米斌周 莊云飛

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601)

單原子層磁性納米帶的自旋波譜①

米斌周②莊云飛

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601)

本文利用量子統(tǒng)計(jì)理論的多體格林函數(shù)方法計(jì)算了單原子層磁性納米帶的自旋波的色散關(guān)系。帶寬為L(zhǎng)的納米帶,其自旋波能譜有L條,自旋波能量隨溫度的升高而降低。溫度接近居里點(diǎn)時(shí),自旋波能量趨于零,可以稱(chēng)之為模式的軟化。零溫時(shí),準(zhǔn)一維納米帶體系的自旋波能量曲線(xiàn)隨帶寬的變寬而上升,最后趨于二維平面的數(shù)值。把單原子層磁性納米帶與單壁磁性納米管的自旋波能譜做比較,前者的自旋波能量是非簡(jiǎn)并的,后者是簡(jiǎn)并的。自旋波能量簡(jiǎn)并在物理上是由對(duì)稱(chēng)性所致,與納米管相比,納米帶的幾何對(duì)稱(chēng)性明顯降低了。

磁性納米帶;量子自旋模型;格林函數(shù)方法;自旋波

0 引言

納米帶由美國(guó)佐治亞理工學(xué)院王中林研究小組在 2001年首次實(shí)驗(yàn)報(bào)道[1-3]。隨后,人們利用不同的方法制備出了各種半導(dǎo)體氧化物或非氧化物的納米帶狀結(jié)構(gòu)[4-8]。納米帶[1-8]具有長(zhǎng)方形截面,寬度和厚度在納米量級(jí),寬厚比較大,長(zhǎng)度可達(dá)微米或毫米量級(jí),是一種沒(méi)有缺陷 (例如空缺或斷層)的單晶納米結(jié)構(gòu)[9,10]。這種納米帶狀結(jié)構(gòu)有望成為納米器件的重要基本成分,并且為基礎(chǔ)研究和技術(shù)應(yīng)用提供一個(gè)良好的機(jī)會(huì)。關(guān)于納米帶的實(shí)驗(yàn)[9-13]及理論[14,15]研究,人們已經(jīng)做了相關(guān)的工作。文獻(xiàn)[15]利用基于第一性原理的密度泛函理論計(jì)算了MoS2納米帶的磁學(xué)和電學(xué)性質(zhì)等。2010年,文獻(xiàn)[16,17]將量子統(tǒng)計(jì)理論的多體格林函數(shù)方法應(yīng)用到了介觀(guān)領(lǐng)域,分別對(duì)磁性納米管和納米帶的磁學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了完全的量子化描述,加深了人們對(duì)于磁性納米管和納米帶的認(rèn)識(shí),對(duì)實(shí)驗(yàn)和進(jìn)一步理論研究都有一定參考價(jià)值。由于格林函數(shù)在理論技術(shù)上存在的困難以及計(jì)算時(shí)間的限制,作者只處理了單壁磁性納米管和單層磁性納米帶。

雖然文獻(xiàn)[17]對(duì)單原子層磁性納米帶的磁學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了較為詳盡的研究,由于篇幅的限制,沒(méi)有對(duì)自旋波譜做深入的討論。本文在文獻(xiàn)[17]研究的基礎(chǔ)上,對(duì)自旋波譜做一個(gè)較為深入的研究。本文利用量子統(tǒng)計(jì)理論的多體格林函數(shù)方法詳細(xì)計(jì)算和深入討論了單原子層磁性納米帶的自旋波譜。

1 模型和計(jì)算公式

計(jì)算模型如圖 1所示,單原子層納米帶沿著z軸方向,亦即長(zhǎng)度所在的方向看成無(wú)限長(zhǎng)。寬度所在的方向設(shè)為y軸。我們就說(shuō)納米帶的寬度(簡(jiǎn)稱(chēng)帶寬)為L(zhǎng),即沿著y軸方向的行數(shù) (line)是L。每一個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)自旋,晶格常數(shù)設(shè)為a。

圖 1 單層納米帶模型圖

我們給出體系的海森伯交換哈密頓量為:

