段傳輝 董云峰

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）

1 引言

航天器編隊(duì)飛行可以完成單個(gè)航天器所不能完成的任務(wù)，近年來成為國內(nèi)外航天領(lǐng)域的研究重點(diǎn)［1］。

航天器相對運(yùn)動(dòng)軌跡控制是編隊(duì)飛行的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)方法一般以脈沖變軌完成。近年來由于小推力發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)逐漸成熟，以效率高、壽命長的特點(diǎn)得到充分的重視［2-4］。

求解航天器最優(yōu)軌跡問題的方法通?？煞譃橹苯臃ê烷g接法［5-7］，間接法利用Pontryagin原理，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題；間接法可以獲得很高的精度，但是因初值猜測很困難，收斂半徑小使得兩點(diǎn)邊值問題很難求解［5］。直接法的思想是將狀態(tài)量和控制量離散化，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃（NLP）問題，然后用常規(guī)的NLP求解方法，如系列二次規(guī)劃方法（SQP）求得近似解。直接法有許多種，各種方法在計(jì)算量、收斂性等方面各有差異，近年來由David Benson和Huntington提出的高斯偽譜法對平滑型最優(yōu)控制問題有很好的收斂性，以較少節(jié)點(diǎn)即可獲得較高的精度［7-8］。國內(nèi)的學(xué)者利用高斯偽譜法求解了深空探測、高超聲速飛行器的再入、月球軟著陸等最優(yōu)軌跡問題［6，9-10］。

本文針對雙星編隊(duì)的伴飛星的釋放任務(wù)，提出基于小推力變軌完成的從主星投放至形成穩(wěn)定繞飛構(gòu)型的燃料最省釋放軌跡，利用高斯偽譜法將C-W方程描述的連續(xù)型最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題，再利用SQP方法求解此NLP問題并給出了仿真算例。

2 相對運(yùn)動(dòng)描述及穩(wěn)定繞飛條件

考慮目標(biāo)航天器在圓軌道或者近圓軌道上運(yùn)行，追蹤航天器與目標(biāo)航天器的位置誤差遠(yuǎn)小于圓的半徑，速度差遠(yuǎn)小于目標(biāo)航天器的在軌運(yùn)行速度。定義相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于目標(biāo)航天器質(zhì)心，x軸指向速度方向，y軸指向目標(biāo)飛行器矢徑方向，z軸與x和y軸構(gòu)成右手正交系。

式中A和B的定義為

考慮航天器不受軌控的繞飛情形，即令式（1）中T為零，可解出相對位置隨時(shí)間的變化關(guān)系［11］為

從式（2）可以看出，z方向和x，y是相互獨(dú)立的，可單獨(dú)分析。此外，三軸中僅x（t）中含有隨時(shí)間線性增長的項(xiàng)為形成長期穩(wěn)定的繞飛，則必須滿足條件

此時(shí)，x-y平面內(nèi)的方程可轉(zhuǎn)化為

由此可見，飛行器的相對運(yùn)動(dòng)軌跡在x-y平面投影為一橢圓，其半長軸為半短軸為半長軸的一半，進(jìn)一步分析可知，相對運(yùn)動(dòng)軌跡在y-z，x-z平面的投影也為橢圓，但其長軸和短軸不一定與坐標(biāo)軸重合［12］。

上述橢圓的圓心在x軸還有常值偏移量，為達(dá)到伴星對目標(biāo)星的較好觀測效果，可進(jìn)一步令

只要航天器的相對位置與相對速度初始條件滿足式（3）和式（5），在近距離且不考慮攝動(dòng)情況下，伴星相對目標(biāo)星的軌跡為一個(gè)空間橢圓，且橢圓中心在目標(biāo)星質(zhì)心。

小型的伴星一般由主星搭載，入軌后通過航天員或者主星上的分離機(jī)構(gòu)釋放，初始相對位置Δr≈0，相對速度Δv≈0，此狀態(tài)一般不滿足式（3）和式（5）所確定的穩(wěn)定的橢圓軌跡繞飛的初始條件，因此伴星投放后必須實(shí)施變軌，才能進(jìn)入穩(wěn)定的繞飛狀態(tài)。

傳統(tǒng)的變軌一般由脈沖控制來完成，只需進(jìn)行有限次的脈沖即可進(jìn)入目標(biāo)軌道，此種方式計(jì)算簡便，但是誤差較大，不能精確調(diào)整。利用有限小推力發(fā)動(dòng)機(jī)可以得到比脈沖控制更為精確的變軌，且可以充分利用已有的最優(yōu)控制理論，對變軌過程進(jìn)行優(yōu)化。本文選用推力恒定，方向可變的常值小推力發(fā)動(dòng)機(jī)完成伴星的釋放軌跡控制，則關(guān)于求解推力器噴氣方向單位矢量u＝［ux，uy，uz］T的最優(yōu)控制問題可描述如下。

