趙 煜，賀學(xué)文，司向陽

(1.河南省地質(zhì)測繪總院，河南鄭州 450006;2.夏邑縣國土資源局，河南夏邑 476400)

考慮地球重力場模型的移動曲面法*

趙 煜1，賀學(xué)文1，司向陽2

(1.河南省地質(zhì)測繪總院，河南鄭州 450006;2.夏邑縣國土資源局，河南夏邑 476400)

利用GPS水準(zhǔn)法求解GPS點(diǎn)位正常高的方法有很多，但這些方法各有利弊，其精度與地形起伏大小、重合點(diǎn)數(shù)量、點(diǎn)位分布等有關(guān)。為此，提出利用地球重力場模型改進(jìn)GPS水準(zhǔn)中移動曲面法的方法。實(shí)踐證明，利用該方法在一定程度上可以提高GPS定位的精度。

GPS水準(zhǔn);正常高;高程異常;地球重力場模型;改進(jìn)移動曲面法

0 引言

近年來，GPS定位技術(shù)以其精度高、速度快和經(jīng)濟(jì)方便等優(yōu)點(diǎn)，在布設(shè)各種形式的控制網(wǎng)、變形觀測及精密工程測量等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。根據(jù)GPS相對定位的基線向量，可以得到高精度的大地高，但是在將大地高轉(zhuǎn)換為正常高時，由于受某些因素的影響，所得的正常高精度不高。由于受大地水準(zhǔn)面起伏變化的影響，不同點(diǎn)位上的高程異常值并不相同，因此很難讓兩者在保證精度不過分降低的條件下，直接實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。目前將高精度的GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高最常用的方法就是在局部區(qū)域利用不同數(shù)學(xué)曲面擬合該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面，從而獲得該區(qū)域內(nèi)各GPS點(diǎn)的正常高，該方法稱為GPS水準(zhǔn)法，也稱GPS高程擬合法。另外，也可利用重力和天文資料聯(lián)合重力場模型的方法計算正常高。

1 GPS水準(zhǔn)

大地高系統(tǒng)是以參考橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)[1]。某點(diǎn)的大地高是該點(diǎn)到通過該點(diǎn)的參考橢球的法線與參考橢球面的交點(diǎn)間的距離，大地高也稱為橢球高，一般用H表示。大地高是一個純幾何量，不具有物理意義，同一點(diǎn)在不同的基準(zhǔn)下具有不同的大地高。正高系統(tǒng)是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。某點(diǎn)的正高是該點(diǎn)到通過該點(diǎn)的鉛垂線與大地水準(zhǔn)面的交點(diǎn)之間的距離，用Hg表示。正常高系統(tǒng)是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程系統(tǒng)。某點(diǎn)的正常高是該點(diǎn)到通過該點(diǎn)的鉛垂線與似大地水準(zhǔn)面的交點(diǎn)之間的距離，用Hr表示。可以得到大地高H、正常高Hr、高程異常ζ三者之間的關(guān)系為:

GPS采用的是WGS－84橢球，而中國采用的正常高是相對于似大地水準(zhǔn)面的，它與大地水準(zhǔn)面之間同樣存在系統(tǒng)偏差，即:Δζ=ζ－N。高程異常ζ受地形起伏、地球內(nèi)部物質(zhì)密度變化的影響，變化不規(guī)則，目前可以通過天文大地測量、重力測量、衛(wèi)星大地測量以及衛(wèi)星測高等手段測定，但其精度不高，從而給計算正常高帶來了不便。

GPS水準(zhǔn)采用在水準(zhǔn)點(diǎn)上布設(shè)GPS點(diǎn)或?qū)PS點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測得到的點(diǎn)作為已知點(diǎn)，求出這些已知點(diǎn)的高程異常值:ζ=H－Hr。利用一定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，可以求出未知點(diǎn)的高程異常值，從而確定未知點(diǎn)的正常高Hr。目前常用的數(shù)學(xué)方法有:平面擬合法、多項(xiàng)式曲線擬合法、多項(xiàng)式曲面擬合法、加權(quán)平均法、樣條函數(shù)插值法、多面函數(shù)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。

進(jìn)行擬合時，常用到整體法。所謂整體法，就是擬合時采用擬合區(qū)域的所有已知點(diǎn)數(shù)據(jù)參與擬合。如用多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行整個區(qū)域的擬合即為其中的一種，由于該方法所測精度與已知點(diǎn)分布的狀況有關(guān)，因此會造成局部區(qū)域擬合效果好而另一些區(qū)域擬合效果不佳的情況，且該方法還受地形起伏大小以及數(shù)據(jù)點(diǎn)圖形結(jié)構(gòu)強(qiáng)弱的影響。鑒于上述原因，本文考慮采用移動曲面法進(jìn)行擬合。

