李 想, 張衛(wèi)國, 趙 巖

(1.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093;2.南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,南京 210044)

非線性電報(bào)方程行波解的定性分析與求解

李 想1, 張衛(wèi)國1, 趙 巖2

(1.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093;2.南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,南京 210044)

利用平面動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法研究了非線性電報(bào)方程的有界行波解.分析結(jié)果表明,非線性電報(bào)方程有且僅有兩個(gè)有界行波解,并且當(dāng)耗散作用較大時(shí)非線性電報(bào)方程的有界行波解呈扭狀孤波解形式,而當(dāng)耗散作用較小時(shí)呈衰減振蕩解形式.在此基礎(chǔ)上,利用假設(shè)待定法求出了對應(yīng)耗散作用較大時(shí)方程的一種扭狀孤波解的精確解,以及對應(yīng)耗散作用較小時(shí)方程的衰減振蕩解近似解.進(jìn)一步運(yùn)用齊次化原理,建立反映衰減振蕩解精確解和近似解關(guān)系的積分方程,得到了衰減振蕩近似解的誤差估計(jì).

非線性電報(bào)方程;平面動(dòng)力系統(tǒng);衰減振蕩解;近似解;誤差估計(jì)

1 問題的提出

非線性電報(bào)方程[1]

是在鋪設(shè)大西洋電纜時(shí)發(fā)現(xiàn)的,它在電報(bào)信號傳輸中有很大的應(yīng)用.不僅如此,方程(1)還可以描述血液在動(dòng)脈中的脈動(dòng)所產(chǎn)生的壓力等.

近來有許多學(xué)者對方程(1)進(jìn)行了研究.當(dāng)r=0時(shí),方程可化為

此時(shí)系統(tǒng)為保守系統(tǒng),方程(2)同時(shí)也包含物理學(xué)上很多著名的方程,如Sin-Gordon方程和Sinh-Gordon方程的近似方程、Φ4方程、Klein-Gordan方程、Laudau-Ginzburg-Ginzburg-Higgs方程和Duffing方程.文獻(xiàn)[2-6]中用待定假設(shè)方法和齊次平衡法求出了其精確鐘狀和扭狀孤波解.

由于在實(shí)際應(yīng)用中耗散是不可避免的,因而研究r≠0的情況十分必要.從已有文獻(xiàn)可知,方程(1)存在扭狀孤波解,如文獻(xiàn)[3-6]利用待定系數(shù)法和齊次平衡法等已求出了其扭狀孤波解;最近,文獻(xiàn)[7]得到了Fourier級數(shù)表示的整體解和長時(shí)間整體漸近解,并指出其按指數(shù)衰減;文獻(xiàn)[8]利用不動(dòng)點(diǎn)原理研究了耦合的非線性電報(bào)方程組,證明了其至少有3個(gè)非負(fù)周期解.

然而方程(1)究竟存在多少有界行波解,是否有解仍未求出,對于那些未求出的、且有重要應(yīng)用的解該如何求出,筆者將首先利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論對非線性電報(bào)方程(1)的行波解對應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)作全面的定性分析,畫出全局相圖,進(jìn)而研究方程(1)有界行波解的個(gè)數(shù)和所有可能存在的解形式(包括鐘狀孤波解、扭狀孤波解和衰減振蕩解);其次分析耗散作用的大小對方程(1)有界行波解性態(tài)的影響,并給出兩個(gè)反應(yīng)耗散作用大小的臨界值,當(dāng)|r|大于或等于某臨界值時(shí),方程(1)的行波解表現(xiàn)為扭狀孤波解,當(dāng)|r|小于某臨界值時(shí),方程(1)的行波解表現(xiàn)為衰減振蕩解.在此基礎(chǔ)上,給出方程(1)有界行波解的表達(dá)式,包括一種扭狀孤波解的精確表達(dá)式,以及衰減振蕩解近似解的表達(dá)式;最后給出衰減振蕩解近似解的誤差估計(jì).這項(xiàng)工作的最大難點(diǎn)是只知近似解,而未知其對應(yīng)的精確解.為克服這一困難可運(yùn)用齊次化原理,建立反映衰減振蕩解精確解和近似解關(guān)系的積分方程,得到衰減振蕩解的誤差估計(jì).

2 定性分析

設(shè)方程(1)有行波解u(x,t)=u(ξ)=u(xct),則其滿足

令x=u(ξ)和y=u′(ξ),將方程(1)化為如下等價(jià)的平面動(dòng)力系統(tǒng)

由于系統(tǒng)(4)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是由f(x)?x3+px=x(x2+p)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)決定的,本文只研究方程(1)的有界行波解,故以下始終假定p＜0.這樣,系統(tǒng)(4)有3個(gè)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)

為方便討論起見,記Di=-f′(x i),i=1,2,3.

