摘要：本文闡述了被除數(shù)為質(zhì)數(shù)時產(chǎn)生的幾種循環(huán)小數(shù)的多種奇妙現(xiàn)象，進而分析了被除數(shù)為合數(shù)的相關余數(shù)的規(guī)則性，揭示了自然界存在的一種數(shù)理，并分析了一個偶位數(shù)循環(huán)節(jié)是否有半九律。

關鍵詞： 循環(huán)節(jié) 余數(shù) 互質(zhì)

1、產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的余數(shù)之間的奇妙關系

1.1在a/b中，（a為整數(shù)且1≤a＜b，b為不是2或5的質(zhì)數(shù)，本小節(jié)條件與此相同)，以b=41為例，把1/41、3/41、4/41化為小數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)以及依次出現(xiàn)的相關余數(shù)如表1：

分子值 出現(xiàn)的循環(huán)節(jié)上的數(shù)值 計算過程中依次出現(xiàn)的余數(shù)

1 0 2 4 3 9 1 10 18 16 37

3 0 7 3 1 7 3 30 13 7 29

表1

表1中，a=3與a=1在計算過程中依次出現(xiàn)的余數(shù)之間分別有一種3倍的關系：依次為1*3=310*3=3018*3=5416*3=4837*3=111，前兩個數(shù)值能直觀地看出是3倍的關系，而111、48、54用41進制來表示，十位數(shù)字分別為2、1、1，其個位數(shù)分別為29、7、13。在02439*3的計算中，0、2、4、3、9分別乘以3所得為0、6、12、9、27，以此為序，27進2到9后其個位為7，9加進來的2后為11，11進1后其個位為1，12加上進位來的1為13，13進1后其個位為3，6加上進位的1后為7，沒有再進位，所以0不變。三次所進數(shù)字2、1、1與以上用41進制表示的三個數(shù)的十位數(shù)字相同。把進位后的數(shù)字依次寫出為07317，與02439*3相同。于是可以得出結論：同一個質(zhì)數(shù)為除數(shù)產(chǎn)生的多個循環(huán)節(jié)中，每個循環(huán)節(jié)相同位置上的數(shù)字之間與產(chǎn)生這些數(shù)字的相關余數(shù)之間隱含有同樣的比例關系。

1.2在a/b化小數(shù)過程中，若A +A =E，（A 、A 皆為從1到b-1當中的任意整數(shù)）則A /b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)加上 A /b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)是E/b所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。若E/b=Z +v ，Z 為整數(shù)，v 為小于b的余數(shù)，則v /b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與E/b所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)首尾都是一樣的。若E +A =C*b,C為整數(shù)，A /b= Z +v ，Z 為整數(shù)，v 為小于b的余數(shù)，則v + v =b。

1.3如表2所示，a/b化小數(shù)中以b=19為例，用表格的形式列出1/19的循環(huán)節(jié)數(shù)字及其相關余數(shù)。（表中第一行第j位是第二行第j+1位的個位數(shù)，這是b的個位為數(shù)字9的原因）。

表格中第一行為循環(huán)節(jié)，第二行為相關余數(shù)

0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1

1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2

表2

把表2中其相關余數(shù)從1到10到…到2的方向依次編為a 到a 到…到a ，便于直觀，我從a 開始，發(fā)現(xiàn)a 是a 的2倍，即2*2=4，同樣，a 也是a 的2倍，再以a 的13和a 的16為例，16*2=32，32用19進制表示其個位為13，依次看下去，a 也是a 的2倍，余數(shù)a 都是a 的2倍這種隱含的存在全部成立。結論：在a/b化小數(shù)時，其先后出現(xiàn)的余數(shù)中，如果a 與a 之間有某種差、和、倍的關系，則a 與a 也有這種差、和、倍的關系。又如：從a 到a 中，a +a +a =a 即a 是成立的：2+4+8=14。那么，a 與a +a +a 也有這種隱含的關系，a +a +a =6+3+11=20，用19進制表示其個位數(shù)為1即a。例：表1中a 為a =3時，a =11,3+11=14為a 。再如：a +a +a +a 的個位為0成立，那么a +a +a +a 的個位為0也成立，（這里的0是19進制的0）。等等。以上是以b為19時產(chǎn)生的現(xiàn)象，當b為別的質(zhì)數(shù)時，同樣會有這種類似的或別的關系。結論：在a/b化小數(shù)中，產(chǎn)生的任何一個循環(huán)節(jié)里，如果依次出現(xiàn)的某順序上余數(shù)之間存在著某種關系時，只要符合這個順序關系的其它的余數(shù)之間也存在同樣的關系。