2 移動曲面法

移動曲面法指的是用戶所規(guī)定的一個有限區(qū)域，該區(qū)域的位置將隨未知點(diǎn)的位置變化而變化，所選擇的參與擬合的已知點(diǎn)即為該區(qū)域內(nèi)的已知點(diǎn)[2]。選擇這種模式的目的是可以更好的模擬似大地水準(zhǔn)面，而不會由于遠(yuǎn)距離控制點(diǎn)的不良效應(yīng)而損害精度。該方法需要注意以下問題:

1)所選區(qū)域的形狀。考慮到選點(diǎn)的方便性和合理性，所選區(qū)域的形狀一般為矩形或圓形，且未知點(diǎn)在該區(qū)域的中心。

2)所選區(qū)域的大小。所選區(qū)域過小，某個未知點(diǎn)周圍參與計算的已知點(diǎn)數(shù)可能過少，無法求解出該未知點(diǎn)，這樣整個區(qū)域可以參與計算的點(diǎn)數(shù)就很少，這時應(yīng)擴(kuò)大區(qū)域。所選區(qū)域過大時，精度會有所降低，這時應(yīng)縮小區(qū)域來保證必要的精度。

3)未知點(diǎn)高程異常值直接用已知點(diǎn)高程異常值代替的情況。當(dāng)未知點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離小于d(視為已知點(diǎn)的距離)時，可直接用已知點(diǎn)高程異常值代替未知點(diǎn)的高程異常值，不必再進(jìn)行運(yùn)算。

3 改進(jìn)移動曲面法

3.1 大地水準(zhǔn)面高

已知地面上任一點(diǎn)的WGS－84大地坐標(biāo)為(B，L，H)，根據(jù)地球重力場知識可以得出該點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面高的長波分量NGM為:式中:GM為地球引力常數(shù);a為參考橢球的長半徑;φ、λ和r分別為計算點(diǎn)地心緯度、經(jīng)度和向徑nm和nm為完全規(guī)格化位系數(shù)nm(sinφ)為完全規(guī)格化的的締合Legendre函數(shù);Nmax為所采用模型的最大階數(shù);γ為計算點(diǎn)的正常重力，其值是根據(jù)近代人造地球衛(wèi)星測定的地球形狀和重力數(shù)據(jù)，1971年第15屆國際大地測量和地球物理協(xié)會確定的正常重力公式來計算的:地球重力場模型通常是指地球擾動位的球協(xié)函數(shù)級數(shù)展開的系數(shù)(簡稱位系數(shù))[3]，它是利用衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、地面指數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)等重力場信息計算的。

由于客觀存在大地水準(zhǔn)面高和水準(zhǔn)測量的正常高的基準(zhǔn)面不同，重力大地水準(zhǔn)面長波分量NGM和重力異常中波分量NΔg的誤差以及計算上述各分量的誤差，會造成重力場模型大地水準(zhǔn)面高N與高程異常值ζ存在不可忽視的系統(tǒng)偏差。由于這些系統(tǒng)偏差具有不規(guī)則性，因此幾乎不能用模型來描述它們，當(dāng)然也不能用簡單的擬合或檢驗(yàn)方法來補(bǔ)償所有的系統(tǒng)誤差。

3.2 實(shí)現(xiàn)步驟

現(xiàn)采用考慮地球重力場模型的GPS移動曲面法，又稱改進(jìn)移動曲面法[4]。該方法是在傳統(tǒng)GPS移動曲面法上改進(jìn)而來的，主要是通過引入地球重力場模型來減小長波分量NGM的影響，提高擬合精度。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

第一，在測區(qū)的已知點(diǎn)上，利用式(2)計算出地球重力場模型的大地水準(zhǔn)面高NGM;

第二，將已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的GPS觀測值進(jìn)行基線解算、GPS網(wǎng)平差、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等，得到高斯坐標(biāo)(x，y)和大地高H;

第三，將測區(qū)的已知點(diǎn)的大地高H和正常高Hr代入式(1)求出各已知點(diǎn)的高程異常值ζ;

第四，將各個已知點(diǎn)的高程異常值ζ和大地水準(zhǔn)面高N求差，得出地球重力場模型大地水準(zhǔn)面高N與似大地水準(zhǔn)面的高程異常值ζ的差值Δζ:

第五，對求得的差值Δζ用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行擬合，主要是采用移動曲面法中的平面法、二次曲面法和加權(quán)平均法。

3.3 算法

3.3.1 改進(jìn)平面法

改進(jìn)平面法的模型為:

該法要求參與擬合的已知點(diǎn)個數(shù)大于3個，求解未知參數(shù)a0、a1、a2時利用最小二乘法中的參數(shù)平差原理進(jìn)行求解，式(5)寫成距陣為:

其中:

根據(jù)VTPV最小原理可得:

設(shè)ATPA=N，ATPL=U，則式(7)變?yōu)?

