符長(zhǎng)虹，吳順祥，王文淵

（1.廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建廈門361005；2.中國(guó)中鐵四局集團(tuán)有限公司，合肥230023）

灰色PERT算法在項(xiàng)目工期中的研究與應(yīng)用

符長(zhǎng)虹1，吳順祥1，王文淵2

（1.廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建廈門361005；2.中國(guó)中鐵四局集團(tuán)有限公司，合肥230023）

為提高PERT網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工序決策的可靠性，減少求解的復(fù)雜性，文章根據(jù)工序時(shí)間不確定的特點(diǎn)，結(jié)合灰色系統(tǒng)理論，提出了工序時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)，并且根據(jù)實(shí)際工序時(shí)間概率分布的特點(diǎn)，提出了工序時(shí)間的正態(tài)分布模型，該方法避免了決策中片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評(píng)價(jià)的局限性，更好地體現(xiàn)了工序“最可能時(shí)間”、“最悲觀時(shí)間”與“最樂觀時(shí)間”三者概率分布的特點(diǎn)。另外，考慮到工程計(jì)劃能否在規(guī)定工期內(nèi)順利完成這一隨機(jī)現(xiàn)象，提出了相應(yīng)的灰色PERT算法。最后，通過實(shí)例分析，說明該灰色PERT算法能夠有效避免片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)的局限性，且計(jì)算出項(xiàng)目工程在規(guī)定工期內(nèi)完成的可能概率，更加符合實(shí)際項(xiàng)目工期的決策，具有較好的可行性和高效性，拓展了這一領(lǐng)域的研究與應(yīng)用。

PERT網(wǎng)絡(luò)；灰色理論；均值白化值；正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)差；關(guān)鍵路線

0 引言

考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中工序完成時(shí)間受許多內(nèi)、外諸因素影響，導(dǎo)致其具體數(shù)值無法確定，只能通過估計(jì)最樂觀時(shí)間a、最可能時(shí)間m與最悲觀時(shí)間b來進(jìn)行關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工序的決策，然而本文結(jié)合灰色系統(tǒng)理論，基于工序完成時(shí)間在區(qū)間[a,b]內(nèi)變化的特點(diǎn)，提出了工序完成時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)。但是根據(jù)經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中三種估計(jì)時(shí)間概率分布的特點(diǎn)，文獻(xiàn)[1]等的工序完成時(shí)間片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)來描述模糊評(píng)價(jià)的方法則會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的失真，因此本文針對(duì)這個(gè)局限性，考慮到三種估計(jì)時(shí)間近似服從正態(tài)分布的特點(diǎn)，提出了工序完成時(shí)間服從正態(tài)分布的分布模型。文獻(xiàn)[2]等的PERT網(wǎng)絡(luò)中忽略了每一條路線在規(guī)定項(xiàng)目工期內(nèi)實(shí)際完成該項(xiàng)目的“可能性”這一隨機(jī)現(xiàn)象，因此本文為更全面、更科學(xué)、更有效地研究PERT網(wǎng)絡(luò)，提出了相應(yīng)的灰色PERT算法，該算法通過求出每項(xiàng)工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值以及標(biāo)準(zhǔn)差，接著求出每條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和以及標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而求出每條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對(duì)應(yīng)的概率系數(shù)以及在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目的概率，最后根據(jù)概率的大小決策關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序，通過實(shí)例分析，說明該灰色PERT算法具有較好的可行性和高效性，減少了信息失真與決策失誤。

1 基本理論

2 灰色PERT網(wǎng)絡(luò)及其關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序的確定

2.1 灰色PERT網(wǎng)絡(luò)及工序時(shí)間概率模型的研究

考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)通過三種估計(jì)時(shí)間，即最樂觀時(shí)間a、最可能時(shí)間m與最悲觀時(shí)間b，來決策關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序，結(jié)合灰色系統(tǒng)理論以及工序完成時(shí)間在最樂觀時(shí)間與最悲觀時(shí)間之間變化，即在[a,b]之間變化，本文介紹工序完成時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示，其中對(duì)應(yīng)的工序時(shí)間灰數(shù)為hi(茚)∈

本文又考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中三種估計(jì)時(shí)間的概率分布情況，根據(jù)實(shí)際情況，工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)不可能片面認(rèn)為服從均勻分布，這會(huì)造成決策的嚴(yán)重失真，因此提出了基于正態(tài)分布的工序完成時(shí)間，如圖2所示[3][4]。

由圖3可知，本文可以確定正態(tài)分布的參數(shù)，其中正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望根據(jù)正態(tài)分布3σ的原則，即p (x∈[ai,bi])=0.997，可得方差

2.2 關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序的確定

在灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中,考慮到項(xiàng)目計(jì)劃能否在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目這一隨機(jī)現(xiàn)象，本文結(jié)合灰色理論，利用各條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對(duì)應(yīng)的概率，來進(jìn)行關(guān)鍵路線以及關(guān)鍵工序的決策，具體的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)算法步驟如下：

步驟1在灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中，找出所有的路線，記為xi(i=1,2,…,n)，以及第xi條線路上的工序，其時(shí)間灰數(shù)分別記為(j=1,2,…,m)，其中hij(茚)表示第xi條線路上第j道工序的時(shí)間灰數(shù)；

步驟2計(jì)算出灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對(duì)應(yīng)的方差σi，并分別計(jì)算出第xi條線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和以及標(biāo)準(zhǔn)差：

