從數(shù)學(xué)發(fā)展史中，我們知道，函數(shù)的概念是在方程的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。可從馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》中找到依據(jù)：“函數(shù)一詞，最初是在處理方程個(gè)數(shù)少于其中出現(xiàn)的未知數(shù)的所謂不定方程時(shí)，引到了代數(shù)中來的。這里，例如y的值的變化取決于人們譬如對x給予的數(shù)值3、4、5等等。這里的y叫做x的函數(shù)，因?yàn)樗仨毞膞的命令，正象每個(gè)官員，甚至偉大的威廉一世也要依從某個(gè)人一樣?！焙瘮?shù)發(fā)展到了十九世紀(jì)七十年代，由于康托爾的集合論問世，函數(shù)自變量突破了“變量是數(shù)”的限制，提出了函數(shù)的變量可以是任何集合的元素，泛指任何研究對象，大大拓寬了函數(shù)定義的適應(yīng)范圍。于是更一般的抽象概念——映射就發(fā)展起來了。
　　映射這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展不可分離的重要概念，它建立了客觀世界具有某種屬性的“量”的依存關(guān)系，使許多數(shù)學(xué)分支諸如解析函數(shù)，實(shí)變函數(shù)、泛函、概率論以及拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科脫穎而出。利用映射的思想還可以重新認(rèn)識初等數(shù)學(xué)，提高其理論水平和抽象水平。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，初等數(shù)學(xué)并沒有停止在“初等”時(shí)期的水平，而通過大量吸收現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法使初等數(shù)學(xué)得到迅速充實(shí)和提高，尤其是建立在集合論基礎(chǔ)上的映射思想幾乎滲透到了初等數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，使今天的初等數(shù)學(xué)煥發(fā)出誘人的活力，越來越多的科學(xué)工作人員或從事數(shù)學(xué)專業(yè)的人員都投進(jìn)到了初等數(shù)學(xué)奧秘的懷抱，大大促進(jìn)了初等數(shù)學(xué)發(fā)展。中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容都是初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此，它的知識結(jié)構(gòu)和理論體系都大量滲透著映射的思想和方法。我們學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)應(yīng)重視映射方法，光大映射法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的功能和作用。
　　什么是映射法呢?映射法是指把兩類數(shù)學(xué)對象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對應(yīng)關(guān)系”，通過這種對應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的等構(gòu)轉(zhuǎn)換而變未知為已知的化歸思想方法。映射作為一種關(guān)系為研究和處理數(shù)學(xué)問題提供了必要的思想基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ)。映射法處理數(shù)學(xué)問題的一般模式為：
　　這個(gè)圖示總的思維過程遵循化歸方法的基本思想，即喬治·波利亞的解題思想和一般模式，從離中心問題近處向離中心問題遠(yuǎn)處依次搜索前進(jìn)，再通過綜合反饋還原成中心問題的解。從這個(gè)圖示中還可以看到，對數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化并不是僅一次映射變換就能發(fā)現(xiàn)直接結(jié)果，同時(shí)也不是僅一次反演變換就能還原到間接結(jié)果。
