杜勇宏，王健，王汝芳

（1.南開大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，天津300071；2.北京物資學(xué)院經(jīng)濟學(xué)院，北京101149）

動態(tài)因子模型與ARMA模型的比較

杜勇宏1，王健1，王汝芳2

（1.南開大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，天津300071；2.北京物資學(xué)院經(jīng)濟學(xué)院，北京101149）

在時間序列模型中，隨著變量數(shù)目的增加，所要估計的參數(shù)的數(shù)量也隨之加大，結(jié)果在應(yīng)用中模型中通常不得不選取盡量少的變量。動態(tài)因子模型獨特的優(yōu)勢在于，它不必考慮自由度損失問題，也不必對經(jīng)濟結(jié)構(gòu)施加約束。文章根據(jù)中國宏觀經(jīng)濟變量數(shù)據(jù)庫中的41個變量，建立了動態(tài)因子模型預(yù)測GDP，并與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果進行了對比。結(jié)果顯示，動態(tài)因子模型的預(yù)測效果優(yōu)于ARMA模型。

動態(tài)因子；ARMA模型；預(yù)測

0 引言

在時間序列模型中，隨著變量數(shù)目的增加所要估計的參數(shù)的數(shù)量也迅速加大，使得應(yīng)用中不得不選用盡量少的變量建立模型。在實際應(yīng)用中，迫切需要對大量的經(jīng)濟和金融時間序列組成的數(shù)據(jù)集進行分析，動態(tài)因子模型領(lǐng)域的研究應(yīng)運而生。Sargent和Sims(1977)對Burns和Mitchell(1946)提出的靜態(tài)因子模型進行了改進，提出動態(tài)因子模型。Geweke（1977）采用動態(tài)因素模型提取合成指數(shù)研究了經(jīng)濟周期。近年來，多維動態(tài)因子模型得到了廣泛的發(fā)展與應(yīng)用。

在應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)中，如何對GDP和通貨膨脹進行更好的預(yù)測始終是研究的焦點。最近的文獻中，Stock和Watson (1999)采用單變量模型預(yù)測了美國的GDP，Stock和Watson(2001)采用因子模型預(yù)測了美國的GDP。Camba-Mendez,Kapetanios,Smith和Weale(2001)利用多個先行指標(biāo)組成的系統(tǒng)預(yù)測總產(chǎn)出。

本文主要關(guān)注動態(tài)因子模型和單變量ARIMA模型哪個更適用于預(yù)測GDP？對預(yù)測精度的改進程度有多大？本文擬采用動態(tài)因子模型，借助STATA軟件，對中國GDP進行預(yù)測，建立分析框架。

1 動態(tài)因子模型及其估計和預(yù)測

目前，動態(tài)因子模型廣泛應(yīng)用于預(yù)測美國、英國和歐洲的宏觀經(jīng)濟變量(Stock and Watson(2001),Artis,Banerjee和Marcellino(2005)，Marcellino,Stock和Watson(2002))。我們不是根據(jù)某個變量或者某幾個變量提取信息，而是從大量數(shù)據(jù)序列中提取最重要的因子并利用這些因子進行預(yù)測。下面，我們首先簡介動態(tài)因子模型。令

yt=Pft+Qxt+ut

ft=Rwt+A1ft-1+A2ft-2+…+Apft-p+vt

ut=Cut+C1ut-1+C2ut-2+…+Cput-p+et

其中，yt是內(nèi)生變量組成的k維向量，ft是不可觀測的因子組成的n維向量,xt是外生變量組成的矩陣，擾動vt、et獨立同分布。在動態(tài)因子模型中，內(nèi)生變量組成的向量受到一些不可觀測的因子以及外生變量的影響。不可觀測的因子及擾動具有向量自回歸的結(jié)構(gòu)。

STATA 11.0中，采用極大似然估計（MLE）對模型進行參數(shù)估計。模型被寫成狀態(tài)空間的形式的，使用卡爾曼濾波的方法計算似然函數(shù)。動態(tài)因子模型非常寬泛，需要對參數(shù)施加必要的限制才能識別。STATA 11.0中命令dfactor默認參數(shù)是可識別的，因子的識別與符號無關(guān)，即不可觀測的因子的系數(shù)估計改變符號并不改變預(yù)測和似然函數(shù)的值。

2 模型的估計和預(yù)測

下面，采用動態(tài)因子模型預(yù)測中國的GDP。本文選取41個宏觀經(jīng)濟變量構(gòu)成研究對象，數(shù)據(jù)包括1993年第一季度到2009年第三季度共67個季度。所有數(shù)據(jù)來自歷年《中國統(tǒng)計年鑒》、CCER金融經(jīng)濟數(shù)據(jù)庫。對變量序列首先進行了預(yù)處理，包括：（1）采用X-12方法對序列進行季節(jié)調(diào)整性；（2）對調(diào)整后的變量的非平穩(wěn)性進行單位根檢驗，檢驗中充分考慮到中國在經(jīng)濟轉(zhuǎn)型階段所表現(xiàn)出的非線性特征。檢驗結(jié)果①表明，序列是存在多個結(jié)構(gòu)突變點的趨勢平穩(wěn)過程；（3）對季節(jié)調(diào)整后序列采用廣義普通最小二乘GLS方法退除趨勢。