其中，σxi表示第xi條線路上項(xiàng)目完成時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差；

步驟3根據(jù)規(guī)定的項(xiàng)目計(jì)劃總工期T，分別計(jì)算出每條路線上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和的概率系數(shù)：

步驟4根據(jù)公式（3）計(jì)算出的概率系數(shù)分別計(jì)算每條線路在所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和下完成該項(xiàng)目的概率：

步驟5對(duì)公式（4）求得的概率進(jìn)行排序，其中概率最小所對(duì)應(yīng)的路線則為關(guān)鍵路線，其上的工序則為關(guān)鍵工序。

3 實(shí)例分析

某實(shí)際項(xiàng)目中共有9道工序，每項(xiàng)工序的持續(xù)時(shí)間如表1所示[1][2]。

表1 各工序的持續(xù)時(shí)間

表1所對(duì)應(yīng)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)如圖3所示。

步驟1該灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中共有5條線路，分別如下：

第x1條：1→3→5→6，共3項(xiàng)工序：h3(茚)、h5(茚)和h6(茚)，分別記為h11(茚)、h12(茚)和h13(茚)；

第x2條：1→3→4→5→6，共4項(xiàng)工序：h3(茚)、h4(茚)、h7(茚)和h6(茚)，分別記為h21(茚)、h22(茚)、h23(茚)和h24(茚)；

第x3條：1→3→4→6，共3項(xiàng)工序：h3(茚)、h4(茚)和h8(茚)，分別記為h31(茚)、h32(茚)和h33(茚)；

第x4條：1→2→3→4→6，共4項(xiàng)工序：h1(茚)、h2(茚)、h4(茚)和h8(茚)，分別記為h41(茚)、h42(茚)、h43(茚)和h44(茚)；

第x5條：1→2→4→6，共3項(xiàng)工序：h1(茚)、h9(茚)和h8(茚)，分別記為h51(茚)、h52(茚)和h53(茚)。

步驟2計(jì)算各個(gè)工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對(duì)應(yīng)服從正態(tài)分布的方差σi：工序1→2：其工序持續(xù)時(shí)間區(qū)間灰數(shù)為h1(茚)∈[1,3]，

同理，其余工序持續(xù)時(shí)間，期望以及方差如表2所示。

表2 其余各個(gè)工序持續(xù)時(shí)間灰數(shù)的均值白化值以及方差

根據(jù)公式（1）計(jì)算出各條線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi()之和（見表3）。

表3 各線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值之和

根據(jù)公式（2）計(jì)算每條線路上項(xiàng)目完成時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差如下：

同理可以求得其余線路的標(biāo)準(zhǔn)離差：

σx2=0.782,σx3=0.866,σx4=0.928,σx5=0.782

步驟3根據(jù)公式（3）計(jì)算在規(guī)定項(xiàng)目計(jì)劃總工期為T= 20的情況下各條線路所對(duì)應(yīng)的概率系數(shù)：

同理可求得其余路線上所對(duì)應(yīng)的概率系數(shù)（見表4）。

表4 其余路線所對(duì)應(yīng)的概率系數(shù)

表5 其余線路所對(duì)應(yīng)的概率

步驟4根據(jù)公式（4）求得各條路線上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值hi()白化值之和的概率：

同理可求得其余路線上所對(duì)應(yīng)的概率：

步驟5根據(jù)步驟4求得的各路線對(duì)應(yīng)概率進(jìn)行排序，其中概率最小對(duì)應(yīng)的路線即為所求關(guān)鍵路線：故有關(guān)鍵路線為x3：1→3→4→6，如圖3中粗線所示。

4 結(jié)論

本文針對(duì)決策中采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評(píng)價(jià)值的局限性，考慮到正態(tài)分布模型能夠更準(zhǔn)確、更有效表示工序完成時(shí)間的概率分布特點(diǎn)，以及項(xiàng)目計(jì)劃是否能在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目的可能性這一隨機(jī)現(xiàn)象，提出了應(yīng)用正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)來決策灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工作的算法。通過實(shí)例證明，該方法具有較好的可行性和高效性，為這一領(lǐng)域提供了關(guān)鍵路線以及關(guān)鍵工序決策的新方法，可供從事PERT網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)人員與管理人員參考。

[1]崔邯龍，李萬慶，孟文清.張艷杰，灰色網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的關(guān)鍵線路確定方法研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，38(8).

[2]楊應(yīng)玖，楊毅，楊念.論灰色網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)[J].武漢水利電力大學(xué)學(xué)報(bào)，1998,31(3).

[3]謝乃明，劉思峰.考慮概率分布的灰數(shù)排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29(4).

[4]劉琳，陳云翔，葛志浩，基于正態(tài)分布區(qū)間數(shù)的概率測(cè)度及多屬性決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008,30(4).

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[10]劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

（責(zé)任編輯/易永生）

F224

A

1002－6487（2011）05－0152-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60704042）；國(guó)家“十一五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2007BAK34B04）

符長(zhǎng)虹(1986-)，男，湖南岳陽人，碩士，研究方向：不完備系統(tǒng)與數(shù)據(jù)挖掘。

吳順祥（1966-），男，湖南邵陽人，博士，教授，研究方向：不完備系統(tǒng)。

王文淵（1985-），女，河南雞西人，助理工程師，研究方向：工程設(shè)計(jì)。