　　最典型而且最有說服力的映射化歸思想應(yīng)歸結(jié)為笛卡爾的坐標(biāo)法(解析法)。它把初等數(shù)學(xué)原本是獨(dú)立發(fā)展的代數(shù)與幾何利用“坐標(biāo)法”重新又統(tǒng)一了起來，使數(shù)與形得到了和諧發(fā)展與相互支配。革命導(dǎo)師恩格斯指出：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得出來的?！边@說明，數(shù)和形是客觀事物對象的本質(zhì)屬性的抽象與概括。數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容主要是幾何型與代數(shù)型，通過笛卡爾的工作，使數(shù)學(xué)命題形成了綜合型(代數(shù)幾何型)。坐標(biāo)法的產(chǎn)生，不僅促進(jìn)了變量數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，而且進(jìn)一步溝通了純代數(shù)，幾何、三角等學(xué)科之間的本質(zhì)依存關(guān)系(不使用坐標(biāo)法的聯(lián)系)，這說明代數(shù)與幾何從來就是緊密聯(lián)系的。利用這種思想可以解決涉及到理論的整體性結(jié)構(gòu)的更高“層次”的數(shù)學(xué)問題。這里引用鄭毓倩老師在他的《數(shù)學(xué)方法論入門》一書中關(guān)于非歐幾何的“相對相容性”的證明作為例子來說明映射法在解決更高“層次”上的數(shù)學(xué)問題的作用。
　　我們知道，非歐幾何的產(chǎn)生來自于歐氏幾何平行公理的研究，由于平行公理缺乏自明性，歷史上眾多數(shù)學(xué)家開始對這條公理是否必要產(chǎn)生懷疑，并總希望能用歐氏公理前四條公理來推出，想盡辦法來否定它的獨(dú)立性，企圖把它作為定理來加以證明。史料表明，無論是從正面攻擊，還是從反面力求推出矛盾，這些努力最終成為“水中撈月”。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基總結(jié)了前人兩千多年的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，大膽地設(shè)想了“過直線外一點(diǎn)在該平面內(nèi)可以作不只一條直線與已知直線平行”，并用這條設(shè)想代替歐氏平行公理，與歐氏前四條公理一起構(gòu)成一組新的公理系統(tǒng)，形成和建立了以這組新的公理為出發(fā)點(diǎn)的羅氏演繹幾何。但羅氏幾何是否具備科學(xué)的真實(shí)性，還必須進(jìn)行嚴(yán)密的論證，即需對其合理性進(jìn)行科學(xué)的證明。證明的核心問題就是他的“假設(shè)公理”是否符合公理的獨(dú)立性，也即從理論上證明其相容性。這個(gè)證明最早是由意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米完成的。“首先，貝特拉米在歐氏空間的一個(gè)曲面(偽曲面)內(nèi)與羅氏平面之間建立了對應(yīng)關(guān)系，即給出了這樣的‘翻譯’法則。利用這一法則羅氏(平面)幾何中的對象(點(diǎn)、直線)及對象之間的基本關(guān)系(如‘點(diǎn)在直線上’等)可以在歐氏空間的這一曲面上得到解釋。其次，他又證明了，在這樣的解釋下，羅氏幾何中的公理所對應(yīng)的都是歐氏幾何中的定理。這樣，羅氏幾何相對于歐氏幾何的相容性就得到了證明?！薄坝捎谪愄乩鬃C明的是羅氏幾何相對于歐氏幾何的相容性，因此，這就是一種相對相容性的證明。”從貝特拉米的這一證明過程和思維方式中，可以看出，他合理地借用了映射(對應(yīng))的思想，把歐氏幾何公理的相容性通過給出一個(gè)合理的“翻譯”法則移植到羅氏幾何中，從而達(dá)到證明羅氏幾何公理的相容性，因此，它實(shí)質(zhì)上反映了映射方法的成功應(yīng)用。
　　映射法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更是十分廣泛，平時(shí)我們知道的“幾何變換”、“數(shù)形結(jié)合”、“構(gòu)造法”等都是映射方法下的具體表現(xiàn)形式。
　　我們知道，歷史上幾何有三大難題，即尺規(guī)作圖的三大問題是否可解，從公元前400多年前提出已研究了兩千多年，直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何后，對不可解性的認(rèn)識才有了重大突破。這個(gè)問題的答案不能從幾何學(xué)本身去找，而要借助于代數(shù)學(xué)。坐標(biāo)法為判斷或論證尺規(guī)作圖三大問題的不可解性提供了從代數(shù)上進(jìn)行研究的手段。
