摘 要： 定積分的概念是微積分中的一個(gè)重要概念，高職院校的學(xué)生一般不容易掌握，作者通過提前預(yù)備、實(shí)例引入、分析概括、概念剖析、幾何直觀、鞏固練習(xí)等環(huán)節(jié)的教學(xué)實(shí)踐，達(dá)到既讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，又培養(yǎng)學(xué)生能力的目的。
　　關(guān)鍵詞： 高職數(shù)學(xué) 定積分 概念數(shù)學(xué)
　　
　　《應(yīng)用數(shù)學(xué)》是高職院校許多專業(yè)開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課，對(duì)后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)及今后的發(fā)展都具有重要的意義。其中定積分的概念又是《應(yīng)用數(shù)學(xué)》中微積分部分的一個(gè)重要概念。若學(xué)生對(duì)定積分的概念不能正確理解，必將影響到積分理論及相關(guān)專業(yè)課的學(xué)習(xí)。然而由于高數(shù)知識(shí)不像文史類知識(shí)那樣有生動(dòng)的語(yǔ)言和靈活的想象空間，因此學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)往往提不起興趣，久而久之產(chǎn)生厭學(xué)情緒。解決這一問題的關(guān)鍵是教師能否在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)走進(jìn)數(shù)學(xué)，也讓學(xué)生從數(shù)學(xué)走進(jìn)現(xiàn)實(shí)［１］。我根據(jù)自己多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劧ǚe分概念教學(xué)中的一些嘗試。
　　一、提前預(yù)備，做好鋪墊［2］
　　定積分的概念冗長(zhǎng)而抽象，由于高職學(xué)生普遍基礎(chǔ)較差，他們一看到數(shù)學(xué)中文字較長(zhǎng)的問題就頭暈，因此很難理解定積分的概念。鑒于此，我們可以在講課之前提出問題：如何知道一片樹葉一面的面積？學(xué)生的回答一般是網(wǎng)格法，即將樹葉蓋住有方格的紙片，然后用鉛筆畫出其邊界，數(shù)數(shù)邊界內(nèi)方格的個(gè)數(shù)，邊界部分對(duì)應(yīng)的方格四舍五入，就可知道樹葉的大概面積，網(wǎng)格越密測(cè)得面積越精確。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深入討論：①網(wǎng)格無(wú)限密會(huì)怎樣？②“有限”與“無(wú)限”的區(qū)別？③能否用“線型法”（即用n條等距的平行直線分割樹葉）測(cè)得樹葉的面積？通過這類問題的討論，為定積分概念的實(shí)例——曲邊梯形的面積問題的解決打下了良好的基礎(chǔ)。
　　二、實(shí)例引入，注重方法
　　引入定積分概念的實(shí)例較多，常見的有“曲邊梯形的面積”、“變速直線運(yùn)動(dòng)的路程”等［3］。對(duì)“曲邊梯形的面積問題”可著重分析：①任意曲線圍成的圖形面積只要坐標(biāo)系選取適當(dāng)，都可轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積來(lái)求；②底邊大的曲邊梯形的面積無(wú)法直接求出，底邊小的呢？底邊小的曲邊梯形由于其高度變化不大，面積可近似地用矩形面積代替，于是自然想到了將底邊大的曲邊梯形分割成底邊小的曲邊梯形；③每個(gè)小的曲邊梯形面積都用矩形面積近似代替；④將各個(gè)小曲邊梯形面積相加即得到曲邊梯形面積的近似值；⑤想得到精確值只有無(wú)限細(xì)分——極限的處理辦法。具體來(lái)說(shuō)，曲邊梯形面積可分以下四步完成：分割、近似、求和、取極限。對(duì)引例“變速直線運(yùn)動(dòng)的路程”問題則以啟發(fā)為主，與學(xué)生一起進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，引導(dǎo)學(xué)生得出類似的結(jié)論。在講解與分析過程中，強(qiáng)調(diào)“曲”與“直”、“變”與“不變”的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分體會(huì)極限的思想與方法。講完兩實(shí)例后，可以要求學(xué)生思考：在生活與實(shí)際工作中，你還能找出哪些問題與上述問題類似？
　　三、分析概括，抽象定義
　　通過兩個(gè)實(shí)例的分析講解，我引導(dǎo)學(xué)生拋開問題的實(shí)際意義，僅從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)找出它們的共性，并從共性中得出定義。
　?、賳栴}的本質(zhì)是一樣的，都是在一定范圍內(nèi)求整體量問題；
　?、诮鉀Q問題的方法是一樣的，都涉及“整”化“零”、“直”代“曲”、“不變”代“變”；
　?、厶幚淼牟襟E是一樣的，分“分割、近似、求和、取極限”四步；
　?、芩媒Y(jié)論一致：特殊形式的“和式極限”。
　　四、剖析概念，領(lǐng)會(huì)本質(zhì)
　　定積分的概念敘述較長(zhǎng)，學(xué)生不易理解，因此在引出定積分的概念之后，應(yīng)對(duì)定積分的概念作必要的解釋：定積分是一個(gè)特殊的極限值，與不定積分完全不同；極限值的唯一性說(shuō)明定積分的值是唯一確定的，與區(qū)間的分法及每個(gè)區(qū)間中變量的取法無(wú)關(guān)；定積分的值僅與區(qū)間及函數(shù)有關(guān)，所以積分f（x）dx與積分f（t）dt相等。
　　五、幾何意義，解釋直觀
　　每個(gè)定積分表達(dá)式，無(wú)論其實(shí)際意義是什么，都可從幾何方面作出解釋，介紹定積分的幾何意義時(shí)，先從引例“曲邊梯形的面積”談起，學(xué)生很容易知道：當(dāng)被積函數(shù)f（x）≥0時(shí)，定積分f（x）dx表示由曲線y=f（x）及直線x=a，x=b，x軸圍成圖形的面積，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生分析得出當(dāng)f（x）≤0及f（x）有時(shí)正有時(shí)負(fù)時(shí)定積分f（x）dx的幾何意義，并要求學(xué)生練習(xí)與定積分幾何意義相關(guān)的一些問題。
　　六、課后練習(xí)，鞏固概念
　　為了加深對(duì)定積分概念的理解，一般在講完定積的概念與幾何意義之后，可安排一定的練習(xí)，如：①求曲線y=x及直線x=1，x軸圍成圖形的面積；②用幾何意義求（2x+1）dx.通過練習(xí)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定積分定義及幾何意義的理解。
　　以上是我們?cè)诙ǚe分的概念教學(xué)中作的一些嘗試，在教學(xué)過程中如果能借助多媒體，對(duì)“分割、近似、求各、取極限”的過程以動(dòng)畫演示，會(huì)取得更好的效果。我們還發(fā)現(xiàn)，在定積分概念的教學(xué)過程中，學(xué)生除了能學(xué)到必需的數(shù)學(xué)知識(shí)外，還可對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的思想教育。以變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題為例，首先，求和后得到的路程是近似值，一旦取極限后就轉(zhuǎn)化為精確值，這一變化體現(xiàn)了從“量變”到“質(zhì)變”的過程；其次，“變”和“不變”本來(lái)是對(duì)立的，但在無(wú)限小的條件下，兩者變成一回事了，這體現(xiàn)了兩者既對(duì)立又統(tǒng)一；最后，定積分的概念是從特殊問題中抽象出來(lái)的，而這類問題又普遍存在，說(shuō)明普遍性存在于特殊性之中。
　　
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