摘 要： 本文利用指數(shù)二分法、Banach不動點(diǎn)理論和一些不等式分析技巧，研究了一類變系數(shù)的時滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解的存在性與全局吸引性。在不要求激勵函數(shù)有界的條件下得到了時滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DCNNS）的概周期解的存在性，唯一性和全局性吸引性的充分條件，所得結(jié)論對設(shè)計DCNNS概周期振蕩解具有重要意義。
　　關(guān)鍵詞： 細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 概周期解 全局吸引性 指數(shù)二分法 Banach不動點(diǎn)定理
　　1.模型的描述和準(zhǔn)備
　　本文考慮如下變系數(shù)的時滯細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)：
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I，t≥0，i=1，2，…，n（1.1）
　　系統(tǒng)（1.1）可以改成下面的向量形式：
　　=-c（t）x（t）+A（t）f（x（t））+B（t）g（x（t-T））+I（t）（1.2）
　　在系統(tǒng)（1.1）和（1.2）中，n表示神經(jīng)元的個數(shù)，x（t）是第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài).f，g表示神經(jīng)元的激勵函數(shù)，均為連續(xù)函數(shù)，且滿足f（0）=g（0）=0，j=1，2，…，n.C（t）=diag（c（t），…，c（t）），…，c（t）＞0（i=1，2，…，n）是連續(xù)的概周期函數(shù).a（t），b（t）分別表示t時刻和t-τ時刻神經(jīng)元之間的連接權(quán).τ表示外部輸入，τ≥0是傳遞時滯，且τ＝{τ}，a（t），b（t），I（t）和c（t）均為連續(xù)的概周期函數(shù).對i，j=1，2，3，…，n，我們設(shè)：
　　c=c（t）＞0，I=|I|＜+∞，a=|a|＜+∞，b=|b|＜+∞.
　　定義1.1［２］ 設(shè)x（t）:R→R是連續(xù)函數(shù)，稱x（t）是R上的概周期函數(shù).若對任給的ε＞0，存在l=l（ε）＞0，使得在每個長度為1的區(qū)間內(nèi)總存在τ=τ（ε），使|x（t+τ）-x（t）|＜ε，對一切t∈R成立.
　　定義1.2 稱線性系統(tǒng)=Q（t）x（t），（1.3）
　　在R上具有指數(shù)二分性是指存在常數(shù)k，α＞0及投影p，使系統(tǒng)（1，3）的基解矩陣X（t），對任意的s，t∈R滿足：
　　|X（t）PX（s）|≤Ke（t≥s）
　　|X（t）（I-P）X（s）|≤Ke（t≤s）.
　　引理1.1［２］ 設(shè)線性系統(tǒng)（1，3）滿足指數(shù)二分性，則概周期系統(tǒng)
　　=Q（t）x（t）+f（t）（1.4）
　　存在唯一的概周期解ψ（t）=?蘩X（t）PX（s）f（s）ds-?蘩X（t）（I-P）X（s）f（s）ds
　　引理1.2［２］ 假設(shè)q（t）是一個概周期函數(shù)，并且：M［q］=?蘩q（s）ds＞0，i=1，2，…，n，則系統(tǒng)=diag（-q（t），…，-q（t））z（t）具有指數(shù)二分性.假設(shè)系統(tǒng)（1.1）的初始條件為：x（t）=φ（t），t∈［-τ，0］，i=1，2，…，n，其中φ（t）是連續(xù)的概周期函數(shù).令cc（［-τ，0］，R），對任意的φ=（φ，φ，…，φ）∈C，我們定義范數(shù)：‖φ‖=|φ（θ）|.
　　下面，我們列出本文所要用到的一些假設(shè)：
　?。℉1） 存在常數(shù)M＞0，N＞0（j=1，2，…，n），使：
　　|f（x）-f（y）|≤M|x-y|，
　　|g（x）-g（y）|≤N|x-y|，?坌x，y∈R
　?。℉2） 存在一組正數(shù)d，d，…，d，使max{dd（aM+bN）}ρ＜1
　　2.主要定理及證明
　　對于任意的向量x（t）=（x（t），x（t），…，x（t）），定義范數(shù)：‖x（t）‖=|dx（t）|，其中d是（H2）中所有定義.設(shè)A={ψ（t）|ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））}，其中ψ（t）是R→R上的連續(xù)概周期函數(shù).對于任意的ψ（t）∈A，定義誘導(dǎo)模：‖φ‖=‖φ（t）‖，則（A，‖.‖）是一個banach空間.
　　定理2.1 設(shè)（H1），（H2）成立，且滿足
　　（H3） M［C］=?蘩c（s）ds＞0，i=1，2，…，n，則在|φ-φ|≤β，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的概周期解.其中，β=syggg00，ψ（t）=［?蘩eI（s），…，?蘩eI（s）ds］.
　　證：對任意的φ（t）∈A，考慮非線性概周期微分方程
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（φ（t））+b（t）g（φ（t-τ））+I（t），j=1，2，…，n（2.1）
　　因M［C］＞0，由引理1.2，線性系統(tǒng)=-c（t）x（t）在R上具有一種指數(shù)二分性.由引理1.1，系統(tǒng)（3.1）存在唯一的解x（t），且具有如下形式：
　　x（t）={?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］，…，?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］ds}
　　下面我們定義映射F:A→A F（φ）（t）=x（t），φ∈A
　　令 A={φ/φ∈A，‖φ-φ‖≤β}，
　　顯然A是A中的閉凸子集，于是有：
　　‖φ‖≤ {d?蘩|I（s）|eds}≤ {d ?蘩ceds}=β
　　所以對任意的φ∈A，有：
　　‖φ‖≤‖φ-φ‖+‖φ‖≤β+β=
　　下面，我們先證明映射F是A→A的自映射.事實(shí)上，對于任意的ψ∈A，有：
　　‖F(xiàn)（ψ）-ψ‖=‖F(xiàn)（ψ）（t）-ψ（t）‖
　　≤ {d?蘩e|d+bdNψ（s-τ）|ds}
　　≤ {d?蘩ed（aM+bd）ds‖ψ‖}
　　={dd（aM+bd）ds}‖ψ‖≤β
　　即F（ψ）∈A，因此，映射F是A→A的自映射.