1.4在十進制中，整數(shù)Z是否能被整數(shù)b整除，要看Z的個位上的數(shù)字乘以10 ，加上十位上的數(shù)字乘以（10 /b）的余數(shù)，再加上百位上的數(shù)字乘以（10 /b）的余數(shù)，……再加上n位上的數(shù)字乘以（10 /b）的余數(shù)，（可將所得的結果按同樣步驟重復計算，直到最后成一個位數(shù)與b相同的數(shù)），它能被b整除，Z就能被b整除。若Z是一個由9組成的n位數(shù)，個位十位百位到10 位都用9去乘以每位上相應可以得到的余數(shù)后相加，若能被b整除，則這個數(shù)Z也就能被b整除。以b=19為例，其除十進制10 （n為從0到18的整數(shù)）每位上所得的數(shù)字剛好與1/19化小數(shù)過程中所得循環(huán)節(jié)的各個余數(shù)相同，見表2第二行。即：9*（a +a +…+a ），（j≤b-1）的結果是19的倍數(shù)才能被19整除，而質(zhì)數(shù)19并不含有9的任何因數(shù)，那么只有（a +a +…+a ）的結果為19的整數(shù)倍， 19才是j位9組成數(shù)的一個因數(shù)。當b=19時，j=b-1=18。除質(zhì)數(shù)3以外，所有的質(zhì)數(shù)都不含9的任何因數(shù)。當b=3時，無論（a +a +…+a ）的結果是什么，9*（a +a +…+a +…+a ）的結果都能被3整除。所以當b=3時，產(chǎn)生循環(huán)節(jié)時其相關余數(shù)之和可以不是3的整數(shù)倍。結論：在a/b（b≠3）化小數(shù)中，產(chǎn)生循環(huán)節(jié)時把相關余數(shù)相加之來和為b的整數(shù)倍。

1．5在a/b化小數(shù)中，所得的任何循環(huán)節(jié)的相關余數(shù)有w個，w為（b-1）的任何一個因數(shù)，包括（b-1），若w=q*p成立，則可按其依次出現(xiàn)的順序分成q組p個，那么無論任何分法，每一組的首個余數(shù)相加和為b的整數(shù)倍，其余相同順序上的余數(shù)相加和也為b的整數(shù)倍。以1/19為例，用表格分別列出1/19相關余數(shù)分3組，每組6個相關余數(shù)，如表3

表3表4

表3是1/19所產(chǎn)生的相關余數(shù)，表4是根據(jù)相關計算得出的與表3有關的數(shù)字，即第二行分別是第一行的11倍，第三行分別是第一行的7倍。表4第一列與表3相同，根據(jù)整除的理論，由于表3中這些余數(shù)都是同一個循環(huán)節(jié)的相關余數(shù)，說明表3中每一行上數(shù)字之和不能被19整除，否則就不會有再有其后邊的余數(shù)，而表4中，從第一行到第三行的第一列數(shù)字分別為：A 、A 、A ，設第一行之和為M，第二行之和為M*A / A ，第三行之和為M*A / A 。表3與表4的第一行數(shù)之和相同也為M,由于表4各數(shù)之和是表3各數(shù)之和加上19的整數(shù)倍的結果,而表3是從1加到18的數(shù),為(1+18)*18/2結果是19的倍數(shù),所以表4也是19的整數(shù)倍,而表4第二行的和為M*A / A ，第三行的和為M*A / A ，其三行之和為：M+ M* A / A + M* A / A即：M*( A + A + A )/ A。由于1≤A ≤18，不含有質(zhì)數(shù)19的任何因數(shù),由整除理論可知M不可能是19的整數(shù)倍，所以M/ A 不含有19的任何因數(shù)，只有(A +A +A )之和為19的倍數(shù)。而(A +A +A )正好是表3第一列數(shù)之和。同理可推，分成五組中的（A +A +A +A +A ）的結果也是19的整數(shù)倍。再用表格列出7/31計算過程中循環(huán)節(jié)及相關余數(shù)的關系：

