馮鶴林，陳勇明

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，成都610225)

一種改進(jìn)的T型灰色關(guān)聯(lián)度及應(yīng)用研究

馮鶴林，陳勇明

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，成都610225)

文章通過對(duì)唐五湘和孫玉剛提出T型關(guān)聯(lián)度思想與灰色關(guān)聯(lián)度幾何意義的分析，對(duì)于某些目標(biāo)序列和各因素序列量綱相同的系統(tǒng)，無需對(duì)每組數(shù)據(jù)都進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，提出了灰色T型關(guān)聯(lián)度的一種改進(jìn)模型，改進(jìn)后的T型關(guān)聯(lián)度既能反映正、負(fù)關(guān)聯(lián)度，特別是在總體上能夠體現(xiàn)兩序列的相關(guān)程度。最后給出了改進(jìn)算法的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例。

T型關(guān)聯(lián)度；標(biāo)準(zhǔn)化處理；整體；正、負(fù)關(guān)聯(lián)度；占里

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)度不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，并為灰色系統(tǒng)分析、預(yù)測(cè)、決策奠定基礎(chǔ)?；疑P(guān)聯(lián)分析的工具是灰色關(guān)聯(lián)度，所以對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行研究具有重要的意義。其主要就兩序列之間的幾何相似程序進(jìn)行比較，描述其相近程度。序列越接近，關(guān)聯(lián)程度越大。自鄧聚龍教授[1]提出鄧氏關(guān)聯(lián)度以來，灰色關(guān)聯(lián)度就得到很大的發(fā)展和改進(jìn)。1995年唐五湘[2]通過增量來刻畫兩序列的關(guān)聯(lián)度，提出T型關(guān)聯(lián)度，用來度量正、負(fù)相關(guān)性；1997年查金茂[3]就唐五湘提出的T型關(guān)聯(lián)度，提出一系列問題如不滿足規(guī)范性以及增量為零時(shí)沒有意義，但并未提出解決方法；1998年張吉峰[4]在T型關(guān)聯(lián)度的基礎(chǔ)上引入了周期；2003年沈明宇[5]就唐五湘提出的T型關(guān)聯(lián)度的缺陷在兩增量為0時(shí)，以及其中一序列為常數(shù)列時(shí)產(chǎn)生問題，提出了解決方案并修正了T型關(guān)聯(lián)度；2008年孫玉剛[6]則進(jìn)一步改進(jìn)了T型關(guān)聯(lián)度，在唐五湘的基礎(chǔ)上重新給出新的T型關(guān)聯(lián)系數(shù)，并給出了改進(jìn)的關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)。本文進(jìn)一步分析唐五湘和孫玉剛的T型關(guān)聯(lián)度的缺陷，并給出改進(jìn)的算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證該方法的可行性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 T型關(guān)聯(lián)度的思想

唐五湘[2]提出的T型關(guān)聯(lián)度的基本思想如下：按照因素的時(shí)間序列曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的接近程度來計(jì)算關(guān)聯(lián)度。對(duì)于離散時(shí)間序列，所謂兩曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的接近程度，是指兩時(shí)間序列在對(duì)應(yīng)各時(shí)段△tk=tk-tk-1(k=1,2,…n)間原始變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的增量的大小來判定，若在時(shí)段△tk間兩增量相等或接近于相等，則這兩時(shí)間序列在時(shí)段△tk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)就大；反之，就小。兩時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)度定義為：各時(shí)段△tk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)的加權(quán)平均值，權(quán)數(shù)為△tk。

1.2 T型關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法

按照T型關(guān)聯(lián)度的思想方法，唐五湘[2]給出T型關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法。對(duì)于時(shí)間區(qū)間[a,b],b>a≥0,令△tk=tk-tk-1,k=2,3,坌k兩原始時(shí)間序列在[a,b]間各點(diǎn)的取值分別為：

X1={X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}和X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}

步驟1：標(biāo)準(zhǔn)化。

標(biāo)準(zhǔn)化的目的是使各序列之間具有可比性。具體的作法是

步驟2：求增量序列

△y1={△y1(tk)=y1(tk)-y1(tk-1),k=2,3,…n}

△y2={△y2(tk)=y2(tk)-y2(tk-1),k=2,3,…n}

步驟3：計(jì)算各時(shí)段的關(guān)聯(lián)系數(shù)