　　其次，證明映射F是A上一個壓縮映射，事實(shí)上，由條件（H），（H），對于任意φ，ψ∈A，有‖F(xiàn)（ψ）-ψ‖=‖F(xiàn)（ψ）（t）-ψ（t）‖
　　≤{d?蘩eaf（?準(zhǔn)（s））-f（ψ（s））+bg（?準(zhǔn)（s-τ））-g（ψ（s-τ））ds}
　　≤ {d?蘩ed（adM|?準(zhǔn)（s）-ψ（s）|+bdN|?準(zhǔn)（s-τ）-ψ（s-τ）|）ds}
　　≤ {d?蘩ed（aM+bN）ds‖?準(zhǔn)-ψ‖}
　　={dd（aM+bN）}‖?準(zhǔn)-ψ‖=ρ‖?準(zhǔn)-ψ‖
　　因0≤ρ≤1，顯然F是一個壓縮映射.
　　因此，由Banach不動點(diǎn)定理知，F(xiàn)有唯一的不動點(diǎn)ψ∈A，使Fψ=ψ，所以ψ（t）是系統(tǒng)（1.1）在A上的唯一概周期解.
　　令ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））是（1.1）唯一的概周期解，x（t）=（x（t），x（t），…，x（t））是系統(tǒng)（1.1）的任意解，則有：
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I（t），
　　=-c（t）ψ（t）+a（t）f（ψ（t））+b（t）g（ψ（t-τ））+I（t）
　　令y（t）=x（t）-ψ（t），F(xiàn)（y（t））=f（x（t）-f（ψ（t）））
　　 G（y（t-τ））=g（x（t-τ））-g（ψ（t-τ））
　　 Φ（t）=φ（t）-ψ（t），（i，j=1，2，3，…，n）
　　則可得到下面的系統(tǒng)：
　　=-c（t）y（t）+a（t）F（y（t）） +b（t）G（y（t-τ）），t≥0，y（t）=Φ（t），t∈［-τ，0］
　　顯然，系統(tǒng)（1.1）的概周期解的全局吸引性與系統(tǒng)（2.2）的零解的全局吸引性是等價的，為此我們下面僅考慮（2.2）零解的全局吸引性.
　　定理2.2 假設(shè)條件（H），（H）成立，則對于任意的Φ∈C，有
　　‖y（t）‖≤‖Φ‖，?坌t≥0
　　證：對（2.2）使常數(shù)變易公式，可得：
　　d|y（t）|≤ed|Φ（0）|+?蘩ed（aM|y（s）|+bN|y（s-τ）|）ds（2.4）
　　
　　對任意的Φ∈τ，令D=‖Φ‖＞0，為了證明（2.3），我們首先要證明對任意的h＞1，有：
　　‖y（t）‖＜hD，?坌t≥0（2.5）
　　如果（2.5）不成立，則存在t＞０，得‖y（t）‖=hD，‖y（t）‖≤hD，t∈［0，t］
　　因此由（2.4），則有：
　　hD=‖y（t）‖={d|y（t）|}≤{e‖Φ‖}+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds}≤{e+?蘩ceds}dd（aM+bN）}hD={e+（1-e）ρ}hD＜hD
　　顯然，這是矛盾的，所以（2.5）成立，令h→1，則（2.3）成立.特別地，系統(tǒng)（2.2）的解是一致有界的.
　　定理2.3 設(shè)（H），（H）成立，則系統(tǒng)（2.2）的平衡點(diǎn)是全局吸引的，從而系統(tǒng)（1.1）的概周期解是全局吸引的.
　　證：對任意的Φ∈C，由定理（2.2）的證明知：
　　‖y（t）‖≤D，?坌≥0（2.6）
　　因此存在常數(shù)σ≥0，使sup‖z（t）‖=σ（2.7）
　　假設(shè)σ>0，則由上極限的定義，對于任意小的常數(shù)ε>0，存在t≥0，使當(dāng)t≥t時，有：
　　‖y（t）‖≤（1+ε）σ，‖y（t-τ）‖≤（1+ε）σ（2.8）
　　因?yàn)閏>0，所以對上面的ε>0，d和D，存在T>0，使當(dāng)t≥T，有：
　　?蘩edd（aM+bN）Dds≤ε，i=1，2，…，n（2.9）
　　于是由（2.4）和（2.6）→（2.9），當(dāng)t≥t+T，有：
　　d|y（t）|≤edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
　　≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
　　≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edsdd（aM+bN）（1+ε）σ
　　≤eD+ε+（1-e）dd（aM+bN）（1+ε）σ
　　因此，‖y（t）‖={d|y（t）|}
　　≤{eD+ε+（1-e）ρ（1+ε）}
　　≤{eD+ρ（1+ε）}
　　令t→+∞，ε→0，那么，σ≤ρσ，因此ρ＞1，和（H）矛盾，因此σ≡0.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］L.Q.Chua and L.Yang，Cellular neural networks:Theory and application，IEEE Transactions on Circuits and Sydtems，35，1257-1272，1988.
　?。?］何崇佑.概周期微分方程.高等教育出版社，北京：1992.