摘要： 構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法，它是通過構(gòu)造數(shù)學(xué)問題沒有的中介工具——數(shù)學(xué)模型、對應(yīng)關(guān)系或存在實例，解決用常規(guī)方法不易解決的數(shù)學(xué)問題。研究構(gòu)造法在高考中的應(yīng)用，對于指導(dǎo)教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)有重要意義。作者提供了豐富翔實的用構(gòu)造法解高考數(shù)學(xué)試題的例證，借此詮釋用構(gòu)造法解題的中介工具有哪些，以及怎樣構(gòu)造，構(gòu)造法解題的優(yōu)越性和應(yīng)用的廣泛性，提高構(gòu)造法解題能力的措施和現(xiàn)實意義.
　　關(guān)鍵詞： 構(gòu)造法 高考數(shù)學(xué)試題 解題應(yīng)用
　　
　　解題通常是由問題的題設(shè)推出結(jié)論，但有些問題（例如存在性問題，條件與結(jié)論相距較遠(yuǎn)的問題等），直接推理有時不能順利進(jìn)行，此時不得不尋找某種中介工具來溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系.解題的中介工具往往隱含在問題之中，需要解題者發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造.這種構(gòu)造問題本身沒有的中介工具——數(shù)學(xué)模型、對應(yīng)關(guān)系或存在實例，去實現(xiàn)解題的方法就是構(gòu)造法.構(gòu)造法是一種較高層次的化歸方法，是一種富有創(chuàng)造性和具有活力的數(shù)學(xué)思想方法.在近幾年的高考試題中，有不少考題用常規(guī)方法不易解決，需要考生構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹薪楣ぞ邅斫鉀Q這些非常規(guī)問題.研究構(gòu)造法在高考解題中的應(yīng)用，對于提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維能力有重要意義.我對構(gòu)造法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做了初步研究，在此與各位同行商榷.
　　一、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型——溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系
　　1.構(gòu)造函數(shù)
　　構(gòu)造函數(shù)法就是根據(jù)對問題中數(shù)量關(guān)系的分析，構(gòu)造一個或幾個函數(shù)，再利用所構(gòu)造的函數(shù)解決問題的方法.函數(shù)溝通了常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)間的關(guān)系，可解決方程、不等式、數(shù)列、三角等常量數(shù)學(xué)中的問題.
　　例1.（2009江西文，15）若不等式≤k（x+1）的解集為區(qū)間［a，b］，且b-a=1，則k=?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：設(shè)y=，y=k（x+1）.由數(shù)形結(jié)合，半圓y=在直線y=k（x+1）之下時，x∈（1，2），則直線y=k（x+1）過點(diǎn)（1，），∴.
　　本題考查求參數(shù)的值，由于所給不等式是無理不等式，局限在不等式的范疇不易求解，鑒于此，構(gòu)造函數(shù)并利用直觀的函數(shù)圖像表示抽象的數(shù)量關(guān)系而獲解.考生應(yīng)重視培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想意識，熟練做到“以數(shù)表形，以形助數(shù)”，借此開拓思維，激發(fā)解題的靈感.
　　2.構(gòu)造方程
　　根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)論特征，構(gòu)造出一個新的方程或方程組，然后根據(jù)方程的理論使問題在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)下獲解，這種解法就是構(gòu)造方程法.方程思想滲透于整個中學(xué)數(shù)學(xué)體系中，方程知識應(yīng)用在證明等式和不等式，求參數(shù)的取值范圍，代數(shù)中的待定系數(shù)法、解析幾何中的曲線方程、參數(shù)方程、交軌法等方面.構(gòu)造方程解題依賴于對問題的整體性認(rèn)識和把握，關(guān)鍵是挖掘出構(gòu)造方程的隱含條件.
　　例2.（2011浙江理，16）設(shè)x，y為實數(shù)，若4x+y+xy=1，則2x+y的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：已知等式可變形為（2x+y）-3xy=1，令2x+y=t，則2xy=（t-1）.由韋達(dá)定理知2x、y為一元二次方程z-tz+（t-1）=0的兩根.又2x、y為實數(shù)，∴△=（-t）-4××（t-1）≥0，即t≤，|t|≤.則2x+y的最大值是.
　　本題常規(guī)解法是利用不等式“a+b≥2ab”，變形技巧性強(qiáng)，解題過程繁雜.已知等式隱含著2x+y與2xy之間的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造方程求解，思路清晰，過程流暢.真可謂“方法對頭，事半功倍”.構(gòu)造一元二次方程還有利用判別式和方程解的定義.
