陳俊杰，楊孟興

（中國航天科技集團第16研究所，西安 710100）

0 引言

FOG與傳統(tǒng)機電陀螺相比有許多突出的優(yōu)點，如耐沖擊、抗震性好、測量范圍大、對重力加速度不敏感，但使其達到較高精度的成本很高，反而顯示不出其工程應用上最重要的優(yōu)點。FOG輸出的誤差主要包括：常值漂移及隨機漂移。常值漂移可通過標定方法進行消除，而隨機漂移作為衡量FOG精度一個非常重要的指標，且其長時間工作過程中會隨時間發(fā)生變化，對慣導系統(tǒng)產(chǎn)生較大的影響。目前，F(xiàn)OG隨機漂移建模還是一個難點，難點在于如何簡單而有效地將隨機漂移減弱到最低限度，使慣導系統(tǒng)的精度得到最大程度的提高。在工程應用中，一般通過工藝改進等手段從硬件上進行減小隨機漂移，但不管如何改進都會有一個局限性，而且每增加一個精度級別會花費大量成本。若能通過一定的軟件措施，在FOG精度不夠時使其達到應用要求，是非常有意義的。文中通過建立線性自回歸模型（AR）及非線性自回歸模型（NAR），討論其建模過程及對隨機漂移的補償效果。

1 AR線性模型與非線性模型

時間序列分析是一種時域分析法，它不僅研究過程的確定性變化，而且更著重于研究過程的隨機性變化，它直接利用隨機時間序列來建立差分方程，把一個高度相關(guān)的平穩(wěn)隨機時間序列表示成一種數(shù)字遞推的形式（即看成由各時刻相關(guān)隨機時間序列和各時刻出現(xiàn)的白噪聲組成）。

一般地，隨機過程Xt（因變元）的觀測值與m個自變元u1t、u2t、…umt取值的依賴關(guān)系可用線性方程：Xt＝β1u1t＋β2u2t＋…＋βmumt＋εt（1≤t≤N）來描述，并稱為m元線性回歸模型，其中實數(shù)βi（1≤i≤m）稱為回歸系數(shù)，εt是因變元Xt中無法用uit（1≤i≤m）表示的各種隨機因素組成的隨機干擾，一般稱為剩余誤差或殘差。并假定εt是零均值、方差為σ2ε、相互獨立且服從正態(tài)分布的隨機過程。

在實際問題中，自回歸模型所表現(xiàn)的隨機過程或時序的觀測值｛Xt，t＝0、±1、…｝，與其自身前幾個時刻的觀測值 Xt－1、Xt－2、… 有關(guān)或有依賴性，也稱為線性自回歸模型，即AR模型：

其中at也需符合εt的要求。

AR非線性自回歸模型也稱為AR狀態(tài)依賴時間序列模型，描述如下：給定一個系統(tǒng)，其輸入為均值為0、方差為σ2ε的白噪聲，該白噪聲序列的輸出為時間序列｛Xt，t＝0、±1、…｝，則該系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以描述為：

其中：Xt－1＝ （xt－1，xt－2，…，xt－p）為系統(tǒng)的一個狀態(tài)；φi（Xt－1，θ）xt－i為Rp→R上的光滑函數(shù)；參數(shù)θ＝ （θ0，θ1，…，θp）∈Θ＝Θ0×Θ1×…×Θp，參數(shù)空間Θi（i＝0，1，…，p）是R中的開子集。

2 動態(tài)數(shù)據(jù)預處理

將FOG置于水平測試臺上，輸入軸水平向東，此時輸出均值即為常值漂移。在常溫環(huán)境下測試其輸出，數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 FOG零偏輸出序列

根據(jù)文獻[5]，由平穩(wěn)性檢驗算法可得：Z＝0.0464≤1.96；由趨勢項檢驗算法，設(shè)置段數(shù)為50，可得＝1.9072≤1.96，因此認為FOG靜態(tài)輸出是平穩(wěn)且無趨勢項的。合理性假定認為FOG零偏輸出符合正態(tài)性要求，因此FOG輸出符合平穩(wěn)、正態(tài)的要求，可進行時間序列建模。