利用平面動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法[9,10],從有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)、無限遠(yuǎn)奇點(diǎn)和極限環(huán)的存在性3個(gè)方面對系統(tǒng)進(jìn)行定性分析.不失一般性,討論時(shí)假設(shè)＜0,于是得到命題1～3.

命題1系統(tǒng)(4)有3個(gè)不同的有限遠(yuǎn)奇點(diǎn),其類型如下:

a.當(dāng)＞0時(shí),由于det(J(x2,0))=＜0,det(J(x i,0))=-2＞0,i=1,3,且r-＜0,故P2為鞍點(diǎn),P1和P3在D1=D3＞0時(shí)都為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),而在D1=D3＜0時(shí)都為不穩(wěn)定焦點(diǎn).

b.當(dāng)＜0時(shí),由于det(J(x i,0))=-2＜0,i=1,3,det(J(x2,0))=p b-＞0且＜0,故P1和P3為鞍點(diǎn),P2在D2＞0時(shí)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),在D2＜0時(shí)為不穩(wěn)定焦點(diǎn).

命題2對系統(tǒng)(4)作Poincaré變換后可得,系,顯然,x i(i=1,2,3)是f(x)=0的實(shí)根,且在x軸上表現(xiàn)為x1≤x2≤x3,其中,x1,x3關(guān)于原點(diǎn)對稱.

系統(tǒng)在P i(i=1,2,3)處的雅可比矩陣記為統(tǒng)(4)僅在y軸上存在一對無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)A i(i=1,2),其中,A1在y軸的正方向上,A2在y軸的負(fù)方向上.當(dāng)＞0時(shí),A i(i=1,2)周圍各存在一個(gè)雙曲型區(qū)域;當(dāng)b-＜0時(shí),A i(i=1,2)周圍各存在一個(gè)橢圓型區(qū)域.此外,Poincaré圓盤的圓周為軌線.

結(jié)合前面3個(gè)命題,同時(shí)為以后說明方便,分別給出=0和＜0時(shí),系統(tǒng)(4)在不同條件下的全局相圖,如圖1和圖2所示.

圖1 =0時(shí)的全局相圖Fig.1 Global phase portrait in case of=0

圖2 ＜0時(shí)的全局相圖Fig.2 Global phase portrait in case of＜0

由圖1和圖2可知,系統(tǒng)(4)有且僅有兩條異宿軌L(P i,P2)或L(P2,P i),i=1,3,因系統(tǒng)(4)的有界軌線對應(yīng)于方程(1)的有界行波解,故可得定理1.

定理1方程(1)有且僅有兩個(gè)有界行波解.其中,圖1(a)中同宿軌L(P2,P2)分別對應(yīng)兩個(gè)鐘狀孤波解;圖1(b)中異宿軌L(P1,P3)和L(P3,P1)、圖2(a)中異宿軌L(Pi,P2)(i=1,3)和圖2(c)中異宿軌L(P2,P i)(i=1,3)分別對應(yīng)兩個(gè)扭狀孤波解;圖2(b)中異宿軌L(Pi,P2)(i=1,3)和圖2(d)中異宿軌L(P2,P i)(i=1,3)分別對應(yīng)兩個(gè)振蕩行波解.

3 有界行波解的性態(tài)與耗散系數(shù)r之間的關(guān)系

由前面的定性分析知,P2是鞍點(diǎn),Pi(i=1,3)是不穩(wěn)定奇點(diǎn),且系統(tǒng)(4)在(x,y)平面上存在軌線L(Pi,P2)(i=1,3)(見圖2(a),圖2(b)).因當(dāng)ξ→-∞時(shí),L(Pi,P2)(i=1,3)分別趨于Pi(i=1,3),當(dāng)ξ→+∞時(shí),L(P i,P2)(i=1,3)均趨于P2,又x=u(ξ)和y=u′(ξ),故方程(3)不存在滿足u(-∞)=u(+∞)的有界解,只可能存在滿足以下兩種情況的有界解:

情況1u(-∞)=x1,u(+∞)=0;

情況2u(-∞)=x3,u(+∞)=0.

即方程(5)只可能存在滿足下列情況的有界解:

情況3V(-∞)=0,V(+∞)=w;

情況4V(-∞)=1,V(+∞)=w.

a.當(dāng)＜0,＜r1,方程(5)存在單調(diào)上升的有界解V(ξ)滿足情況3.

b.當(dāng)＜0,r1＜＜0,方程(5)存在振蕩解V(ξ)滿足情況3.

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化到方程(1)中,定理立即得證.

證明證明過程類似定理2.

