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(慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

一道易錯概率題的課堂探究案例

●孫波英

(慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

在平時的例題教學(xué)中,經(jīng)常會遇到這樣的情景：看似正確的方法卻得到錯誤的結(jié)果．其實,這種“偶然”通常隱藏著深層次的原因．在教學(xué)中,若能因勢利導(dǎo)，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、積極探究，則會取得意想不到的效果，使例題教學(xué)中蘊(yùn)含的寶貴資源得到更有效的利用和挖掘．

下面記錄了筆者在高三第一輪概率復(fù)習(xí)課上的一個片段及反思．有這么一道例題：

圖1

例1如圖1，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1，A2，A3，A4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網(wǎng)M，N處的兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止．求甲、乙兩人在A2處相遇的概率．

1課堂實錄

按照慣例，題目給出后，先讓學(xué)生思考幾分鐘，然后回答．

T：2種方法得到了2個截然不同的答案，到底誰錯了呢？

S1：老師，我錯了．

T：為什么？

S1：因為我沒有讓甲、乙把路走完，只考慮到相遇為止.其實他們是要走完的，因為條件中說“直到到達(dá)N，M處為止”．

下面有很多學(xué)生在點頭，表示犯了同樣的錯誤．

T：審題一定要仔細(xì)，審題可是解題的第一環(huán)節(jié)，以后不能這么粗心……

筆者話還沒講完，又有一位同學(xué)要求發(fā)言．

S3：我是讓甲、乙相遇后繼續(xù)走直到到達(dá)N，M處為止的，但是答案和S1是一樣的．

T：說來聽聽．

S3：將它看成高爾頓板模型．記事件A：“甲從M出發(fā)，走6步經(jīng)過A2到達(dá)N”,記事件B：“甲走3步從M到達(dá)A2”，記事件C：“甲繼續(xù)走3步從A2到達(dá)N”．因為甲在每個路口都有往上和往右2種選擇(A1N與A4N邊上的路口只有一種選擇)，所以和S1一樣，從A2出發(fā)走3步.因為只能往上或往右，所以只能到達(dá)N，于是P(C)=1，故

此時教室里寂靜無聲，大家都陷入了沉思．這種情況教師在課前沒有考慮，一下子無法給出答案.權(quán)衡利弊后決定按照一貫的做法，降低難度后再將問題拋給學(xué)生．

圖2

T：當(dāng)一下子無法看清原問題時，常用的辦法是降低原題的難度，把它簡化成2×2的方格怎么樣？其他條件與原題相同，求甲從M出發(fā)經(jīng)過A2到達(dá)N的概率．

大家都低頭演算起來，幾分鐘后有學(xué)生舉手.

T：那么到底誰對呢？

S4：S2對！

T：為什么？

S4：因為甲從M到N共有以下6條路可走：

M—B1—A1—B3—N，M—B1—A2—B3—N;

M—B1—A2—B4—N;M—B2—A2—B3—N;

M—B2—A2—B4—N;M—B2—A3—B4—N．

其中有4條是經(jīng)過A2的.因為條件中說“他們分別隨機(jī)選擇一條沿街的最短路徑”，所以這6條路對于甲來說是等可能的.由古典概型的計算公式可得

因此S2是對的．

T：那么S3又錯在哪里呢？

S4：按照S3的做法，甲所走的6條路徑是不等可能的：

全體學(xué)生：哦，原來如此！

T：錯解到底錯在哪里？不是“有沒有走完”的問題，而是“什么是等可能的”的問題．因為甲隨機(jī)選擇的是6條路，所以走每條路是等可能的，那么每個路口的選擇是不等可能的.如果每次路口的選擇是等可能的，那么走每條路就不等可能了．我們一定要很好的理解題設(shè)條件“他們分別隨機(jī)選擇一條沿街的最短路徑”，才能找到它的概率模型，從而使問題迎刃而解．

2幾點反思

2.1 重視審題能力的培養(yǎng)

審題是解題的第一環(huán)節(jié)，準(zhǔn)確理解題意是正確解題的關(guān)鍵．學(xué)生在看到“他們分別隨機(jī)選擇一條沿街的最短路徑”時，理解為甲在每個路口只有向上和向右2種選擇(邊A1N與A4N邊上的路口只有一種選擇)，而且只要有2種選擇，這2種是等可能的，這才借用高爾頓板模型來解題，將“隨機(jī)選擇一條最短路徑”與“他們分別隨機(jī)從點M，N走到N，M，不走回頭路”等同起來，這是造成錯解的根本原因．

審題不單單是一種習(xí)慣，更是一種能力，絕不是考試前強(qiáng)調(diào)一下就能解決的問題,需要我們在例題教學(xué)中慢慢培養(yǎng)．教師除了要幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，滲透數(shù)學(xué)思想方法，更應(yīng)該教會學(xué)生如何審題．

教師在出示題目后，讓學(xué)生有自主閱讀的時間、鑒別信息真?zhèn)蔚目臻g、組合信息的平臺和自主決定解題思路的機(jī)會，也讓學(xué)生有“試誤”的機(jī)會和勇氣，并指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，形成審題的規(guī)律和基本方法．

2.2 重視“錯誤資源”的有效利用

如何處理學(xué)生發(fā)生的錯誤越來越被人們所重視．對于學(xué)生發(fā)生的錯誤熟視無睹，只拿出正確的答案告訴學(xué)生就了事的做法定會遭到批判．然而僅僅指出學(xué)生的錯誤，不深入分析錯誤產(chǎn)生的根源同樣也是不可取的．S1在看到S2的解法后，馬上發(fā)現(xiàn)自己錯了，錯誤的原因是沒有讓甲、乙把路走完．當(dāng)時如果沒有S3站起來，也許真的會將錯因歸結(jié)為審題不仔細(xì)，這個問題就這樣過去了．

在例題教學(xué)中，通過學(xué)生的錯誤，分析探究錯誤產(chǎn)生的根源，引導(dǎo)學(xué)生不斷反思，改善認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不完善的地方，促使學(xué)生對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考．