循環(huán)的數(shù)字 2 2 5 8 0 6 4 5 1 6 1 2 9 0 3

相關余數(shù) 7 8 18 25 2 20 14 16 5 19 4 9 28 1 10

表5

若按循環(huán)節(jié)上的三個數(shù)字為一組，分成五組，則每組相關余數(shù)的第一位分別為7、25、14、19、28，五數(shù)之和為93=31*3；第二位數(shù)分別為8、2、16、4、1，這五數(shù)之和為31=31*1；第三位分別為18、20、5、9、10，這五數(shù)這和為62=31*2。這種現(xiàn)象無論以哪個循環(huán)節(jié)上的數(shù)字為開頭，只要按循環(huán)節(jié)順序如此計算，每組余數(shù)相同順序上的數(shù)之和都為31的整數(shù)倍。

1.6在a/b化小數(shù)中，所得的任何循環(huán)節(jié)的相關余數(shù)有w個，w為（b-1）的任何一個因數(shù)，包括（b-1），若w=q*p成立，則可把這個循環(huán)節(jié)上的數(shù)字按循環(huán)順序分成q組p個，無論如何分，只要每組的個數(shù)相同，那么，把每組數(shù)字按原循環(huán)順序組成一個p位數(shù)后再把q個p位數(shù)加起來和為T。相關余數(shù)的第一列之和（A + A + A +……+A ）除以b等于 Z，Z必為整數(shù)，當Z=1時，T為p位數(shù)字9組成的數(shù)；當1＜Z≤10時，T是首一位數(shù)字加上尾一位數(shù)字和為9，中間由p-1位數(shù)字9組成的數(shù)；當10 +1≤Z≤10 時,T是一個n+1位首尾和為n+1位9,中間由p-n-1位9組成的數(shù)；以1/7為例，產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為142857，共6位，可以分成3組，每組兩個數(shù)字，即14、28、57，則14+28+57=99，3組數(shù)的首位數(shù)字相關余數(shù)之和為1+2+4=7*1；或者分成42、85、71，則42+85+71=198，三組首位相關相余數(shù)相加為3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9；也可分成兩組以上關系也成立的。再以1/31為例，其產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為032258064516129，共15位，可以分成三組或五組后相加，分別為032+258+064+516+129=999，或03225+80645+16129=99999；再以7/31化小數(shù)后的循環(huán)節(jié)為225806451612903，按以上法則分組后相加分別為225+806+451+612+903=2997，其中，首數(shù)2加上尾數(shù)7為9；22580+64516+12903=99999；以上現(xiàn)象暫稱為合九律。所以在a/b（b為非2、5的質(zhì)數(shù)）化小數(shù)中：⑴若產(chǎn)生的任何循環(huán)節(jié)位數(shù)為偶數(shù)時，一定具有半九律，且這個質(zhì)數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)的個數(shù)可為奇數(shù)或為偶數(shù)；⑵若產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)個數(shù)為奇數(shù)時，循環(huán)節(jié)位數(shù)一定為偶數(shù)；⑶若產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)位數(shù)為奇數(shù)時，則循環(huán)節(jié)的個數(shù)一定為偶數(shù)。

2、除數(shù)為合數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)

2.1幾種特殊數(shù)的性質(zhì)。

真分數(shù)a/b中b=b *b ，b 為質(zhì)數(shù)。⑴若b =2 時，a/b=（a*5 ）/b /10 ，若（a*5 ）/ b =Z+v,( 1≤v＜b ),那么a/b=（Z+v/b ）/10 ，Z部分不被包含在循環(huán)節(jié)里；而b =5 時，同理可推。也就是說，b 為2 或5 時，所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與a /b [1≤a ≤（b -1）]產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)相同。而a中與b互質(zhì)的數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)全部可以通過相關轉換成以b 為除數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。⑵3是數(shù)字動態(tài)形式里9的因數(shù)，當b =3 時，①若b=b 化a/3 為小數(shù)的過程中不會出現(xiàn)余-a的情況；②若n=1，b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)上數(shù)字之和為3的整數(shù)倍，且同一個循環(huán)節(jié)里計算“半九律”的結果為“半六或半三律”；③若n=2，b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)上的數(shù)字和可為任意整數(shù)，而在同一個循環(huán)節(jié)里的計算“合九律”的結果為重復的數(shù)字都只為1至8的任可數(shù)里的一個數(shù)字。④b =3 時，同一個循環(huán)節(jié)里的任意兩個與3 互質(zhì)的相關余數(shù)之差皆為3的整數(shù)倍。