　　這里著重論述一下化圓為方的不可解性。圓化方問題的基本內(nèi)容是：要求用尺規(guī)作一個(gè)正方形使其面積等于已知圓的面積。我們知道，在坐標(biāo)平面上作出幾何圖形最重要的是確定符合這個(gè)圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)，而尺規(guī)作圖只能作出直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此，幾何作圖就歸結(jié)為求作定長的線段。在幾何作圖中，由于我們把任何的幾何量長度看作單位長度，因此，若設(shè)圓的面積為仃(半徑R=1)，則所作正方形的邊長就為根號下π。于是圓化方問題就轉(zhuǎn)化為能否作出長度為根號下π的線段，這實(shí)際上是不可能的，因?yàn)楦栂娄胁皇怯欣頂?shù)。一般來說，由于直線和圓在形數(shù)對應(yīng)下的方程是有理方程，而且用尺規(guī)能做出的數(shù)量僅限于是有理數(shù)，經(jīng)過有限多次的加、減、乘、除以及乘方等五則運(yùn)算得出的量，而無法作出超越數(shù)所表示的量，由于根號下π是無理數(shù)，所以圓化方問題是不可解的。同樣的道理可以證明三大作圖問題的另兩個(gè)問題也是不可解的。
　　坐標(biāo)法對研究綜合型問題或能從直觀中構(gòu)造出綜合型模式都是十分有用的。事實(shí)上圖象問題在運(yùn)用了數(shù)量關(guān)系的公式、法則和計(jì)算等武器后，可以使較尖深的問題化歸為較易處理的數(shù)量關(guān)系式的研究，而數(shù)量關(guān)系借助了直觀圖象的性質(zhì)，可以使許多抽象的關(guān)系直觀化、形象化和簡單化。正如笛卡爾在他的《思維的法則》中指出：“沒有任何東西比幾何圖象更容易印入腦際了，因此，用這種方法來表達(dá)事物是非常有益的?！?br/>　　由于坐標(biāo)緊密聯(lián)系著函數(shù)，我們把命題中能構(gòu)成函數(shù)的條件稱之為主條件。在一個(gè)數(shù)學(xué)命題中，如果有若干個(gè)條件，那么這若干條件中必有主條件。在考慮用坐標(biāo)法解題時(shí)，必須先找出主條件所反映的變量式，在通過認(rèn)識這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，在其它條件的約束下，有效地找到問題的答案。
　　例如當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，不等式0≤x²+as+5≤4恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解。這個(gè)問題的主條件是研究函數(shù)y=x²+ax+5在區(qū)間[0，4]內(nèi)的變化，它構(gòu)建了一個(gè)數(shù)形結(jié)合的直觀感，因此，可利用對應(yīng)的幾何圖形來研究代數(shù)不等式在給定區(qū)間內(nèi)變化的性質(zhì)。建立這種數(shù)形的移植關(guān)系，使我們在理解上一下子發(fā)生了質(zhì)的變化。對函數(shù)y=x²+ax+5。當(dāng)a取不同值時(shí)，此函數(shù)圖象表示平面上的一束拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a/2，5-a²/4)，從圖形上可直觀看出，當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)5-a²/4=4時(shí)，恰好與直線y=4相切，于是僅當(dāng)a=±2時(shí)，代數(shù)不等式恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解。
　　映射法在研究初等數(shù)學(xué)問題時(shí)有較為普遍的應(yīng)用，在此不一一舉例?？傊莆蘸瓦\(yùn)用映射法不僅能幫助靈活應(yīng)用和深刻理解數(shù)學(xué)知識，而且對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有極其重要的意義，可以說，映射法作為方法論的基礎(chǔ)是十分重要也是十分必要的，這對數(shù)學(xué)教學(xué)論也具有更深刻的意義。
　　
　　參考文獻(xiàn)
　　[1]數(shù)學(xué)方法論入門，鄭毓信，浙江教育出版社，1985。
　　[2]數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)方法論選講，朱學(xué)智，黑龍江省林業(yè)教育學(xué)院，1984。
　　[3]數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(第一卷)，[美]G·波利亞科學(xué)出版社，1982。
　　作者簡介　韓云橋，男，籍貫：湖北，職稱：數(shù)學(xué)中學(xué)高(特)級教師，現(xiàn)兼職廣東省華南教科所特約研究員，廣州市海珠區(qū)教科研專家指導(dǎo)組，廣州市第五中學(xué)教科室主任，學(xué)術(shù)委員主任委員，研究方向：高中數(shù)學(xué)學(xué)科與教學(xué)研究，主要成果：出版專著《高中數(shù)學(xué)題型·結(jié)構(gòu)·背景·解法》一部，發(fā)表論文20余