何文平 吳 瓊 成海英 張 文

1)(國家氣候中心，北京 100081)

2)(國家衛(wèi)星氣象中心，北京 10086)

3)(鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，鹽城 224002)

4)(南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院，南京 210003)

不同濾波方法在去趨勢波動(dòng)分析中去噪的應(yīng)用比較*

何文平吳 瓊2)成海英3)張 文4)

1)(國家氣候中心，北京 100081)

2)(國家衛(wèi)星氣象中心，北京 10086)

3)(鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，鹽城 224002)

4)(南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院，南京 210003)

(2010年5月4日收到;2010年5月13日收到修改稿)

研究了連續(xù)噪聲和尖峰噪聲對(duì)去趨勢波動(dòng)分析的影響，發(fā)現(xiàn)噪聲的存在使得雙對(duì)數(shù)曲線在尺度較小時(shí)發(fā)生了“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象.針對(duì)這一問題，文中采用三種不同濾波方法對(duì)理想時(shí)間序列進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，多級(jí)Vondrak濾波得到的高頻序列與真實(shí)噪聲序列無論是在強(qiáng)度還是在演變趨勢上都展現(xiàn)出驚人的一致性，低頻濾波序列的去趨勢波動(dòng)分析結(jié)果與真實(shí)信號(hào)十分接近，多級(jí)Vondrak濾波基本上能夠消除由于噪聲所引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，而且這一研究結(jié)果對(duì)于濾波周期閾值的依賴性并不太大.多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波雖然能夠在一定程度上減輕噪聲對(duì)于去趨勢波動(dòng)的影響，但不能從根本上消除由于噪聲所引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象.快速傅里葉濾波在選擇合適的濾波周期閾值時(shí)，能夠基本消除噪聲對(duì)去趨勢波動(dòng)分析的影響，但是由于其濾波結(jié)果對(duì)于濾波周期閾值的依賴較大，在實(shí)際應(yīng)用中濾波周期閾值的選取比較困難.因此，多級(jí)Vondrak濾波是消除噪聲對(duì)去趨勢波動(dòng)分析結(jié)果影響的一種有效的途徑.

多級(jí)Vondrak濾波，去趨勢波動(dòng)分析，多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波，快速傅里葉濾波

PACS:92.60.Wc

1.引 言

氣象觀測中不可避免地存在觀測誤差，通常所獲得的氣象資料僅僅是描述實(shí)際大氣的一個(gè)可能的近似值，而實(shí)際大氣的真正狀態(tài)永遠(yuǎn)不可能被精確地記錄下來，由此產(chǎn)生的誤差可能會(huì)對(duì)觀測資料的分析產(chǎn)生一些不良影響，甚至有可能導(dǎo)致分析結(jié)果大相徑庭［1—3］.文中主要考慮了兩種常見的觀測誤差:一種是連續(xù)性高斯白噪聲，這種誤差只要有觀測或測量存在就無法避免;另外一種為尖峰噪聲.產(chǎn)生尖峰噪聲的原因有多種，其可在通信系統(tǒng)的電氣開關(guān)和繼電器改變狀態(tài)時(shí)產(chǎn)生，又如當(dāng)氣象電子通信設(shè)備由于線路自身產(chǎn)生了隨機(jī)信號(hào)或電磁干擾時(shí)，觀測設(shè)備輸出信號(hào)可能出現(xiàn)誤碼、雷達(dá)信號(hào)失真等現(xiàn)象［4］.近年來，去趨勢波動(dòng)分析方法［5—7］(detrended fluctuation analysis，DFA)作為一種標(biāo)度分析工具，能夠很好地處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，通過DFA方法獲得的標(biāo)度指數(shù)較傳統(tǒng)的方法更為可靠.因此，該方法已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用［8—17］.但在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果具有較大的影響［3，18］，因此，研究噪聲對(duì)于 DFA分析結(jié)果的影響以及如何從含噪時(shí)間序列中準(zhǔn)確地揭示其內(nèi)在的標(biāo)度規(guī)律非常重要.