邊界點(diǎn)約束：x（t0）＝［r0，v0］，x（tf）＝［rf，vf］，在初始狀態(tài)選取時(shí)注意剛釋放時(shí)r0≈0，v0≈0，在終端時(shí)刻，即變軌結(jié)束點(diǎn)（橢圓繞飛構(gòu)型的入口點(diǎn)處），rf一般取為102m～103m的級別，而vf是根據(jù)rf的取值及式（3）和式（5）的約束條件來確定的。

過程約束：由于控制量u是方向矢量，必須滿足

3 高斯偽譜法求解最優(yōu)控制問題

高斯偽譜法的基本思想是通過將隨時(shí)間連續(xù)變化的狀態(tài)量和控制量在有限個(gè)數(shù)的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行離散，用這些離散點(diǎn)上Lagrange差值多項(xiàng)式近似表達(dá)狀態(tài)量和控制量函數(shù)，再利用Gauss數(shù)值積分將積分約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)求和約束，最終將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題來求解。

設(shè)x（t）∈Rn為狀態(tài)變量，u（t）∈Rm為控制變量，t0和tf為起始和結(jié)束時(shí)刻，則一個(gè)典型的Bolza型的最優(yōu)控制問題［8］可描述為確定u（t），使以下指標(biāo)函數(shù)為最小。

式中Φ為終端指標(biāo)；g為積分型指標(biāo)。式（6）中各變量滿足以下約束

式中ψ為等式約束；C為不等式約束。由于Gauss積分定義在［-1，1］，需將以上t∈［t0，tf］描述變換為τ∈［-1，1］，變換方法為

對于一個(gè)定義在［-1，1］上的函數(shù)f（t），取Legendre-Gauss多項(xiàng)式的K個(gè)零點(diǎn)（LG點(diǎn)）τ1～τK，則可利用Gauss積分公式將積分求解轉(zhuǎn)化為近似求和運(yùn)算

式中ωi為第i處的高斯權(quán)重，ωi和τi只與個(gè)數(shù)K有關(guān)，求解方法參見文獻(xiàn)［7］。

利用起始點(diǎn)τ＝-1及K個(gè)LG零點(diǎn)共計(jì)K＋1個(gè)點(diǎn)，對x（t）進(jìn)行K＋1次多項(xiàng)式Lagrange差值［8］得到：

Lagrange差值可以保證在K＋1個(gè)差值點(diǎn)處有x（τi）＝X（τi），其他點(diǎn)處二者則近似相等。

同理，對u（t）在K個(gè)LG零點(diǎn)處進(jìn)行Lagrange差值（因差值點(diǎn)個(gè)數(shù)不同

式中Dki為微分矩陣，僅與LG點(diǎn)的個(gè)數(shù)K有關(guān)，可在算法開始前離線確定，其定義［8］為

針對伴星釋放最優(yōu)軌跡控制的具體問題，設(shè)起始時(shí)刻t0＝0，狀態(tài)變量為x＝［x，y，z，vx，vy，vz］T，控制變量為推力器方向矢量u＝［ux，uy，uz］T，動(dòng)力學(xué)微分方程的右端函數(shù)為f（x，u）。將連續(xù)量的x（τ）和u（τ）在［-1，1］區(qū)間進(jìn)行離散，其中x（τ）的離散點(diǎn)取為起始點(diǎn)、終止點(diǎn)及K個(gè)LG點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)6（K＋2）維的未知向量［X0，X1，…，XK，Xf］，控制量u（τ）的離散點(diǎn)選取在K個(gè)LG點(diǎn)處，構(gòu)成一個(gè)3K維的未知向量［U1，U2，…，UK］。

根據(jù)高斯偽譜法，離散變換之后，連續(xù)型的最優(yōu)控制問題的微分方程約束可化作6K維的代數(shù)約束Rk，其表達(dá)式為

邊界條件為ψ（x（t0），t0，x（tf），tf）＝0，即上文所述的釋放初始及結(jié)束時(shí)刻的位置、速度應(yīng)滿足的條件，其維數(shù)為12。