孫玉剛改進(jìn)的T型關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算公式

在式中，sgn(△y1(tk).△y2(tk))確定關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ(tk)的符號(hào)，當(dāng)ξ (tk)>0時(shí)，表示X1和X2在tk-1點(diǎn)到tk這時(shí)間段內(nèi)是同方向變化的，即正關(guān)聯(lián)，反之，若ξ(tk)<0，則負(fù)關(guān)聯(lián)。

步驟4：計(jì)算總體的關(guān)聯(lián)度。記原始時(shí)間序列X1和X2的關(guān)聯(lián)度為r(X1,X2)，則

2 T型關(guān)聯(lián)度的缺陷分析

為了說明T型關(guān)聯(lián)度的缺陷，我們先證明一個(gè)定理

定理1：當(dāng)X2={X2(t1),X2(t2),…,X2(tn)}序列與X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)}存在線性關(guān)系時(shí)，不妨記為X2(tk)=aX1(tk)+b,k=1,2,…,n,a≠0時(shí)，按照唐五湘的T型關(guān)聯(lián)度計(jì)算得到的關(guān)聯(lián)度r (X1,X2)=±1

注：用孫玉剛的T型關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算，可得到當(dāng)序列與存在線性關(guān)系時(shí)，也得到的關(guān)聯(lián)度。

證明：

步驟1：求標(biāo)準(zhǔn)化序列

步驟2：求增量序列

步驟3：計(jì)算各時(shí)段的關(guān)聯(lián)系數(shù)

X1和X2在tk-1點(diǎn)tk到這時(shí)間段內(nèi)的關(guān)聯(lián)度ξ(tk)為

當(dāng)a>0時(shí)，ξ(tk)=1，當(dāng)a<0時(shí)，ξ(tk)=-1

步驟4：計(jì)算總體的關(guān)聯(lián)度r(X1,X2)

故當(dāng)X2={X2(t1),X2(t2),…,X2(tn)}序列與X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)}存在線性關(guān)系時(shí)，關(guān)聯(lián)度r(X1,X2)=±1。

同理，換用孫玉剛定義的T型關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算會(huì)得出當(dāng)X2序列與X1存在線性關(guān)系時(shí)，關(guān)聯(lián)度r(X1,X2)=±1。

通過下面的幾個(gè)問題，來說明T型關(guān)聯(lián)度的缺陷。

問題一：根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的思想，當(dāng)兩序列形狀相近或相似時(shí)，其關(guān)聯(lián)程序就越大，對(duì)于X2序列與X1存在線性關(guān)系，從這種角度來分析，它們形狀絕對(duì)不是完全相同(相反)。結(jié)合定理1，這說明這樣定義T型關(guān)聯(lián)度過程中都存在一定的問題。歸結(jié)其原因，導(dǎo)致這樣原因在于，采用了消除量綱的方法，最終導(dǎo)致量化后的序列△y1與△y2間的增量|△y1|與|△y2|相等或相反。由于T型關(guān)聯(lián)度研究的對(duì)象是各序列增量之間的相互情況。如果不分具體情況對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱化處理，反而會(huì)弱化或放大某些增量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

考慮到這個(gè)問題，我們必須思考是不是有必要對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱化處理。為了說明其實(shí)不然，我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：

兩原始時(shí)間序列在[a,b]間各點(diǎn)的取值分別為：X1= {0,3,4,6}和X2={1,3,4,6}，按照灰色關(guān)聯(lián)度的思想，這兩個(gè)序列在后面的△t2,△t3這兩部分不僅是平行的，更是完全重合的，其關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ(tk)在△t2,△t3內(nèi)應(yīng)該為ξ(t2)=ξ(t3)=1，按唐五湘提出的T型關(guān)聯(lián)度的思想，對(duì)其做標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)系數(shù)為：這與灰色關(guān)聯(lián)度的思想不相符。由此可以看出不是每個(gè)序列都要對(duì)其做標(biāo)準(zhǔn)化處理。在下面的討論中，主要是對(duì)量綱相同，意義完全一樣的序列進(jìn)行分析，不需要采取標(biāo)準(zhǔn)化處理

問題二：計(jì)算序列X1和X2的關(guān)聯(lián)度r(X1,X2)采用關(guān)聯(lián)度只能正確反映出局部關(guān)聯(lián)系數(shù)間的關(guān)系，即只是對(duì)各區(qū)間段關(guān)聯(lián)系數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求平均，并不能反映出各區(qū)間之間增量的差異。若不同區(qū)間內(nèi)兩序列關(guān)聯(lián)系數(shù)一樣，但這些區(qū)間內(nèi)增幅程度并不完全相同，其關(guān)聯(lián)度按孫玉剛或唐五湘提出的關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法和公式并無本質(zhì)區(qū)別，對(duì)于區(qū)間之間的差異沒有進(jìn)行充分描述，不能體現(xiàn)出整體差異。舉例說明:

已知X1={0,3,4,6},X2={0.9,3,4,6},X3={0,3,4,5.2}

求X1分別與X2，X3的T型關(guān)聯(lián)度。

增量序列為：△X1={3,1,2}△X2={2.1,1,2}△X3={3,1,1.2}

按孫玉剛給出改進(jìn)后的T型關(guān)聯(lián)系數(shù)公式可求得：

若按唐五湘，孫玉剛給出的T型關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式將得出，

但參照?qǐng)D1和圖2：

序列2和序列3在[2,3]這段與序列1完全重合，要比較它們與序列1之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)就是要比較序列2與序列1在[1,2]這段與序列3與序列1在[3,4]這段的近似程度。雖然在[1,2]這段序列2與序列1的關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ12與在[3,4]這段序列3與序列1的關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ13相等，即相對(duì)接近程序相同，但總體來看，序列3與序列1之間的差距只有0.8，但序列2與序列1的差距卻有0.9，這樣序列3比序列2更接近于序列1，其關(guān)聯(lián)度也應(yīng)該更大些。具體分析原因就是，在[1,2]區(qū)間上，序列2和序列1的關(guān)聯(lián)系數(shù)相對(duì)于區(qū)間[3,4]上序列3與序列1的關(guān)聯(lián)系數(shù)一樣，即相對(duì)接近程序一樣，但由于在[1,2]區(qū)間上，原始序列1的增幅程度卻大于在[3,4]區(qū)間上的增幅程度，所以在[1,2]區(qū)間上影響大于在[3,4]區(qū)間上的影響，即在[1,2]區(qū)間上所占的權(quán)重要大于在[3,4]區(qū)間上的權(quán)重。在[1,2]區(qū)間上序列3與序列1重合，但序列2與序列1卻存在差異，在[3,4]區(qū)間上所以這段上序列2與序列1重合，但序列3與序列1卻存在差異，這兩段區(qū)間關(guān)聯(lián)系數(shù)是相等的，但權(quán)重不等，據(jù)此，可得出序列3與序列1的關(guān)聯(lián)度要大于序列2與序列1的關(guān)聯(lián)度。但若采用r(X1,X2)=這種方式來度量其關(guān)聯(lián)度，則將這種區(qū)別完全消除了。

3 量綱和意義相同的兩序列的T型關(guān)聯(lián)度改進(jìn)

在量綱相同和意義一樣的兩時(shí)間序列，按照因素的時(shí)間序列曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的與原始序列的接近程度來計(jì)算關(guān)聯(lián)度。對(duì)于離散時(shí)間序列，所謂兩曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的接近程度，是指兩時(shí)間序列在對(duì)應(yīng)各時(shí)段△tk=tk-tk-1(k=2,3,…, n)間原始變量的增量的大小來判定，無須進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，若在時(shí)段△tk間兩增量相等或接近于相等，則這兩時(shí)間序列在時(shí)段△tk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)就大。兩時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)度定義為：相同時(shí)段△tk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)的加權(quán)平均值，權(quán)數(shù)為△X1(tk)。

對(duì)于量綱和意義相同的兩離散時(shí)間序列X1={X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}，X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}間T型關(guān)聯(lián)系數(shù)可采用下列步驟：

步驟1:求增量序列

△X1={△X1(tk)=X1(tk)-X1(tk-1),k=2,3,…n}

△X2={△X2(tk)=X2(tk)-X2(tk-1),k=2,3,…n}

步驟2:求兩序列間的關(guān)聯(lián)系數(shù)

設(shè)[a,b]上的兩時(shí)間序列分別為△X1={△X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}和△X2={△X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}，稱

為序列X1與X2的在從tk-1到tk時(shí)間段△tk內(nèi)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，

min△X(tk)=min(|△X1(tk)|,|△X2(tk)|),max△X(tk)=max(|△X1(tk)|,|△X2(tk)|)