2.2 在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 皆非2或5的質(zhì)數(shù)，那么a/b化小數(shù)的過程中會產(chǎn)生三部分循環(huán)小數(shù)，一部分是由從1到（b-1）中有（b -1）個含有b 為因數(shù)的數(shù)，這些數(shù)與b *b 約去b 后成為以a /b 化小數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)，1≤a ≤（b -1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a /b 化小數(shù)產(chǎn)生的，1≤a ≤（b -1）；第三部分是以b為除數(shù)，從1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)為被除數(shù)產(chǎn)生的，其能產(chǎn)生（b-1）-（b -1）-（b -1）即（b+1）-（b +b ）個參與這部分循環(huán)節(jié)的數(shù)字。第三部分循環(huán)節(jié)相關的余數(shù)之間也是有一定關系的。從1到b-1中含有b 、2 b 、3 b ……（b -1）b 和b 、2b 、3 b ……（b -1）b ，它們的和為：[1+（b -1）]*（b -1）* b /2 加上[1+（b -1）]*（b -1）* b /2，結果為b * b *（b +b -2）/2，由于b 和b 皆不為2或5的質(zhì)數(shù)，所以（b +b -2）/2是一個整數(shù)，那從1到b-1之和是b*（b-1）/2，所以b*（b-1）/2-（b +b -2）/2也為整數(shù)。故第三部分的余數(shù)之和是b的整數(shù)倍，并且它們的排列很有規(guī)則。若b是t個數(shù)字9組成數(shù)的因數(shù)，則與由a /b （或a /b ）產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成t位數(shù)除以b （或b ）的結果是相同的，并且t是b*（b-1）/2-（b +b -2）/2的因數(shù)。以b=119、b =7、b =17為例，由（b+1）-（b +b ）=119+1-7-17=96位，但由于48個9組成的數(shù)就能被119整除，所以有兩個48位的循環(huán)節(jié)。當a=1時，余數(shù)依次為1、10、100、48、4、40、43、73、16、41、53、54、64、45、93、97、18、61、15、31、72、6、60、5、50、24、2、20、81、96、8、80、86、27、32、82、106、108、9、90、67、75、36、3、30、62、25、12，從以上排列可以看出，a +a =7K ，K 為整數(shù)，而a +a =17K ，K 為整數(shù)。a 與a 之差為7的整數(shù)倍，a 與a 之差為17的整數(shù)倍。在119中只含因數(shù)7、17僅各一個，用1.5節(jié)表3的排列法來分析，48可分解為2*24、3*18、4*12、6*8四種，119的第一行若為6個余數(shù)1、10、100、48、4、40，和M為7*29，由a +a =7K ，則第一行之和M含119的因數(shù)7，那第一列之和必僅含因數(shù)17了，而第一列余數(shù)1、43、64、15、50、8、106、36的和17*19不能被119整除；若每行24個，則與每行6個的結果相同，所以都沒有半九律。若第一行排16個相關余數(shù)，又由a +a =17K ，同理可知，第一列只含因數(shù)7不能被119整除。別的排法，都可達到合九律。結論：在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 所得的循環(huán)節(jié)都為自身數(shù)減1位。設（b -1）/2=s, （b -1）/2=r，產(chǎn)生的第三部分余數(shù)中，a +a 為b 的整數(shù)倍，a 與a 之差為b 的整數(shù)倍，而a +a 為b 的整數(shù)倍，a 與a 之差為b 的整數(shù)倍。第一行排2s（或2r）個相關余數(shù)所得的第一列和只是b （或b ）的整數(shù)倍，而所得T為以b （或b ）為除數(shù)所得的w/2s(或w/2r)個循環(huán)節(jié)組成。（注：w和T見1.6節(jié)里的說明）

2.3在a/b中, b=b ，則產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有兩部分，一部分由1到（b -1）除以b 產(chǎn)生，另一部分由1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)除以b產(chǎn)生。

2.4在a/b中，當b為n個（非2、5）質(zhì)因數(shù)的積，化小數(shù)所得的循環(huán)節(jié)由2 -1個不同的除數(shù)產(chǎn)生。

作者簡介姓名：廖敢云出生：1978年10月民族：漢 性別：男

學歷：大學職稱：技術員

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