鑒于此，本文研究了連續(xù)性高斯白噪聲和尖峰噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)噪聲的存在使得雙對(duì)數(shù)曲線發(fā)生了“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，而且噪聲越強(qiáng)，發(fā)生轉(zhuǎn)折現(xiàn)象的尺度越大.對(duì)于樣本量較大的時(shí)間序列而言，噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果的影響很容易得到解決，例如可以在DFA分析過程中對(duì)雙對(duì)數(shù)曲線進(jìn)行擬合時(shí)，不考慮受噪聲影響的小尺度，即增大擬合的窗口尺度.但對(duì)于樣本量較小的時(shí)間序列而言，這一方法顯然不具備實(shí)用性，由于樣本量本身就很短，在擬合雙對(duì)數(shù)曲線時(shí)的數(shù)據(jù)很少，不可能完全忽略噪聲所影響的窗口尺度.因此，必須選擇一種合適的方法減輕或消除噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果的影響，以便能夠保證所獲取的標(biāo)度指數(shù)的可靠性.

考慮到相對(duì)于真實(shí)信號(hào)而言，噪聲通常屬于一個(gè)快變過程，本文將多級(jí)Vondrak濾波、多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波、快速傅里葉濾波等［19—21］三種低通濾波器應(yīng)用于DFA待分析時(shí)間序列的預(yù)處理中，濾除高頻噪聲，保留低頻信號(hào).理想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過多級(jí)Vondrak濾波處理后的低頻濾波序列能夠基本消除在DFA分析過程中由于噪聲所引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，能夠很好地對(duì)含噪序列進(jìn)行降噪，相對(duì)于快速傅里葉濾波和多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波，無論是在濾波后低頻序列的DFA分析結(jié)果，還是在濾波周期閾值的選取上，多級(jí) Vondrak濾波都具有明顯的優(yōu)勢.在實(shí)際應(yīng)用中可以將多級(jí)Vondrak濾波與DFA方法結(jié)合使用，有助于更為準(zhǔn)確地從含噪時(shí)間序列中挖掘信號(hào)中潛在的標(biāo)度性質(zhì).

2.方 法

2.1.多級(jí)Vondrak濾波

Vondrak濾波［19，20］的實(shí)質(zhì)是一個(gè)無相位畸變的低通數(shù)字濾波器，鄭大偉和董大南［22］將Vondrak濾波做多級(jí)聯(lián)組合，提出采用形式為

的多級(jí)Vondrak濾波器，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的窄帶濾波器. (1)式中C為實(shí)常數(shù)，N，M為正整數(shù)，I為恒等濾波器，V為Vondrak濾波器.黃坤儀和周雄［23］從理論上證實(shí)了Vondrak濾波器的頻率響應(yīng)為

ε為平滑因子，f為諧波頻率.

該方法通過使用濾波頻率帶狹窄的多級(jí)濾波器來實(shí)現(xiàn)高頻和低頻的分離，不同于傳統(tǒng)的濾波方法，多級(jí)Vondrak濾波器的一個(gè)顯著特點(diǎn)在于通過其濾波后的時(shí)間序列長度與原始序列完全相同，這一優(yōu)點(diǎn)使得其非常適合于實(shí)際資料的分析.Wang等［24］和Shi等［25，26］先后用該方法對(duì)海平面溫度30年以上慢變過程的平均值進(jìn)行了分離，得到了較好的結(jié)果; Zhang和Wan［27］利用該方法將青藏高原古里雅冰芯冰川累積量分為10年以上和10年以下兩個(gè)尺度，發(fā)現(xiàn)近百年來，20世紀(jì)60年代初以及70年代末80年代初的兩次氣候突變是高頻和低頻共同作用的結(jié)果.

本文中使用的另外兩種濾波方法——快速傅里葉濾波和多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波的具體算法可以參考文獻(xiàn)［21］.