其中下標(biāo)用希臘字母μ表示行數(shù),英文字母i、j指標(biāo)每行上的格點(diǎn)。例如,μi表示第μ行第i個(gè)格點(diǎn)。前兩項(xiàng)是海森伯交換作用項(xiàng),其中第一項(xiàng)表示同一行上格點(diǎn)之間的交換作用,第二項(xiàng)表示相鄰行之間的交換作用,這里都只考慮最近鄰格點(diǎn)間的交換。第三項(xiàng)是單離子各向異性項(xiàng)。第四項(xiàng)是外場(chǎng)能。本文的數(shù)值計(jì)算中取:Jμ=100,K2μ=1(μ=1,2,…L),Jμ,μ+1=100,(μ =1,2…,L-1)。所有的參量以及溫度都是無(wú)量綱的量。

根據(jù)Mer min-Wagner定理[18],對(duì)于一維或二維各向同性海森伯系統(tǒng),不存在自發(fā)磁化。但是,如果體系引入單離子各向異性,無(wú)論它多么小,就會(huì)產(chǎn)生自發(fā)磁化。文獻(xiàn)[17]證實(shí)了這一點(diǎn)。定義推遲格林函數(shù):

(2)式中的算符向量取為:

其中α是一個(gè)參量。

這里的格林函數(shù)是一個(gè)L×L矩陣(L階方陣)。求解格林函數(shù)的過(guò)程同文獻(xiàn)[17],這里不再詳細(xì)推導(dǎo),只做簡(jiǎn)要說(shuō)明。格林函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn)就是這個(gè)系統(tǒng)的自旋波能譜ωτ=ωτ(p)。也就是說(shuō),計(jì)算系統(tǒng)的自旋波譜就是求 P矩陣[17]的本征值ωτ。

矩陣 P是三對(duì)角實(shí)矩陣,其非零矩陣元為:

這里,我們用〈〉表示第μ行的磁化強(qiáng)度,用S表示自旋量子數(shù)。

要求解 P矩陣[17]的本征值ωτ,為此,必須先求出系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度。磁化強(qiáng)度的計(jì)算公式同文獻(xiàn)[18-20]。

當(dāng)S=1/2時(shí),即使加上 (1)式等號(hào)右邊的第三項(xiàng),即單軸各向異性項(xiàng),也不顯現(xiàn)各項(xiàng)異性[20]。因此,本文只計(jì)算S=1時(shí)的情況。

2 數(shù)值結(jié)果和分析

矩陣 P的所有特征值ωv是波矢p的函數(shù),ωv=ωv(p),它就是這個(gè)系統(tǒng)的自旋波能譜?，F(xiàn)在令Bz=0,計(jì)算無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)自旋波的色散關(guān)系。色散關(guān)系表述為能量ω(p)與波矢p的關(guān)系,如圖2所示。自旋量子數(shù)S=1,計(jì)算參數(shù)取為:(a)T=0,L=5;(b)T=10,L=5;(c)T=0,L=10;(d)T=10,L=10。計(jì)算結(jié)果表明,納米帶的自旋波能譜有L條。當(dāng)帶寬L一定時(shí),自旋波能量曲線(xiàn)隨溫度的升高而降低。這是因?yàn)樽孕芰喀?p)正比于磁化強(qiáng)度,溫度升高,磁化強(qiáng)度降低,因此元激發(fā)的能量也就降低。

圖 2 低溫下自旋波的色散關(guān)系曲線(xiàn)

色散關(guān)系表述為能量ω(p)與波矢pa的關(guān)系,自旋量子數(shù)S=1.計(jì)算參數(shù)取為:(a)T=0,L=5;(b)T=10,L=5;(c)T=0,L=10;(d)T=10,L=10.