因子模型可以含有較多的變量，但是并不是變量越多越好[Boivin和Ng（2003），Watson（2000）]。因此，需要對變量進行篩選，本文中對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)計算各個變量與GDP的交叉相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表1。其中，先行期數(shù)最長為5期，最后一列為算術(shù)平均。按照與GDP的相關(guān)程度強弱，表中第一列是對變量進行了排序的結(jié)果。

表1 各個變量與GDP的交叉相關(guān)系數(shù)

采用軟件STATA 11.0估計動態(tài)因子模型。LR檢驗顯示，模型僅需選擇一個共同因子，估計結(jié)果見附錄。下面，對因子模型與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果進行對比分析，結(jié)果見表2和表3。其中預(yù)測精度用RMSE和MAE予以度量。在ARMA模型中，AR和MA項數(shù)也基于RMSE最小化原則予以確定。由表2可知，因子模型樣本內(nèi)的預(yù)測效果明顯好于ARMA模型。此時，因子模型的RMSE比ARMA模型的RMSE低46%；因子模型的MAE比ARMA模型的MAE低53%。由表3可知，樣本外因子模型的預(yù)測效果也明顯好于ARMA模型。

圖1是中國GDP序列基于因子模型與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果，顯然，因子模型比ARMA模型的預(yù)測結(jié)果更為理想。

表2 因子模型與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果(樣本內(nèi))

表3 因子模型與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果(樣本外)

3 結(jié)論

動態(tài)因子模型充分利用宏觀經(jīng)濟變量之間的關(guān)聯(lián)和共性特征，合成少量的指標(biāo)來描述影響這些變量波動的共同因素，并對因子的動態(tài)性予以刻畫。與單變量ARMA模型相比，多維動態(tài)因子模型有其獨特的優(yōu)勢。首先，因子模型可以處理大量的變量，而不必考慮回歸分析中需要面臨的自由度損失問題。從而使得研究人員和決策者在研究中能夠采用比以往更詳盡的數(shù)據(jù)，進行更精確的預(yù)報和宏觀經(jīng)濟分析。其次，動態(tài)因子模型可以將個性因素（包括測量誤差和局部沖擊）分離出來。這將向決策者提供更加可靠的信息，并且防止他們受到個性因素的影響。另外，動態(tài)因子模型不必像結(jié)構(gòu)模型那樣對變量間的結(jié)構(gòu)關(guān)系進行嚴(yán)格的假設(shè)，條件非常寬泛。

本文根據(jù)中國宏觀經(jīng)濟變量數(shù)據(jù)庫中的41個變量，建立動態(tài)因子模型預(yù)測GDP，并與ARMA模型的預(yù)測結(jié)果進行對比。結(jié)果顯示，不管是在樣本內(nèi)的擬合還是樣本外的動態(tài)預(yù)測，動態(tài)因子模型的預(yù)測效果都明顯優(yōu)于ARMA模型。

[1]Artis,M.,Banerjee,A.,Marcellino,M.Factor Forecasts for the UK[J].Journal of Forecasting,2005,（24）.

[2]Burns A,Mitchell W.Measuring Business Cycles[M].New York: National Bureau of Economic Research,1946.

[3]Geweke,J.The Dynamic Factor Analysis of Economic Time Series Models.In Latent Variables in Socioeconomic Models[M].Amsterdam:North-Holland,1977.

[4]Marcellino,M.,Stock,J.H.,M.W.Watson.Macroeconomic Forecasting in the Euro Area:Country Specific Versus Euro Wide Information[J].European Economic Review,2003，(47).

[5]Sargent T.J.,C.A.Sims.Business Cycle Modeling without Pretending to Have too Much a Priori Economic Theory.In New Methods in Business Cycle Research:Proceedings from a Conference, ed.C.A[M].Sims,Minneapolis:Federal Reserve Bank of Minneapolis, 1977.

[6]Stock J.H.,M.W.Watson.New Indexes of Coincident and Leading Economic Indicators[M].Cambridge,MA:MITPress,1989.

[7]Stock,J.H.,M.W.Watson.A Comparison of Linear and Non-linear Univariate Models for Forecasting Macroeconomic Time Series [M].Oxford:Oxford University Press,1999.

[8]Stock,J.H.,M.W.Watson.Forecasting Output and Inflation:The Role of Asset Prices[C].NBER Working Paper,2001.

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（責(zé)任編輯/浩天）

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1002-6487（2011）05-0031-02

教育部重大招標(biāo)課題（08JD0015）；北京市教委重點課題（09BaJG245；SZ200910037013）