李海銀

(河南財經政法大學 數(shù)學與信息科學系 河南 鄭州 450002)

B-D功能反應密度制約的離散非自治捕食者—食餌系統(tǒng)的周期解

李海銀

(河南財經政法大學 數(shù)學與信息科學系 河南 鄭州 450002)

利用Gains和Mawhin重合度理論中的延拓定理，得到了一類具有Beddington-DeAngelis功能反應密度制約的離散非自治捕食者—食餌系統(tǒng)周期解存在性的充分條件，推廣了某些已知的相關結果.這個結論不僅適用于離散時滯，同樣也適用于分布時滯和偏差變元.

捕食者密度制約； B-D功能反應函數(shù)； 周期解； 重合度理論； 延拓定理

0 引言

Beddington[1]和DeAngelis[2]分別提出了下面捕食者—食餌模型

(1)

近年來很多專家研究發(fā)現(xiàn)，具有B-D功能反應的捕食者—食餌系統(tǒng)[3-7]的出生率、死亡率和其他重要的種群變化率都發(fā)生著很大的變化，因此，參數(shù)有周期性的假設和周期性的環(huán)境(比如天氣的季節(jié)性影響，食物供應，交配習性等)是非常符合的.當把參數(shù)的周期性考慮進去時，模型(1)一定是非自治的. 文獻[4]研究了非自治捕食—食餌動力系統(tǒng)

(2)

然而，許多學者[8-9]認為當種群不是世代重疊時，離散時滯的差分方程模型較連續(xù)的更適合，且一定的環(huán)境限定了捕食者應該是密度制約的[10-11]，下面討論離散非自治模型的周期解

(3)

其中e(t)為捕食者的密度制約率.采用[12]中的方法，可推導出(3)的離散模型

(4)

(4)的指數(shù)形式比(3)用差分形式代替微分在生物學上更合理，且連續(xù)時滯系統(tǒng)比離散時滯系統(tǒng)研究起來更難.下面將討論系統(tǒng)(4)的正周期解的存在性以及存在的充分條件.

1 周期解

(i)對任意的λ∈(0,1)，方程Lx=λNx的解滿足x??Ω；

引理2已經在文獻[13]中得以證明，這個引理將在先驗估計和獲得正周期解的一致有界方面起非常重要的作用.

引理2令f:Z→R是ω周期函數(shù)，則對固定的k1,k2∈Iω和k∈Z，有

證明作變換x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)和U=(u(t),v(t))T，則系統(tǒng)(4)等價于

(5)

我們定義X=U=lω,(lf)(k)=f(k+1)-f(k)，則

對任意的f∈X和k∈Z,我們很容易得到L是一個有界的線性算子，且KerL=lcω，ImL=l0ω,dim KerL=2=codim ImL,則L是一個零指標的Fredholm映射.令

很明顯，P和Q是連續(xù)映射，使得ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(I-Q)且存在

KP∶ImL→KerP∩DomL,

(6)

如果U是系統(tǒng)(6)的任意解，我們有

這意味著

(7)

(8)

結合(6)～(8), 我們有

(9)

由于U=U(k)∈X，一定存在ξi,ηi∈Iω,i=1,2使得

(10)

(11)

(12)

結合(11)，則

|u(k)|≤max{|A1|,|A2|}∶=C1.

(13)

由(7)、(10)和(11)，得

從上面可以得出，

(14)

由引理2及等式(9)和(14)，得

由(7)和(12)，容易得到

(15)

且|(ln{s1*},ln{s2*}|

k∈Z.令Ω∶={U={U(k)}∈X:‖U‖

因代數(shù)方程組(15)存在惟一解，由已知條件直接計算知deg(JQN,Ω∩KerL,0)≠0，這里同構J可取為恒同映射，因為ImQ=KerL.至此，我們已經證明Ω滿足引理1的全部條件.由引理1，方程(5)在DomL∩Ω中至少存在一個ω周期解U*={U*(k)}={(u*(k),v*(k))T}，令x*(k)=eu*(k),y*(k)=ev*(k)，則X*={X*(k)}={(x*(k),y*(k))T}是系統(tǒng)(4)的ω周期正解，存在正常數(shù)αi,βi滿足上面的討論.證畢.

例1令

e(t)是任意的連續(xù)正ω周期函數(shù)，且令ω=4，通過簡單的數(shù)值計算，可得

因此，系數(shù)函數(shù)滿足條件H0，系統(tǒng)至少有一個 正周期解.

注1從定理1 可以看出，只要滿足條件H0，條件H0和正的連續(xù)ω周期函數(shù)e(t)的取值無關，系統(tǒng)(4)至少有一個ω正周期解.也就是說，捕食者的密度制約比率e(t)對周期解的存在性不存在任何負作用.

注2當系統(tǒng)(4)的部分或全部項換為離散時滯、分布時滯或偏差變元時，定理1仍然是成立的.

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PeriodicSolutionofDiscreteTimeNonautonomousDensityDependentPredator-PreySystemwithB-DFunctionalResponse

LI Hai-yin

(DepartmentofMathematicsandInformation,HenanUniversityofEconomicsandLaw,Zhengzhou450002,China)

By using the continution theorem based on Gaines and Mawhin’s coincidence degree, sufficient and realistic conditions were obtained for the existence of positive periodic solutions for a discrete time nonautonomous density dependence predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response, and the results were improved.The results were applicable to distribute delays and deviating arguments.

density dependent predator; Beddington-DeAngelis functional response; periodic solution; coincidence degree; continution theorem

O 29

A

1671-6841(2011)03-0038-05

2010-09-09

國家自然科學基金資助項目，編號60774041.

李海銀(1977-)，女，講師，碩士，主要從事微分方程穩(wěn)定性研究.E-mail:haiyinli2002@yahoo.com.cn