汪子蓮, 丁 珂

(1.蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校 基礎(chǔ)學(xué)科部 甘肅 蘭州 730050； 2.中山大學(xué) 嶺南學(xué)院 廣東 廣州 510275)

Banach空間脈沖微分方程整體解的存在性

汪子蓮1, 丁 珂2

(1.蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校 基礎(chǔ)學(xué)科部 甘肅 蘭州 730050； 2.中山大學(xué) 嶺南學(xué)院 廣東 廣州 510275)

利用Darbo不動點定理研究了Banach空間中一類含有無窮多個跳躍點的一階脈沖微分方程初值問題，在較弱的條件下獲得了其整體解的存在性.

正規(guī)錐; 脈沖微分方程; 非緊性測度; 初值問題

0 引言

脈沖微分方程理論研究在固定時刻或不固定時刻發(fā)生快速變化或跳躍的發(fā)展過程,是對自然界發(fā)展過程更直接的反映,近年來得到了廣泛關(guān)注[1-4].

本文研究有序Banach空間E中脈沖微分方程初值問題

(1)

最近,抽象空間中脈沖微分方程初值問題得到了廣泛的研究[2-4],但都是考慮在有限閉區(qū)間上局部解的存在性,并且考慮的是有限個脈沖點的情形.文[5-6]在耗散型條件下獲得了沒有脈沖的微分方程初值問題

(2)

在Hibert空間H中整體解的存在性.本文運用不同于文[5-6]的方法,獲得了Banach空間E中含有無窮多個脈沖點的微分方程初值問題(1)整體解的存在性.

1 預(yù)備工作及引理

設(shè)E為有序Bananch空間,其正元錐P正規(guī),正規(guī)常數(shù)為N,E中的序關(guān)系“≤”由錐P引出[7]，x≤y?y-x∈P.

引理3(Darbo) 設(shè)E為Banach空間,Ω?E為非空有界凸閉集,若映像A:Ω→Ω是嚴格集壓縮的,則A在Ω中必有不動點.

首先考察線性脈沖微分方程初值問題

(3)

其中h(t)∈BPC(J,E).

引理4對?h(t)∈BPC(J,E),x0∈E和yk∈E,k=1,2,…,線性脈沖初值問題(3)有唯一解u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E),且

(4)

證明設(shè)y0=θ,如果u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是線性脈沖初值問題(1)的解,則u限制在Jk上滿足線性微分方程初值問題

相反,直接驗證可知,由(4)式定義的函數(shù)u(t)是直線性脈沖微分方程初值問題(3)的解.

引理5假設(shè)條件

‖f(t,u)‖≤p(t)‖u‖+q(t),?t∈J,u∈E;‖Ik(u)‖≤Ck‖u‖,k=1,2,…

成立，則A：BPC(J，E)→BPC(J,E)且u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是問題(1)的解當且僅當u∈BPC(J,E)是算子A的不動點.

證明對?u∈BPC(J,E),顯然，Au∈BPC(J,E)，于是

故‖Au‖≤R,從而Au∈BPC(J,E).因此，算子A有定義.又由引理4可知，u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是問題(1)的解當且僅當u∈BPC(J,E)是算子A的不動點.

首先證明α(AC)≤d.事實上，由算子A的定義及假設(shè)H1易知(AC)(t)為Jk上等度連續(xù)的函數(shù)族，且對?ε>0,?N,當t1,t2>N時，對一切u∈C,有

‖(Au)(t1)-(Au)(t2)‖<ε.

(5)

因為函數(shù)族(AC)(t)在每個Ji(i=1,2,…,k)上等度連續(xù)，由引理1可知

(6)

因而對?Au1,Au2∈ACi,當t>tk時，由(5)式與(6)式，有

‖(Au1)(t)-(Au2)(t)‖≤‖(Au1)(t)-(Au1)(tk)‖+‖(Au1)(tk)-(Au2)(tk)‖+
‖(Au2)(tk)-(Au2)(t)‖<3ε+d,t>tk.

(7)

‖(Au1)(t)-(Au2)(t)‖≤‖Au1-Au2‖≤α(AC)+ε,

(8)

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P正規(guī)，正規(guī)常數(shù)為N.f∈C(J×E,E),Ik∈C(E,E),k=1,2,….若條件H1滿足，并且假設(shè)H2如下：

H2存在l∈L[0,+∞)及非負常數(shù)Mk,使得對任意有界集D?E，有

α(f(t,D))≤l(t)α(D);α(Ik(D))≤Mkα(D),k=1,2,…,

證明由算子A的定義、假設(shè)H1及引理5，易知A：BPC(J，E)→BPC(J,E)連續(xù).

下面證明A：B→B.事實上,對?u∈B,由算子A的定義及假設(shè)H1,有

因此,A為從凸閉集B到B的連續(xù)算子.

由引理2及假設(shè)H2,有

由t的任意性可知

(9)

由(9)式、假設(shè)H2及引理2，有

(10)

所以，A：B→B為嚴格集壓縮映射.

因此，由引理3可知，A在B中至少有一個不動點u，故u∈BPC(J,E)為問題(1)的解.證畢.

下面給出一個例子說明我們的結(jié)論.

例1考慮無窮維脈沖系統(tǒng)

(11)

其中，0

定理2脈沖微分系統(tǒng)(11)在[0，+∞)中至少存在一個解.

(12)

顯然，x0∈E,f∈C(J×E,E),Ik∈C(E,E),k=1,2,….下面驗證H1與H2成立.

故H1滿足.

由文[8-9]知，h(t,D)在E中相對緊，即α(h(t,D))=0,t∈J.因此，有

α(f(t,D))≤l(t)α(D),α(Ik(D))≤Mkα(D),t∈J,k=1,2,…,

故H2滿足.因此,由定理1可知結(jié)論成立.

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ExistenceofGlobalSolutionsforImpulsiveDifferentialEquationsinBanachSpaces

WANG Zi-lian1, DING Ke2

(1.CollegeofBasicCourses,LanzhouPolytechnicCollege,Lanzhou730050,China; 2.LingnanCollege,SunYat-setUniversity,Guangzhou510275,China)

By using Darbo fixed point theorem, a kind of initial value problems for first order impulsive differential equations with infinite skip points in a Banach space was studied.And the existence of global solutions was obtained under weak conditions.

normal cone; impulsive differential equation; measure of noncompactness; initial value problems

O 175.15

A

1671-6841(2011)03-0022-05

2010-05-08

甘肅省教育廳科研項目，編號0712B- 02.

汪子蓮(1964-)，女，副教授，主要從事常微分方程邊值問題研究，E-mail:sapingddk@163.com.