2.2.去趨勢波動(dòng)分析法［5—7］

對(duì)于時(shí)間序列{xi，i=1，N}，首先計(jì)算序列的累積量yn，

然后將累積量序列{yi，i=1，N}分成不重合的等長度為s的子序列.對(duì)于p階DFA分析過程(簡記為DFAp)，在每一段長度為s的累積量子序列中，對(duì)其局部趨勢采用p階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，去掉局部擬合趨勢后可得到波動(dòng)序列{ys(i)，i=1，N}.最后，平均所有各段波動(dòng)函數(shù)可得到累積量序列的均方波動(dòng)函數(shù)

〈·〉表示對(duì)所有的窗口取平均.若Fp(s)與窗口長度s存在標(biāo)度關(guān)系，則有

其中γ為標(biāo)度指數(shù)，可通過線性擬合波動(dòng)函數(shù) Fp(s)和窗口長度s的雙對(duì)數(shù)曲線得到.

3.數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1.噪聲對(duì)DFA分析的影響

本文研究了不同強(qiáng)度的連續(xù)性噪聲對(duì)DFA分析的影響，理想序列由Lorenz方程［28—31］的x分量產(chǎn)生，序列長度為1000個(gè)單位積分時(shí)間(圖1(a))，采用四階定步長 Rung-Kutta法求解，積分步長為0.01.圖 1(b)給出了信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)為1 dB的連續(xù)性高斯白噪聲序列，圖1(c)則為未受污染的真實(shí)信號(hào)(圖1(a))與高斯白噪聲(圖1(b))疊加得到的合成序列.采用DFA方法分別對(duì)圖1(a)中所示的原序列及其與噪聲的合成序列(圖1(c))進(jìn)行了標(biāo)度分析，結(jié)果表明，Lorenz方程的x分量波動(dòng)函數(shù)F(s)與窗口尺度大小s的雙對(duì)數(shù)曲線近似地服從直線分布，這表明其具有標(biāo)度性質(zhì)，但噪聲的存在導(dǎo)致雙對(duì)數(shù)曲線發(fā)生了“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，即在擬合窗口尺度小于某個(gè)臨界值 s×?xí)r，合成序列的雙對(duì)數(shù)曲線相對(duì)于原序列明顯上升，而在窗口尺度大于s×后，合成序列與原序列的雙對(duì)數(shù)曲線基本重合.這一結(jié)果表明，噪聲的存在使得小尺度上的波動(dòng)函數(shù)明顯增大，嚴(yán)重影響了小尺度上的DFA分析，如果不考慮序列中所存在的噪聲，直接對(duì)其雙對(duì)數(shù)曲線進(jìn)行線性擬合，得到的標(biāo)度指數(shù)顯然要小于真實(shí)信號(hào)，因此不能夠正確地反映原序列的標(biāo)度性質(zhì).由圖1(d)可知，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，雙對(duì)數(shù)曲線發(fā)生“轉(zhuǎn)折”的臨界窗口尺度s×隨之增大，且其在小于s×?xí)r的雙對(duì)數(shù)曲線有一個(gè)近似垂直上升的趨勢.為了考察噪聲對(duì)于不同階DFA分析的影響，本文采用DFA3方法對(duì)理想序列進(jìn)行了類似于DFA2的分析(圖1(e))，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同等強(qiáng)度的噪聲，DFA3分析結(jié)果所受的影響較DFA2更大，即其雙對(duì)數(shù)曲線發(fā)生“轉(zhuǎn)折”的臨界尺度s×相對(duì)于低階DFA2明顯增大，這主要是由于高階 DFA分析對(duì)于序列中的趨勢成分移除得更為徹底，導(dǎo)致去趨勢后的殘余序列中的真實(shí)信號(hào)與噪聲的信噪比要明顯的小于低階DFA2分析.對(duì)更高階DFA分析的研究得到了類似結(jié)果.因此，在實(shí)際應(yīng)用DFA分析的過程中，應(yīng)注意同等強(qiáng)度的噪聲對(duì)不同階DFA分析的不同影響這一特點(diǎn).