其中，式(7)、式(8)為法方程，式中N為法方程的系數(shù)陣，U為法方程的自由項(xiàng)向量。

當(dāng)N為非奇異陣時，其逆矩陣存在，可求出未知參數(shù):

將已知數(shù)據(jù)代入，可以解出未知系數(shù)a0、a1、a2，這樣就擬合出一個平面，將未知點(diǎn)的高斯坐標(biāo)代入平面方程，就可擬合未知點(diǎn)的Δζi。將求得的Δζi代入式(4)，再代入式(1)，即可求出未知點(diǎn)的正常高Hr。

3.3.2 改進(jìn)二次曲面法

改進(jìn)二次曲面法的模型為:

同樣，用類似于改進(jìn)平面法的求解方法，可以求出上述參數(shù)。該法要求參與擬合的已知點(diǎn)數(shù)大于6個。這樣就可擬合出一個二次曲面函數(shù)，將未知點(diǎn)的高斯坐標(biāo)代入二次曲面方程，就可以擬合出未知點(diǎn)的Δζ。同理，可以求出未知點(diǎn)的正常高Hr。

3.3.3 改進(jìn)加權(quán)平均法

該方法也是一種常用方法。在該方法中，未知點(diǎn)的Δζ可由周圍已知點(diǎn)計算，公式為:

式中:n為區(qū)域內(nèi)的已知點(diǎn)個數(shù);Δζ為各未知點(diǎn)大地水準(zhǔn)面高N與似大地水準(zhǔn)面的高程異常值ζ差值;Pi為各未知點(diǎn)的權(quán)。Δζ求出后，即可求出未知點(diǎn)正常高。

以上公式中，權(quán)P是和未知點(diǎn)、已知點(diǎn)的距離有關(guān)的量，其計算公式為:式中:D為未知點(diǎn)和已知點(diǎn)之間的水平距離;e為任意常數(shù)，其目的是為了防止當(dāng)D太小時造成P值無限增大，由于用移動曲面法已經(jīng)考慮到了這個問題(當(dāng)未知點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離小于d，可直接用已知點(diǎn)高程異常值代替未知點(diǎn)的高程異常值)，故取e=0.01;n為定權(quán)次方，一般取大于零的數(shù)。

3.4 精度分析

進(jìn)行精度分析時，常使用最小二乘法[5]中的單位權(quán)中誤差作為精度分析的標(biāo)準(zhǔn)，公式為:式中:V為根據(jù)已知點(diǎn)計算得到的觀測值改正數(shù)(移動曲面法中為高程異常ζ的改正數(shù)，改進(jìn)移動曲面法中為大地水準(zhǔn)面高N與似大地水準(zhǔn)面的高程異常ζ的差值Δζ的改正數(shù));P為權(quán)陣;n為已知點(diǎn)的個數(shù);t為模型未知參數(shù)的個數(shù)。利用該方法得到的中誤差屬于內(nèi)符合精度，表明在模型內(nèi)部的精度狀況。為了更好地反映各種方法的真實(shí)精度，計算時采用的是外符合精度，這種精度主要是把測區(qū)內(nèi)所有的已知點(diǎn)依次看作未知點(diǎn)，采用前文介紹的方法求出各已知點(diǎn)的ζ(或Δζ)，將它們與該已知點(diǎn)的真實(shí)ζ0(或Δζ0)求差，得到Δ，然后代入中誤差公式:

求得的中誤差屬于外符合精度，該精度由于考慮了已知數(shù)據(jù)，具有真誤差的性質(zhì)，能反映各種方法的真實(shí)精度，可信度高。

4 應(yīng)用實(shí)例

以某測區(qū)為例，其點(diǎn)位分布圖如圖1所示。對該測區(qū)內(nèi)60個點(diǎn)進(jìn)行了移動曲面法中的平面法、二次曲面法和加權(quán)平均法以及改進(jìn)移動曲面法中的改進(jìn)平面法、改進(jìn)二次曲面法和改進(jìn)加權(quán)平均法共6種方法的外符合精度檢驗(yàn)。檢驗(yàn)時取d(視為已知點(diǎn)的距離)為100 m，采用圓區(qū)域進(jìn)行移動曲面選點(diǎn)，取移動曲面半徑分別為30 km、35 km、40 km，取定權(quán)常數(shù)e為0.01，定權(quán)次方n分別為1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的外符合精度如表1－3所示。