通過分析FOG輸出的自相關(guān)（系數(shù)）函數(shù)，如圖2所示。可知，除了h＝1s外其他相關(guān)時間下的自相關(guān)系數(shù)均落入檢驗帶，這也驗證了文獻[1]中“FOG中主要存在隨機白噪聲”的觀點。但是FOG輸出除了隨機白噪聲，還是存在著其他噪聲，應通過相關(guān)模型進行濾除，直到剩下白噪聲為止。

3 FOG隨機漂移的AR與NAR建模

零均值、平穩(wěn)以及正態(tài)序列的AR（p）模型可表示為：

圖2 FOG輸出序列的自相關(guān)函數(shù)

設(shè)FOG的靜態(tài)輸出序列為yk（k＝1，2，……），該序列可以看作平穩(wěn)、正態(tài)時間序列，則平穩(wěn)、正態(tài)、零均值時間序列可以表示成：xk＝y(tǒng)k－，（k＝1，2，……），代入上式，可得：

其中常數(shù)c＝（1－φ1－φ2－…－φp）[6]。

AR模型可使用Yule－Walker算法進行辨識參數(shù)，NAR模型可通過使用最小二乘法辨識參數(shù)。由于模型階數(shù)越高，計算量越大，如NAR（2）及NAR（3）在濾波的每一步遞推過程中比NAR（1）要多5個和11個乘法運算，對于性能不高的處理芯片，可能會影響解算的實時性，因此在建模中不參考AIC等定階準則，只對AR（1）～AR（3）和NAR（1）～ NAR（3）進行比較。

使用FOG輸出的前1000s數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識，之后使用建立好的模型進行濾波，比較濾波前后的零偏均值及穩(wěn)定性，如表1所示。

可知AR（1）～AR（3）和NAR（1）～ NAR（3）濾波后零偏值較濾波前相比，差值最大不超過0.0042°／h，這對于濾波前的零偏穩(wěn)定性0.0166°／h相比，可認為未發(fā)生改變；而比較零偏穩(wěn)定性的改善情況，AR（1）模型的濾波效果比 AR（2）、AR（3）良好，而NAR（1）模型的濾波效果比NAR（2）、NAR（3）良好。

選取AR（1）和NAR（1）模型進行比較：

1）兩種模型濾波后均值未造成較大誤差，零偏穩(wěn)定性的改善幾乎一樣；

2）在濾波遞推過程中，AR（1）模型需1次乘法，NAR（1）需3次乘法，乘法帶來的延時都是很小的，可以忽略不計。

建立好的模型如下：

表1 AR模型和NAR模型的濾波結(jié)果（（°）／h）

圖3 經(jīng)AR（1）和NAR（1）濾波后的零偏輸出序列

4 模型適用性檢驗

檢驗模型擬合殘差是否近似為白噪聲是一種常用的適用性檢驗方法，主要方法有：散點圖法、相關(guān)系數(shù)法和F檢驗法。相關(guān)系數(shù)法是普遍采用的一種方法，倘若濾波后輸出的相關(guān)系數(shù)以95.5%的概率在噪聲帶，則認為殘差不存在自相關(guān)性，即輸出的噪聲幾乎全為隨機白噪聲，模型通過適用性檢驗。

由圖4可知，兩個模型濾波后輸出的自相關(guān)（系數(shù)）函數(shù)都在噪聲檢驗帶內(nèi)，濾波后序列的噪聲為白噪聲，兩個模型均能通過適用性檢驗。

5 結(jié)束語

文中分別使用AR模型與NAR模型對FOG隨機漂移進行建模及濾波，通過比較濾波前后均值的偏移情況及隨機漂移的改善程度，并考慮遞推過程的運算復雜性，綜合考慮各因素后，AR（1）和NAR（1）是比較適合用于FOG隨機漂移數(shù)學模型。在不同精度FOG隨機漂移的建模及驗證中，也得到相應的結(jié)論。在兩個模型的作用下FOG的隨機漂移都可以得到一個數(shù)量級的改善，這對于精度不夠的FOG慣導系統(tǒng)而言是可觀的。該模型的最大特點是沒有采用卡爾曼濾波，更減小了運算量，簡單有效，更容易在單片機等計算芯片上實現(xiàn)。下一步的工作是如何將該思路在實際系統(tǒng)上進行應用，實現(xiàn)在線建模及實時濾波。

圖4 濾波后輸出序列的自相關(guān)（系數(shù)）函數(shù)

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