圖1 連續(xù)性高斯白噪聲對(duì)DFA分析的影響 (a)Lorenz模型產(chǎn)生的理想序列，不含噪聲，(b)信噪比SNR=1 dB的連續(xù)性高斯白噪聲，(c)信號(hào)(a)和噪聲(b)的疊加序列，(d)不同強(qiáng)度高斯白噪聲對(duì)DFA2分析的影響，(e)不同強(qiáng)度高斯白噪聲對(duì)DFA3分析的影響

在實(shí)際觀測中，往往會(huì)由于一些不可預(yù)料的原因?qū)е掠^測資料中存在尖峰噪聲.為此，研究了尖峰噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果的影響.理想序列仍然采用圖1(a)，圖2(a)展示了尖峰噪聲的位置及其大小，含有尖峰噪聲的合成序列已在圖2(b)中給出.很容易發(fā)現(xiàn)，尖峰噪聲僅占理想序列長度的6‰，因此，尖峰噪聲的數(shù)量相對(duì)而言非常少.類似于連續(xù)噪聲中的操作，采用不同階DFA方法對(duì)含尖峰噪聲的合成序列進(jìn)行了標(biāo)度分析，發(fā)現(xiàn)少量尖峰噪聲對(duì)于低階DFA分析(如DFA1，DFA2)的影響較小，但是其對(duì)于高階的影響不容忽視.從圖2(c)可知，少量尖峰噪聲對(duì)于DFA3分析的影響較大，其影響類似于連續(xù)性噪聲，即導(dǎo)致雙對(duì)數(shù)曲線在小尺度發(fā)生了轉(zhuǎn)折現(xiàn)象.對(duì)比圖1(e)不難發(fā)現(xiàn)，這里考慮的少量尖峰噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果的影響與信噪比為20 dB時(shí)的連續(xù)性高斯白噪聲基本相當(dāng)，因此，尖峰噪聲對(duì)于DFA分析，尤其是DFA3及以上的高階DFA分析的影響較大.

圖2 尖峰噪聲對(duì)DFA分析的影響 (a)尖峰噪聲，(b)尖峰噪聲和理想序列的疊加序列，(c)原序列和含噪序列的DFA3分析

由于連續(xù)性高斯白噪聲以及少量尖峰噪聲在小于某個(gè)臨界尺度s×?xí)r會(huì)導(dǎo)致雙對(duì)數(shù)曲線發(fā)生“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，而且噪聲越強(qiáng)，對(duì)DFA分析結(jié)果的影響越大，并且同等強(qiáng)度的噪聲對(duì)不同階DFA分析的影響程度各異.因此，在應(yīng)用DFA進(jìn)行標(biāo)度分析的過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的線性擬合區(qū)域，在資料長度允許的情況下，盡可能選擇大一點(diǎn)的窗口尺度對(duì)雙對(duì)數(shù)曲線進(jìn)行擬合.但在實(shí)際應(yīng)用過程中，由于觀測資料長度的有限性，許多資料長度較短，不可能毫無限制地增大線性擬合的窗口尺度，在對(duì)于長度較短的時(shí)間序列進(jìn)行 DFA分析時(shí)，噪聲對(duì)其結(jié)果的影響將不可避免.因此，亟需尋找減輕或消除噪聲對(duì)DFA分析影響的有效方法.鑒于噪聲(連續(xù)性噪聲和尖峰噪聲)通常變化較快，相對(duì)于真實(shí)的信號(hào)而言屬于一個(gè)快變過程，而傳統(tǒng)的濾波方法正是基于將待分析的時(shí)間序列分解成高頻和低頻序列，以此來對(duì)原序列進(jìn)行降噪處理.因此在利用DFA分析的過程中，我們可以嘗試采用各種不同類型的濾波方法來事先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行降噪處理，以減輕或消除各類噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果的影響.