步驟3：求兩序列X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)},X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}間的關(guān)聯(lián)度,稱為X1與X2改進(jìn)的灰色T型關(guān)聯(lián)度。

r不僅能夠反映正負(fù)關(guān)聯(lián)程度，更能夠確切的表明某一時(shí)間段△tk內(nèi)，增量對(duì)整體相似的貢獻(xiàn)程度。避免了以前所定義的T型關(guān)聯(lián)程度出現(xiàn)的，局部關(guān)聯(lián)系數(shù)不同，但總體關(guān)聯(lián)度可能相同，對(duì)應(yīng)的圖形與事實(shí)相差甚遠(yuǎn)的情況。

4 改進(jìn)的T型關(guān)聯(lián)度應(yīng)用實(shí)例

下面就貴州占里的生育問題分析給出改進(jìn)后T型關(guān)聯(lián)度的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，分析不同階段占里生育狀況、觀念的動(dòng)態(tài)變化情況。調(diào)查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)數(shù)據(jù)見表1。

表1 占里數(shù)據(jù)表

依次記29-59年、60-75年、76-90年出生的戶主所構(gòu)成的序列分別為

X1=(3.736842105,30.26666667,4.857142857);X2= (2.438095238,24.926055,5.473683);X3=(3.3,25.30769231,4.6).

可求得：

△X1={26.5298,-25.4095};△X2={22.4880,-19.4524};△X3= {22.0077,-20.7077}

求得關(guān)聯(lián)系數(shù)：

ζ21(t1)=0.3229,ζ21(t2)=0.2442,ζ23(t1)=0.7995,ζ23(t2)=0.6031計(jì)算關(guān)聯(lián)度為=0.7084

因此，r21與r23的關(guān)系應(yīng)該為r23>r21：

將60-75年出生的家庭（記為第二代）和76-90年出生的家庭（記為第三代）生育情況對(duì)比60-75年出生家庭和29-59年出生的家庭（記為第一代）的生育情況，前者比后者更為接近。從數(shù)據(jù)分析結(jié)果看，雖然第三代和第一代與第二代在平均孩子間年齡差上有一定的差異，但差異不大。其部分原因是，76-90年這一代正是剛結(jié)婚不久的一代，有一定的可變性，有些家庭還沒有第二個(gè)孩子，統(tǒng)計(jì)到的家庭應(yīng)該是結(jié)婚偏早和初育年齡偏小型的數(shù)據(jù)。相比第二代和第三代家庭與配偶的年齡對(duì)比第一代和第二代要相近得多，更重要的是初育年齡十分接近，甚至沒有什么較大的改變。從社會(huì)因素的角度來考慮，外界對(duì)占里的影響越來越大，信息的交流和思想的改變也正在逐漸影響占里，賴以生存的社會(huì)基礎(chǔ)發(fā)生的變革，一些傳統(tǒng)民俗日益淡化，生育習(xí)俗的活動(dòng)陣地縮小，傳統(tǒng)節(jié)日逐步被現(xiàn)代節(jié)日代替，傳統(tǒng)節(jié)育藥物和醫(yī)術(shù)的失傳，再加上科學(xué)的進(jìn)步和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，文化生活日益豐富，村民外出打工，參加祭祀活動(dòng)減少，一般情況下，中青年比老年更容易受新事物影響，占里生育狀況也隨之逐漸有所變化。

[1]劉思峰,黨耀國(guó),方志耕等．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M]．北京:科學(xué)出版社,2008．

[2]唐五湘．T型關(guān)聯(lián)度及其計(jì)算方法[J]．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,1995,14(1)．

[3]查金茂．T型關(guān)聯(lián)度的缺陷[J]．武漢交通科技大學(xué)學(xué)報(bào),1997,21(2)．

[4]張吉峰．基于能量關(guān)聯(lián)度的時(shí)間序列周期分析[J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1998,(9)．

[5]沈明宇,胡寶清．修正T型關(guān)聯(lián)度及其在證券市場(chǎng)中的應(yīng)用[J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2003,(5)．

[6]孫玉剛,黨耀國(guó)．灰色T型關(guān)聯(lián)度的改進(jìn)[J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2008,(4)．

（責(zé)任編輯/亦民）

N941.5

A

1002－6487（2011）05－0160-04

教育部人文社會(huì)科學(xué)青年研究基金(10YJCZH157)；四川省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地民間文化研究中心資助(MJ09-03)；成都信息工程學(xué)院引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金(KYTZ201001)

馮鶴林(1986-)，男，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、灰色系統(tǒng)。

陳勇明(1972-)，男，四川成都人，博士研究生，副教授，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、灰色系統(tǒng)、數(shù)據(jù)挖掘。