圖1 測區(qū)點(diǎn)位分布圖Fig.1 Point location distribution diagram of the survey area

表1 移動曲面半徑為30 km時的外符合精度Tab.1 The outside accorded with accuracy of mobile surface's radius being 30 km

表2 移動曲面半徑為35 km時的外符合精度Tab.2 The outside accorded with precision of mobile surface's radius being 35 km

表3 移動曲面半徑為40 km時的外符合精度Tab.3 The outside accorded with precision of mobile surface's radius being 40 km

將表1－3中的數(shù)據(jù)依次以圖形表示，如圖2－4所示。其中，縱坐標(biāo)為外符合精度值，單位為m;橫坐標(biāo)為定權(quán)次方。

圖2 移動曲面半徑為30 km時的精度比較Fig.2 Precision comparison when mobile surface's radius being 30 km

圖3 移動曲面半徑為35 km時的精度比較Fig.3 Precision comparison when mobile surface's radius being 35 km

圖4 移動曲面半徑為40 km時的精度比較Fig.4 Precision comparison when mobile surface's radius being 40 km

5 結(jié)論

通過對文中實(shí)例的分析，筆者得出如下結(jié)論:

1)經(jīng)過以上3組數(shù)據(jù)圖表對比可以看出，加入地球重力場模型改正后的精度總體要優(yōu)于加入改正前的精度，說明通過引入地球重力場模型減小了長波分量NGM影響，考慮地球重力場模型的GPS水準(zhǔn)法對傳統(tǒng)GPS水準(zhǔn)法有一定的精化作用。由于該地區(qū)的地形相對平坦，考慮地球重力場模型的GPS水準(zhǔn)法的優(yōu)勢沒有完全被發(fā)揮出來，在地形起伏較大的地區(qū)，該法的精度有望提高。

2)文中考慮地球重力場模型的移動曲面法采用的是EGM96模型，該模型雖應(yīng)用了中國地域早期的1°×1°地面重力觀測數(shù)據(jù)，但采用數(shù)量有限，故運(yùn)算精度很難有較大改善。如果采用中國有關(guān)部門自行研制出的全球重力場模型(如國內(nèi)的DQM系列和WDM系列模型)，由于在求定這些模型時詳盡采用了中國的衛(wèi)星測高、重力、地形等資料，本文所提出方法的精度將還可以進(jìn)一步提高。

3)在實(shí)際運(yùn)用時建議采用上述方法。常數(shù)如何選擇，值得考慮。如:文中實(shí)例若采用25 km的移動曲面半徑，二次曲面法外符合精度檢驗(yàn)時參與檢驗(yàn)的已知點(diǎn)數(shù)將不足所有已知點(diǎn)數(shù)的2/3，得出的外符合精度可靠性值得懷疑。所以，在選定常數(shù)時，應(yīng)在考慮這方面因素的前提下，盡可能選擇外符合精度高的一組常數(shù)。

[1]江志恒.GPS水準(zhǔn)[J].測繪科技動態(tài)，1991(Z1):5－6.

[2]Shres.，R，李征航.把GPS大地高轉(zhuǎn)換為正高時的曲面內(nèi)插技術(shù)[J].武測譯文，1994(2):1 －11.

[3]徐衛(wèi)明，陸秀平，朱穆華，等.利用重力場模型精化GPS水準(zhǔn)[J].海洋測繪，2003，23(2):5 －8.

[4]聶桂根，祝永剛，徐紹銓.改進(jìn)的移動插值法及應(yīng)用[J].測繪通報，1998(10):6－8.

[5]陳永奇，張正祿，吳子安，等.高等應(yīng)用測量[M].武漢:武漢測繪科技大學(xué)出版社，1996:96－104.

Moving Surface Method Considered by Earth's Gravity Field Model

ZHAO Yu1，HE Xue-wen1，SI Xiang-yang2
(1.Henan General Institute of Surveying and Mapping of Geology，Zhengzhou Henan 450006，China;2.Xiayi County Land Resources Administration，Xiayi Henan 476400，China)

There are many kinds of methods to estimate normal height ofGPS points by usingGPS leveling，but there are advantages and disadvantages in these methods.Their precision are related to relief，the number of closely coincide and their distribution and so on.This paper is mainly about how to improve moving surface method ofGPS leveling by means of earth's gravity field model.The experiment certifies，the method could heighten，to a certain degree，GPS height precision.

GPS leveling;normal height;height anomaly;earth's gravity field model;improved moving surface method

P 228.4

B

1007－9394(2011)03－0025－04

2011－04－27

趙煜(1974～)，男，河南太康人，碩士，工程師，現(xiàn)主要從事大地控制測量、工程測量、航空攝影測量、數(shù)字礦山測量等方面的工作。