過程約束為C（Xk，Uk，τk，tf）≤0，（k＝1，2，…，K），即每個(gè)LG點(diǎn)處Uk模為1的條件，其維數(shù)是6K。

指標(biāo)函數(shù)為min（J），J＝tf。

至此，伴星釋放最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為針對9K＋13維的未知量Y＝［X0，…，XK，Xf，U1，U2，…，UK，tf］，在滿足Rk＝0，Rf＝0，ψ＝0，C≤0條件下的一個(gè)非線性規(guī)劃問題，可用現(xiàn)有的非線性規(guī)劃問題求解方法進(jìn)行求解，本文選用效率比較高的系列二次規(guī)劃法求解。

由于高斯偽譜法求解得到的控制量是有限點(diǎn)處的近似解，而完整的控制問題需要知道任意時(shí)刻的控制量，本文選用三次樣條差值法在所求解得到的離散點(diǎn)處的控制量［U1，U2，…，UK］上進(jìn)行差值，以此獲得控制量在整個(gè)時(shí)間歷程上隨時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)u（t）。

4 仿真算例

考慮目標(biāo)飛行器軌道高度為h＝500km的圓軌道，伴星質(zhì)量m＝200kg，推力器推力T＝1N，高斯偽譜法計(jì)算節(jié)點(diǎn)K＝100，起始點(diǎn)的相對位置x，y，z為2m，相對速度Vx，Vy，Vz為0.01m／s。

終端時(shí)刻的伴星在主星的軌道坐標(biāo)系下的位置即橢圓繞飛入口的坐標(biāo)為［1 000m，600m，-500m］，終端時(shí)刻的vx和vy可由式（3）和式（5）的繞飛條件來確定，再設(shè)vz＝vy，則終端的位置和速度完全確定。

在Matlab環(huán)境下，高斯偽譜法建模的開源軟件包GPOPS將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題，最終轉(zhuǎn)化出的NLP再用基于SQP的SNOPT［13］求解器來完成求解。在SNOPT中迭代575次，最終求解得到伴星釋放過程持續(xù)時(shí)間tf＝1 179.1s。圖1～圖3分別為釋放過程中的控制量、相對位置、相對速度隨時(shí)間的變化曲線。

從圖1可以看出，整個(gè)變軌過程中除y方向控制量有一個(gè)較小尖峰之外，基本上是一個(gè)平滑的變化過程，這種平滑的變化易于推力器的實(shí)現(xiàn)。從圖2和圖3可以看出兩個(gè)航天器的相對距離、速度從開始釋放時(shí)基本為零，平穩(wěn)地過渡到穩(wěn)定橢圓繞飛的要求值，沒有出現(xiàn)較大的波動(dòng)。

圖4是伴星從釋放到穩(wěn)定的圍繞主星飛行20天的三維軌跡，可見衛(wèi)星經(jīng)過最優(yōu)變軌控制，順利進(jìn)入預(yù)定的橢圓繞飛軌道。由于在變軌結(jié)束時(shí)刻的相對位置和相對速度與橢圓繞飛所需的值之間仍有誤差，造成x軸方向仍有常值漂移項(xiàng)，按照所求解出的離散控制量進(jìn)行三次樣條差值，積分相對運(yùn)動(dòng)方程所得到tf時(shí)刻的相對位置和速度為x＝1 000m，vy＝0.553 41m／s，則由式（3）得到的x方向常值飄移速率為3vx＋6ωy＝-6.275×10-5m／s，隨著時(shí)間推進(jìn)，繞飛曲線將逐步偏離預(yù)設(shè)軌道。實(shí)際上，即使變軌過程完全沒有誤差，在攝動(dòng)力作用下，伴星相對運(yùn)動(dòng)軌道也將逐步飄移，要完成穩(wěn)定的繞飛，需要不斷地進(jìn)行軌道修正。本文僅考慮釋放軌跡的最優(yōu)控制，對繞飛保持控制問題不做討論。

圖1 控制量的時(shí)間歷程Fig.1 Result of control

圖2 相對位置時(shí)間歷程Fig.2 Result of relative position

圖3 相對速度的時(shí)間歷程Fig.3 Result of relative velocity

圖4 釋放與繞飛三維軌跡Fig.4 3Dfigure of releasing and around-flight orbit

5 結(jié)束語

本文利用高斯偽譜法，以無控的橢圓繞飛構(gòu)型為最終目標(biāo)，求解了小推力伴星的最優(yōu)釋放軌跡，仿真算例表明高斯偽譜法無需對狀態(tài)量和控制量給出較好的猜測即可收斂，根據(jù)其求解出的離散控制量進(jìn)行擬合后得到的連續(xù)控制量能夠讓狀態(tài)變量控制到指定值。

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