孫 珍

(安康學院數(shù)學系,陜西安康 725000)

射影幾何的應用分析

孫 珍

(安康學院數(shù)學系,陜西安康 725000)

闡述射影幾何學有關定理和結論,探討了射影幾何中仿射變換、交比、調(diào)和分割在解決平面幾何問題中的應用,以及利用透視對應完成幾何作圖的應用.

射影幾何;仿射變換;交比;調(diào)和分割;透視對應

0 引言

射影幾何所處理的是構成幾何圖形的最根本的定性方面和描述方面的性質(zhì),而且不用線段與角的度量.在經(jīng)典幾何中,射影幾何處于一種特殊的地位,通過它可以把一些幾何聯(lián)系起來.歐式幾何是射影幾何的子幾何.

1 相關定義與定理[1]

定義1經(jīng)過一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量,稱為仿射不變性和仿射不變量.

定義2一線束中4直線被任一直線(不通過線束中心或頂點)所截4點的交比,稱為4直線的交比,記為(ab,cd)=AC· BD/(AD·BC).

定義5若(AB,CD)=-1,稱C,D兩點調(diào)和分割線段AB.

定理1兩個一維基本圖形形成射影對應的充分必要條件為對應元素的交比相等.

定理2透視仿射保留同素性和結合性.

定理34直線a,b,c=a+λ1b,d=a+λ2b的交比為(ab,cd)=λ1/λ2.

2 射影幾何在解決平面幾何問題中的應用

2.1 仿射變換在解決平面幾何問題中的應用

由仿射不變性和仿射不變量,以及仿射變換保留同素性、結合性等性質(zhì),從一些圖形之間的仿射變換關系入手,巧妙利用從特殊到一般的數(shù)學思想解決有關問題,使平面幾何中的一些問題化難為易,化繁為簡.

例1 如圖1,從橢圓E外一點P做切線PA、PB,A、B表示切點,O是E的中心,射線OP交E于點C.證明面積SAOC=SCOB,SAOP=SPOB.

分析 橢圓可以看做圓的仿射變換得到的仿射像.

圖1 仿射變換的應用Fig.1 Application of affine transformation

2.2 線束的交比在解決直線共點問題中的應用

在射影幾何學中,交比是射影不變量,是兩個一維基本圖形形成射影對應的判定法則之一,它在整個射影幾何中處于十分重要的地位,能給我們解題提供幫助[2].

例2 證明4直線2x-y+1=0,3x+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0共點.

2.3 調(diào)和分割在解決角平分線(以及線段中點)問題中的應用

有關角平分線的問題,是中學幾何常見的問題[3-4].三角形中一個角的內(nèi)角和外角平分線,將對邊分成兩線段的比值都和鄰邊成比例,與射影幾何中的調(diào)和分割密切聯(lián)系.

例3 已知:如圖2所示,三角形ABC中,AD垂直BC于點D,E為AC邊上一動點,連接BE交AD于點O,連接CO交AB于點F.求證:∠FDO=∠EDO.

證明延長DE交BA于點P,DE交CF于點Q.由B(AQ,EC)=(FQ,OC)=(PQ,ED)和A(PQ,CD)=(PQ,ED)=(FQ, CO)得

由交比的性質(zhì)(FQ,CO)=1/(FQ,OC),所以(FQ,CO)=1或-1,1舍去.所以(FQ,CO)=-1,即點O和點C調(diào)和分割線段FQ,由角平分線的性質(zhì),所以∠FDO=∠EDO.

2.4 透視對應在幾何作圖中的應用

兩個點列和同一個線束成透視對應,這兩個點列就成透視對應.這個透視對應是一個特殊的射影對應,滿足交比不變.

例4 已知直線上3點A,B,C,求作第4點,使AC·BD=AD·BC.

解 過C點任作一直線,在其上任取一點A1,并在其上作出一點B1,使有向線段之比CA1∶CB1=∶1.以S表示AA與BB1的交點,過S作A1B1的平行線交AB于所求點D.

圖2 調(diào)和分割的應用Fig.2 Application of harmon ic division

證明設直線AA上的無窮遠點為D∞,于是從而

3 小結

能用射影幾何解決的平面幾何問題很多,例如射影坐標系的建立,在處理一些復雜射影命題時不需要太多技巧,給思考問題帶來方便;德薩格定理以及完全四點形等有關知識對于解決共線共點問題提供有效途徑,這里不再一一列舉.可以看出,該方法的解題思路較為開闊和靈活.

[1] 朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,2000.

[3] 李長明.初等數(shù)學研究[M].北京:高等教育出版社,1995.

[4] 趙振威.初等幾何研究[M].上海:華東師范大學出版社,2005.

Analysis on Application of Projective Geometry

SUN Zhen

(Depar tm ent of M athem atics,Ankang University,Ankang725000,China)

Expounds relative theorems and conclusions of projective geometry,discusses the application of affine transfo rmation,ratio and harmonic division on solving plain geometry problems aswell as the application of geometry drawing by perspective corresponding.

projective geometry;affine transformation;ratio;ha rmonic division;perspective corresponding

O185.1

A

1007-0834(2011)01-0012-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.005

2010-10-28

安康學院重點扶持學科“基礎數(shù)學”(AZXZ0107);安康學院重點項目(2008AKXY029)

孫 珍(1977—),女,山東齊河人,安康學院數(shù)學系教師.