數(shù)值計(jì)算表明,納米帶在S=1,L=5時(shí)的居里溫度數(shù)值是TC=44.1,圖 3畫(huà)出了接近居里點(diǎn)時(shí)自旋波的色散關(guān)系曲線(xiàn)。自旋量子數(shù)S=1,計(jì)算參數(shù)取為:(a)T=43,L=5;(b)T=44,L=5.同樣可以看出,當(dāng)帶寬L一定時(shí),自旋波能量曲線(xiàn)隨溫度的升高而降低。并且溫度非常接近居里點(diǎn)時(shí),自旋波能量 (或頻率)趨于零。由于自旋波能量ω(p)是正比于磁化強(qiáng)度的,接近居里點(diǎn)時(shí),磁化強(qiáng)度趨于零,因此自旋波能量 (或頻率)也就趨于零,這個(gè)可以稱(chēng)之為模式的軟化。

色散關(guān)系表述為能量ω(p)與波矢pa的關(guān)系,自旋量子數(shù)S=1.計(jì)算參數(shù)取為:(a)T=43,L=5;(b)T=44,L=5.TC=44.1.

圖 3 接近居里點(diǎn)時(shí)自旋波的色散關(guān)系曲線(xiàn)

下面,我們對(duì)納米帶的自旋波譜做一些較為深入的研究和討論。圖 2和圖 3畫(huà)出了L=5或10時(shí),幾個(gè)溫度下的色散關(guān)系。從圖 2看到,在同一溫度下,納米帶越寬,色散關(guān)系曲線(xiàn)越密集。這里我們定義能級(jí)展寬度Δ為一個(gè)波矢處的ω的最大值與最小值之差。分析圖 2,納米帶寬度固定時(shí),溫度越高,能級(jí)展寬度Δ越窄。溫度一定時(shí),納米帶越寬,能級(jí)展寬度Δ也越寬。如果納米帶的帶寬無(wú)限增大時(shí),色散曲線(xiàn)會(huì)怎樣變化?為了簡(jiǎn)單且能說(shuō)明問(wèn)題,我們只計(jì)算了L=40,T=0時(shí)的色散曲線(xiàn),如圖 4所示?？梢钥闯?這時(shí)的色散曲線(xiàn)與圖 2(a)、(c)相比,越來(lái)越密集,兩邊的已經(jīng)連在了一起。如果L再繼續(xù)增大,趨于無(wú)限大,色散曲線(xiàn)會(huì)連在一起成為連續(xù)譜,量子效應(yīng)消失。也就是說(shuō),納米帶的帶寬L越小,量子效應(yīng)越顯著。

另外,分析圖 2(a)、(c)和圖 4,納米帶在零溫時(shí)的能級(jí)展寬度Δ越來(lái)越趨于一個(gè)常數(shù) 400。為了比較,我們也計(jì)算了二維平面在零溫時(shí)的數(shù)值為Δ(2D)=400。我們得到一個(gè)結(jié)論:零溫時(shí),納米帶的寬度L增大,能級(jí)展寬度Δ變寬并且逐漸趨于二維平面的數(shù)值。這是為什么呢?先從幾何結(jié)構(gòu)上分析,納米帶的帶寬L趨于無(wú)限大時(shí),它的幾何形狀趨于二維單原子層。再?gòu)奈锢砩戏治?零溫時(shí),系統(tǒng)的熱力學(xué)漲落肯定為零。對(duì)于量子漲落,則與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)。先分析體系哈密頓量的對(duì)稱(chēng)性,如果是各向異性,那么量子漲落為零。如果各向同性,那么三維時(shí)量子漲落為零。低于三維時(shí),量子漲落是不為零的。換句話(huà)說(shuō),量子漲落總是有的。只是在三維情況,量子漲落被完全壓抑了。各向異性時(shí)也可以說(shuō)量子漲落被完全壓抑了,體現(xiàn)不出來(lái)。我們現(xiàn)在研究的體系是各向異性的,零溫度時(shí)體系不存在自旋波能量量子漲落,這似乎與計(jì)算結(jié)果相矛盾。其實(shí)并不矛盾,因?yàn)槲覀冊(cè)谇蠼飧窳趾瘮?shù)時(shí)需要在實(shí)空間做傅里葉變換,納米帶和二維平面是有本質(zhì)差別的。納米帶在一維實(shí)空間中 (沿著z軸,波矢記為p)做傅立葉變換,而另一個(gè)方向 (y軸)受到限制,能量是分立譜。對(duì)于二維平面,在兩個(gè)方向 (z軸和y軸)做了傅立葉變換,波矢分別記為p和q,都在第一布里淵區(qū) (FBZ)內(nèi),能量是連續(xù)譜。假若納米帶在受到限制的方向上也存在一個(gè)波矢q1,這個(gè)波矢只能用帶寬L來(lái)標(biāo)識(shí)。納米帶的帶寬L趨于無(wú)限大時(shí),L標(biāo)識(shí)的波矢q1和二維平面的波矢q的差別才會(huì)減小。所以零溫度時(shí)的這種差別是由于納米帶的幾何對(duì)稱(chēng)性降低造成的,系統(tǒng)并不存在量子漲落。