　　3.構(gòu)造坐標(biāo)
　　解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范.坐標(biāo)法是通過建立坐標(biāo)系，把幾何問題化歸為代數(shù)問題，通過代數(shù)結(jié)論去獲得幾何結(jié)論.其實數(shù)形結(jié)合還可在相反方向上得到具體運(yùn)用，即通過坐標(biāo)系的建立，把代數(shù)問題化歸為幾何問題，如例3.
　　例3.（2008江蘇，13）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：取直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）.設(shè)C（x，y），由AC=BC，得=?，整理得（x-3）+y=8（y≠0）.當(dāng)C（3，2）時，△ABC的面積最大值為×2×2=2.
　　本題從表面上看是一道解三角形的問題.一般解法是利用三角形的面積公式S=bcsinA建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)求解，此種解法對推理和運(yùn)算的能力要求很高，解題步驟多，小題大做.而本題解法打破思維定勢的影響，另辟蹊徑，構(gòu)造坐標(biāo)法，獲得簡便解法.此種解法別開生面，充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法解題的優(yōu)越性.
　　4.構(gòu)造向量
　　向量既具有數(shù)的特性又具有形的特征，既可進(jìn)行幾何運(yùn)算又可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，這種特點(diǎn)使得向量具有廣泛的應(yīng)用.向量可解決平行、垂直、角、距離等問題.向量是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁.
　　例4.（2008全國Ⅰ理，10）若直線+=1通過點(diǎn)M（cosα，sinα），則（?搖?搖）.
　　A.a+b≤1 B.a+b≥1 C.+≤1D.+≥1
　　解：設(shè)向量=（cosα，sinα），向量=（，）.由題意知+=1.由?≤||||，可得1=+≤.∴+≥1.選D.
　　本題是一道解幾問題，條件與結(jié)論難以直接溝通.通過構(gòu)造向量架起條件與結(jié)論之間的橋梁，利用向量的性質(zhì)解題.構(gòu)造向量解題的要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識把所給問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
　　5.構(gòu)造圖形
　　如果問題給出的幾何圖形不便于解題，代數(shù)問題的條件或結(jié)論中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種形式可與幾何圖形建立聯(lián)系，則可考慮構(gòu)造幾何圖形，將題設(shè)條件與結(jié)論直接在圖形中得到實現(xiàn)，在構(gòu)造的圖形中尋求原問題的結(jié)論，這種解題方法就是構(gòu)造圖形法.
　　例5.（2008福建，15）若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：以已知三棱錐的三個側(cè)面為側(cè)面，可作一個棱長為的正方體，已知三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設(shè)半徑為R，則（2R）=（）+（）+（），R=，表面積為4πR=9π.
　　例6.（2010江蘇，13）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性.
　　當(dāng)A=B或a=b時滿足題意，可依次求出：cosC=，sinC=，tanC=2，tan=，tanA=tanB==，==4.
　　例7.（同例4）
　　解：過O作OH垂直已知直線于H，則OH≤OM.∴≤=1，∴≥1，+≥1.選D.
　　這三例都是構(gòu)造幾何模型.例5采用補(bǔ)形法構(gòu)造立幾模型例6采用特殊化法構(gòu)造平幾模型.添加輔助線、割補(bǔ)、幾何變換、特殊化等是常用的構(gòu)圖方法例7利用試題結(jié)論的幾何意義構(gòu)造平幾模型，利用直觀的圖形表示不等關(guān)系.構(gòu)造成功的關(guān)鍵是掌握某些表達(dá)式的幾何意義.
　　構(gòu)造法所要構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型是指那些反映特定問題的數(shù)學(xué)對象及其關(guān)系結(jié)構(gòu)的具體、直觀、典型的模式，除以上舉例說明的之外，還有實數(shù)、復(fù)數(shù)、式、變量、數(shù)列、不等式、集合、輔助命題等.構(gòu)造模型是一種創(chuàng)造性思維，但離不開對題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的深刻認(rèn)識.
　　二、構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系——利用新的對應(yīng)關(guān)系解題
　　這種方法是通過建立題設(shè)與結(jié)論之間的對應(yīng)關(guān)系，利用對應(yīng)關(guān)系的性質(zhì)解題.在多數(shù)情況下是建立確定的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解題.
