=p的交點(diǎn)個(gè)數(shù)）的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是研究函數(shù)的單調(diào)性和最值的問(wèn)題.如能畫出圖像來(lái)分析，則更加直觀.
　　總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，以及切線問(wèn)題.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí).
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北京師范大學(xué)出版社）.
　?。?］高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考.
　　［3］高中數(shù)學(xué)考試研究轉(zhuǎn)貼于中國(guó)論文下載中心http://www.studa.net.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文