圖 4 納米帶 L=40,T=0時(shí)的色散曲線(xiàn) .

在幾何上,納米帶可看成是納米管切開(kāi)平展而得到的結(jié)構(gòu),反過(guò)來(lái),如果把納米帶卷起來(lái)考慮了兩個(gè)邊界的耦合,就形成了納米管。幾何結(jié)構(gòu)的不同導(dǎo)致了納米管和納米帶的磁學(xué)性質(zhì)的不同。文獻(xiàn)[17]對(duì)納米帶與納米管的自旋波能譜做比較,發(fā)現(xiàn)前者的自旋波能量是非簡(jiǎn)并的,而后者是簡(jiǎn)并的。納米帶具有鏡像對(duì)稱(chēng)性(納米帶關(guān)于過(guò)中間行垂直于它的平面是鏡像對(duì)稱(chēng)性的),而納米管的物理圖像如同一個(gè)救生圈,納米管除了具有鏡像對(duì)稱(chēng)性外,還具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。與納米管相比,納米帶的對(duì)稱(chēng)性明顯降低了。

3 結(jié)論

寬度為L(zhǎng)的納米帶,其自旋波能譜有L條,ωv=ωv(p),v=1,2,…L.自旋波能量ω(p)隨溫度的升高而降低。溫度接近居里點(diǎn)時(shí),自旋波能量趨于零。我們研究發(fā)現(xiàn),零溫時(shí),準(zhǔn)一維納米帶體系的自旋波能量曲線(xiàn)隨帶寬的變寬而上升,最后趨于二維平面的數(shù)值。對(duì)單原子層磁性納米帶與單壁磁性納米管的自旋波能譜做比較,前者的自旋波能量是非簡(jiǎn)并的,后者是簡(jiǎn)并的。自旋波能量簡(jiǎn)并在物理上是由對(duì)稱(chēng)性所致,與納米管相比,納米帶的幾何對(duì)稱(chēng)性明顯降低了。

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Spin Waves in FerromagneticM onolayer Nanobelts

M I B inzhou,ZHUANG Yunfei

(Depar tmentOfBasic Curriculum,North China Institute of Science and Technology,Yanjiao Beijing-East 101601)

In this paper,the spin wave spectra of ferromagnetic nanobelts are investigated by means of the the many-body Green’s function method of quantum statistical theory.For a nanobeltwithwidthL,there areLbranchesof energy spectra,ωv=ωv(p),v=1,2,…L.A higher temperature leads to lower energy spectra.The spin-wave energyω(p)dropswith temperature rising,and becomes zero as temperature reachesTC,which is so-called themode softening.At zero temperature,the spin-wave energy is dependent of belt-width,which increaseswithLrising,and approaches that of a 2D monolayer.Comparing the results of spin wave energy spectra of a single-layered nanobeltwith those of a single-walled nanotube,we found that the spectra of the former are non-degenerate.In contrary to that,the spectra of the latter are degenerate.Physically,the degeneracy of the energies is caused by the symmetry.Compared to a nanotube,the symmetry of a nanobelt is reduced significantly.

Ferromagnetic nanobelt;quantized spin models;many-body Green’s function method;spin wave

O 469

A

1672-7169(2011)02-0079-04

2011-03-12

米斌周(1980-),男,甘肅慶陽(yáng)人,碩士,華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室教師,從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)和磁性納米材料的計(jì)算與模擬工作。