摘 要： 函數(shù)值域是函數(shù)部分的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的比重，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。本文將結(jié)合高中學(xué)生認(rèn)知的特點(diǎn)以常見(jiàn)的題型為“線”來(lái)總結(jié)求值域的方法。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù)值域 函數(shù)類型 教法 線 點(diǎn)
　　
　　函數(shù)值域是函數(shù)部分的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的比重，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).求值域的方法比較多，學(xué)生掌握起來(lái)有一定的難度，這就需要教師在教法上下工夫.傳統(tǒng)的教法是以求值域的方法為線來(lái)展開(kāi)教學(xué)的，我認(rèn)為這樣的教法雖然能比較系統(tǒng)地將求值域的方法一一講授，但不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體把握.我認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生的認(rèn)知角度來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué).本文將以函數(shù)類型為“線”將求值域的方法這些“點(diǎn)”串起來(lái)，供參考.
　　在高中階段，學(xué)生要面對(duì)的大部分函數(shù)是二次型函數(shù)、分式型函數(shù)和無(wú)理型函數(shù)（或通過(guò)變形、化簡(jiǎn)得到）.本文主要從這幾種類型的函數(shù)來(lái)闡述求值域的方法.
　　一、二次型函數(shù)（二次函數(shù)或可化成二次函數(shù)的函數(shù)）求值域
　　例1.求函數(shù)y=x-2x，x∈（，2）的值域
　　解析：本題是二次函數(shù)，我們考慮用配方法解決.
　　y=x-2x=（x-1）-1，x∈（，2）
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?1，0）
　　例2.求函數(shù)y=sinx-3sinx+4的值域
　　解析：本題是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，但通過(guò)運(yùn)用換元法可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)解決.
　　令sinx=t，則t∈［-1，1］
　　∴y=t-3t+4=（t-）+
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?，8］
　　一般可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的函數(shù)可以用配方法求值域.
　　二、分式型函數(shù)求值域
　　例3.求函數(shù)y=的值域
　　解析：本題用分離常數(shù)法將原函數(shù)化成了只有分母含有自變量的式子求值域.
　　y===2+
　　∴y≠2
　　∴函數(shù)值域?yàn)椋?∞，2）∪（2，+∞）
　　一般分子分母同次且變量的系數(shù)成比例的分式求值域用分離常數(shù)法.
　　例4.求函數(shù)y=的值域
　　解析：本題不能分離常數(shù)，觀察函數(shù)分子分母的最高次為二次，定義域?yàn)镽，我們考慮利用根的判別式求值域.
　　兩邊同時(shí)乘以（x+x+1）得yx+yx+y=2x+x+1
　　變形得（y-2）x+（y-1）x+y-1=0
　　當(dāng)y=2時(shí)，x=-1
　　當(dāng)y≠2時(shí)，Δ=（y-1）-4（y-1）（y-2）≥0，∴1≤y≤
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?，］
　　一般可以化成二次方程的分式函數(shù)（特別是定義域?yàn)镽）可以用判別式法.
　　例5.求函數(shù)y=（x＞0）的值域
　　解析：本題雖然能化成二次方程，但函數(shù)定義域不是R，用判別式法3hNFyCSEGZFdaREWsso4p0R4qoRxbQUbuAdHhDcP/Ow=比較麻煩，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)我們考慮用基本不等式解決.
　　∵x＞0 ∴y==
　　∵x+≥2 ∴y∈（0，］（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?，］
　　例6.求函數(shù)y=x+（x∈［2，3］）的值域
　　解析：本題不適合用基本不等式解決（“=”取不到），我們考慮用函數(shù)的單調(diào)性解決.
　　∵y=x+在［2，3］上是單調(diào)增函數(shù)
　　∴函數(shù)值域?yàn)椋郏?br/>　　一般對(duì)于用基本方法不好解決的函數(shù)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.
　　三、無(wú)理型函數(shù)求值域
　　例7.求函數(shù)y=x+2的值域
　　解析：本題含有無(wú)理項(xiàng)，我們考慮用換元法把根式去掉.
　　令t=，則t≥0，x=t-1
　　∴y=t-1+2t=（t+1）-2（t≥0）
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?1，+∞）
　　一般含有無(wú)理項(xiàng)的函數(shù)求值域可以先用換元法化簡(jiǎn).
　　例8.求函數(shù)y=x+的值域
　　解析：本題用普通換元法不能將根式去掉，結(jié)合函數(shù)結(jié)構(gòu)我們考慮用三角換元法求解.
　　由1-x≥0得-1≤x≤1
　　令x=sinθ（θ∈［-，］），則y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
　　∵θ∈［-，］
　　∴θ+∈［-，］
　　∴-1≤y≤
　　∴函數(shù)值域?yàn)椋?1，］
　　例9.求函數(shù)y=-的值域
　　解析：本題雖然含有無(wú)理項(xiàng)，但換元并不能把根式去掉，達(dá)不到化簡(jiǎn)的目的，我們考慮用單調(diào)性解決.
　　y=-=
　　易得函數(shù)在定義域［１，＋∞）上是減函數(shù)
　　所以函數(shù)值域?yàn)椋?，］
　　一般對(duì)于基本方法不好解決的函數(shù)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.
　　此外還有高次函數(shù)等其他類型函數(shù)的函數(shù)，在這里就不一一敘述了.
　　總之，以求值域的方法為“線”來(lái)組織教學(xué)是用方法來(lái)總結(jié)題目；以函數(shù)類型為“線”來(lái)組織教學(xué)是用題型來(lái)總結(jié)方法，而從我們的認(rèn)知情況來(lái)看，我們先面對(duì)的是題目而不是方法.