　　例8.（2008江蘇理，附加題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)P（x，y）是橢圓+y=1上的一個動點(diǎn)，求S=x+y的最大值.
　　
　　解：因橢圓的參數(shù)方程為x=cosφ，且y=sinφ（φ為參數(shù)），故可設(shè)動點(diǎn)P（cosφ，sinφ），其中0≤φ＜2，因此，S=x+y=cosφ+sinφ=2sin（φ+）.所以當(dāng)φ=時，S=2.
　　例9.（2010江蘇，12）設(shè)x，y為實數(shù)，滿足3≤xy≤8，4≤≤9，則的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：設(shè)xy=m，=n，解得x=mn，y=mn，∴=.又3≤m≤8，4≤n≤9，∴≤≤，16≤n≤81.∴2≤≤27，即2≤≤27，∴的最大值是27.
　　例8可利用二元函數(shù)的幾何意義構(gòu)造直線，利用判別式解題.此題的解法是利用橢圓的參數(shù)方程把求二元函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.
　　例9一般解法是對已知不等式首先取對數(shù)再用待定系數(shù)法，解法繁瑣；或者采用拼湊方法，但技巧性太強(qiáng)，這兩種解法都不理想.本題的解法是通過引入兩個參數(shù)，構(gòu)造新的對應(yīng)關(guān)系，解法簡單明了.
　　三、構(gòu)造存在實例或反例——存在性問題的構(gòu)造性解法
　　所謂存在性問題，是指結(jié)論中含有“存在”一詞的問題，是討論某一數(shù)學(xué)對象是否存在，或某一數(shù)學(xué)對象是否具有某種性質(zhì)的問題.這種問題的表現(xiàn)形式有肯定型、否定型和討論型三類.存在性問題的解法有構(gòu)造性和非構(gòu)造性的兩種.
　　非構(gòu)造的解法是利用反證法論證具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象存在，但不提供求解方法.構(gòu)造性的解法則不同，不但需要指出數(shù)學(xué)對象存在的實例或提供怎樣求法，而且證明滿足題設(shè)條件.簡言之，就是“構(gòu)造+證明”.特別指出，反證法在構(gòu)造法中起著重要作用.
　　例10.（2010江西理，22）證明以下命題：
　?。?）對任一正整數(shù)a，都存在整數(shù)b，c（b　　（2）存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長a，b，c為正整數(shù)且a，b，c成等差數(shù)列.
　　證明：（1）考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特殊值1，5，7，易知成等差數(shù)列.只需取b=5a，c=7a，則a，（5a），（7a）也成等差數(shù)列，所以對一切正整數(shù)a均能成立.
　　（2）結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明能構(gòu)成三角形，再用反證法證明互不相似，且無窮.（證明略）
　　尋找存在實例常從簡單、特殊情況入手探索，這也是構(gòu)造存在實例常用的方法.一些存在實例往往具有簡單、對稱、統(tǒng)一、和諧、奇異等數(shù)學(xué)美的特征，追求數(shù)學(xué)美是發(fā)現(xiàn)存在實例的重要手段；有些存在實例是通過經(jīng)驗歸納和類比猜測獲得的，一些具有特殊性質(zhì)的元素，往往是構(gòu)造存在實例時要優(yōu)先考慮的對象.
　　構(gòu)造法是一種靈活性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題方法，沒有統(tǒng)一的構(gòu)造模式，在數(shù)學(xué)高考中有著廣泛的應(yīng)用.使用構(gòu)造法解題要求解題者具備扎實的基礎(chǔ)知識，敏銳的觀察能力，豐富的想象能力和嫻熟的轉(zhuǎn)化能力.構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維方法，要想提高自己使用構(gòu)造法解題的能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)學(xué)會積極開動腦筋，主動思考，互動交流，學(xué)會善于分析問題與解決問題，并在不斷地思考與交流中，經(jīng)常對同一問題進(jìn)行不同形式的構(gòu)造，善于對問題進(jìn)行靈活的構(gòu)造和將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型.長期堅持訓(xùn)練，對于鞏固基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)解題能力，啟迪思維具有重要意義，同時我們的創(chuàng)新意識就能不斷增強(qiáng)，創(chuàng)新能力就能不斷提高，在高考考場上就能做到靈活應(yīng)試，適時應(yīng)用構(gòu)造法快速解答相關(guān)考題，贏得寶貴的考試時間，為取得優(yōu)異的高考成績奠定基礎(chǔ).
　　
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