以方程(1)對應(yīng)圖2(d)焦-鞍軌線L(P2,Pi),i=1,3的振蕩行波解為例進(jìn)行討論,對于圖2(b)中的振蕩行波解的衰減性可類似得到.

a.方程(1)對應(yīng)圖2(d)中軌線L(P2,P1)的振蕩行波解u(ξ)存在最小值點(diǎn).該解在的右側(cè)具有單增性,而在其左側(cè)具有衰減性,即在ξ軸上存在無窮可數(shù)個(gè)極大值點(diǎn)(i=1,2…,+∞)和極小值點(diǎn)(i=1,2,…,+∞),使得

b.方程(1)對應(yīng)圖2(d)中軌線L(P2,P1)的振蕩行波解u(ξ)存在最大值點(diǎn).該解在的右側(cè)具有單減性,而在其左側(cè)具有衰減性,即在ξ軸上存在無窮可數(shù)個(gè)極大值點(diǎn)(i=1,2,…,+∞)和極小值點(diǎn)(i=1,2,…,+∞),使得

b.證明過程類似a.

綜上所述,方程(1)有界行波解的性態(tài)由耗散作用的大小決定.當(dāng)耗散作用較大,即|r|大于某臨界值時(shí),方程(1)的有界行波解表現(xiàn)為扭狀孤波解;當(dāng)耗散作用較小,即|r|小于某臨界值時(shí),方程(1)的有界行波解表現(xiàn)為衰減振蕩解.

4 有界行波解

4.1 鐘狀和扭狀孤波解

利用文獻(xiàn)[12]中的方法,分別將

代入到方程(2)中,進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,可得定理5～7.

容易驗(yàn)證,定理5中所給兩個(gè)解分別對應(yīng)圖1(a)中的同宿軌L(P2,P2);定理6中所給兩個(gè)解對應(yīng)圖1(b)中的同宿軌L(P1,P3)和L(P3,P1);定理7中所給兩個(gè)解式(13)和式(14)分別對應(yīng)圖2(a)中的同宿軌L(P1,P2)和L(P3,P2).

4.2 衰減振蕩解的近似解

近似表示方程(1)對應(yīng)焦-鞍軌線L(P2,P3)的衰減振蕩解的振蕩部分.

將式(11)代入方程(1),略去eα(ξ-ξ0)的高階項(xiàng)后,可得

當(dāng)ξ→-∞時(shí),由于式(11)趨于x2=0,故C=0.進(jìn)一步,可得

因無論B取正值還是負(fù)值,A2sin(Bξ)的值均相同,故以后始終假設(shè)B＞0.立即有如下定理:

其中,u*(ξ),B,A2分別由式(7)、式(14)、式(13)給出.

其中,u*(ξ),B,A2同上.

顯然,β1,c1和c2分別與定理8中的B,A1和A2相等

因衰減振蕩解是有界解,故存在M＞0使得|u(ξ)|＜M.進(jìn)一步,由式(27),得

式(21)是方程(1)衰減振蕩解的振幅估計(jì).由式(21),易見隨著ξ＜0的不斷減小,u(ξ)將不斷接近0.

最后,由式(20)和式(21),得

式(30)表明,方程(1)對應(yīng)圖2(d)中焦-鞍軌線L(P2,P3)的衰減振蕩解的近似解式(15)與真解間的誤差不超過

[1] FARLOW SJ.Partial Differential Equations for Scientists and Engineers[M].New York:Wiley Interscience,1982.

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Qualitative analysis and traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation

LIXiang1, ZHANGWei-guo1, ZHAOYan2
(1.College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.Mathematics Department,Najing University ofⅠnformation Science and Technology,Nanjing 210044,China)

Bounded traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation were discussed by use of the theory and method of planar dynamical systems.The results indicate that the nonlinear telegraph equation has only two bounded traveling wave solutions.When the dissipation effect is strong,the bounded traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation appear as kink solitary wave solutions;and when it is weak,they appear as damped oscillatory solutions.Based on the above discussion,a kink solitary wave solution corresponding to the strong dissipation effect,and approximate damped oscillatory solutions corresponding to the weak dissipation effect were obtained by using undetermined coefficients method.Furthermore,base on homogenization principle,the error estimates of approximate damped oscillatory solutions were given by establishing the integral equations reflecting the relations between exact solutions and approximate solutions.

nonlinear telegraph equation;planar dynamical systems;damped oscillatory solutions;approximate solutions;error estimate

O 175.2

A

1007-6735(2011)04-0372-07

2010-04-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071164);上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(S30501);上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10ZR1420800)

李 想(1986-),女,碩士研究生.研究方向:非線性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:lixiang278361999@sina.com張衛(wèi)國(聯(lián)系人),男,教授.研究方向:非線性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:zwgzwm@yahoo.com.cn