張金羽

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

有關(guān)純子模結(jié)構(gòu)研究

張金羽

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

討論了模M的τ-撓根Tτ(M)的結(jié)構(gòu)。利用Tτ(M)作為模M的τ-純子模的最小性得出結(jié)論：Tτ(M)為M的所有τ-純子模的交。

模；純子模；τ-撓根Tτ(M)

0 引言

定義1[1]設(shè)R-mod是左R-模范疇，τ是R-mod中的一個撓理論，M是左R-模。M是τ-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對任意的內(nèi)射模E∈τ，有

當(dāng)且僅當(dāng)存在一個內(nèi)射模E′∈τ，使

定義2[2]設(shè)R-mod是左R-模范疇，τ是R-mod中的一個撓理論，M是左R-模。M是τ-撓自由模當(dāng)且僅當(dāng)存在內(nèi)射模E′∈τ及集合Ω，使

是正合列；當(dāng)且僅當(dāng)存在內(nèi)射模E∈τ，使

是正合列。

顯然，τ-撓模與τ-撓自由模是兩個對偶的概念。M既是τ-撓模又是τ-撓自由模當(dāng)且僅當(dāng)M=0。

1 Tτ( M)的結(jié)構(gòu)描述

命題1 設(shè)τ是R-mod中的一個撓理論。M是左R-模，N是M的子模，則以下命題等價：

（i）M/N是τ-撓自由模；

（ii）存在

使

證明 （i）?（ii）由已知有內(nèi)射模 ∈τ E ，使左R-模正合列

成立，因此存在模同態(tài)

其中π是自然同態(tài)。

任取

即

從而

反之，任取

有

但β為單射，得

即x∈N，從而

所以（ii）成立；

（ii）?（i）考察交換圖。由于

根據(jù)模同態(tài)基本定理，

存在唯一的模同態(tài)π↓β

使圖表可交換，即α=βπ，此時β為單的模同態(tài)，所以M/ N 是τ-撓自由模。

2 利用τ-純度刻畫τ-純子模

定義3 設(shè)N是左R-模M的子模，稱M的所有包含N的τ-純子模的交為N在M中的τ-純度，記作PurM(N)。

定理1 設(shè)τ是R-mod中的撓理論，N是左R-模M的子模，則以下命題等價：

（i）M/N是τ-撓模；

（ii）對任何

R /(N：m)是τ-撓模；

（iii）存在R的τ-稠密左理想I使Im?N。

證明 （i）?（ii）設(shè)M/N是τ-撓模，對任意的

R (m + N)是M/N的非零子模。由于τ-撓模關(guān)于子模封閉，所以 R (m + N)是τ-撓模，又知有模同構(gòu)

得結(jié)論成立；

反之，設(shè) R /(N：m)是τ-撓模，那么由（*）式及m的取法知 R (m + N)是M/N的任意非零的循環(huán)子模，并且是τ-撓模。作直和

則易見M/N是F的商模。由于τ-撓模關(guān)于直和、商模封閉，所以M/N是τ-撓模；

（ii）?（iii）如果對任何

R /(N：m)是τ-撓模，那么(N：m)是R的τ-稠密左理想，又知

所以(N：m)為所求；

反之，如果有R的τ-稠密左理想I使得

則

所以(N：m)是R的τ-稠密左理想，得 R /(N：m)是τ-撓模。

3 結(jié)論

給出了模M的τ-撓根Tτ(M)的一種新的結(jié)構(gòu)描述，即Tτ(M)為M的所有τ-純子模的交。

[1] J. S. Golan. Torsion Theories[M]. New York： John Wiley & Sons. Inc, 1986.

[2] J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra[M]. New York： Academic Press, 1979.

[3] 周伯壎.同調(diào)代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社,1988.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

Research on the Structure of Pure Submodule

ZHANG Jin-yu

(School of science, Henan university of Technology, Zhengzhou 450001, China)

This paper discusses the problem of the structure of τ-torsion radical Tτ(M). Depending on the theory that τ-torsion radical Tτ(M) of M which is the minimum τ-pure submodule, it draw the conclusion： Tτ(M)is the intersection of all the τ-pure submodules of M.

module; pure submodule; τ-torsion radical Tτ(M)

2011-02-26

張金羽（1970-），男，吉林四平人，碩士，河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

O154.2

A

1009-9115(2011)05-0007-02