3.2.多級(jí)Vondrak濾波在DFA分析中的應(yīng)用

為了檢驗(yàn)多級(jí)Vondrak濾波是否能夠有效地分離高頻噪聲和真實(shí)信號(hào)，本文利用其對(duì)圖1(c)中的信號(hào)進(jìn)行了濾波，高頻濾波的濾波周期閾值ph=8，濾波后的高頻噪聲已由圖3(a)給出，從中不難發(fā)現(xiàn)，高頻序列的噪聲強(qiáng)度及其變化范圍與真實(shí)的噪聲序列相當(dāng)接近.為了更加清晰地考察濾波的效果，這里任意選了圖3(a)中的一段時(shí)間序列進(jìn)行放大(圖3(b))，發(fā)現(xiàn)無論在噪聲的強(qiáng)度，還是在噪聲隨時(shí)間的演變趨勢上，多級(jí) Vondrak濾波得到的高頻序列與真實(shí)噪聲均表現(xiàn)出驚人的一致性，雖然二者還存在著一些細(xì)微的差異，但由圖3(c)可知，對(duì)于低頻序列的DFA分析而言，濾波已經(jīng)極大地減輕了高頻噪聲的影響，使得濾波后的DFA分析結(jié)果幾乎與原序列的結(jié)果完全一致.因此對(duì)于DFA分析而言，經(jīng)過多級(jí)Vondrak濾波得到的高頻序列與真實(shí)噪聲之間的差異性基本上可以忽略不計(jì).

一般而言，在實(shí)際應(yīng)用過程中，多數(shù)情況下我們可能并不知道所分析時(shí)間序列中的噪聲強(qiáng)弱及其在信號(hào)中的分布情況，故而在使用多級(jí) Vondrak濾波濾除高頻信號(hào)時(shí)，并不能夠準(zhǔn)確地根據(jù)噪聲的實(shí)際情況來確定濾波的周期閾值.我們期望濾除高頻噪聲后的低頻序列其DFA分析結(jié)果至少能夠在一定的濾波周期閾值范圍比較穩(wěn)定，這一特點(diǎn)將使得在實(shí)際的操作中，可以十分方便地選擇濾波周期的閾值，進(jìn)而達(dá)到減輕或消除噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果的影響的目的.因此，需要研究多級(jí)Vondrak濾波在減輕或消除噪聲對(duì)于DFA分析結(jié)果的影響的穩(wěn)定性.鑒于此，在不同濾波周期閾值情況下，本文對(duì)此進(jìn)行了研究.圖3(d)為濾波周期閾值分別取18，28，38時(shí)，DFA方法對(duì)各自低頻序列的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過多級(jí)Vondrak濾波后低頻序列的雙對(duì)數(shù)曲線中均不存在“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，且其雙對(duì)數(shù)曲線與真實(shí)信號(hào)基本重合或平行.這表明經(jīng)過多級(jí) Vondrak濾波后，待分析信號(hào)中的噪聲強(qiáng)度已經(jīng)極大地降低了.本文對(duì)濾波周期閾值在8—38之間時(shí)的情形進(jìn)行了類似試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)多級(jí) Vondrak濾波均能夠很好地降低噪聲對(duì) DFA分析結(jié)果的影響.這意味著多級(jí)Vondrak濾波對(duì)于消除連續(xù)性噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果的影響具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性，而且經(jīng)過多級(jí) Vondrak濾波后原始信號(hào)的標(biāo)度特征得到了較好的保留，能夠更為準(zhǔn)確地反映信號(hào)中所包含的真實(shí)標(biāo)度信息.

圖3 強(qiáng)噪聲情況下多級(jí)Vondrak濾波去噪對(duì)DFA分析的影響 (a)SNR=1 dB的強(qiáng)噪聲序列和濾波后的高頻序列;(b)(a)中的局部放大區(qū)域;(c)含噪序列和降噪后低頻序列的DFA2分析，濾波周期閾值ph=8;(d)不同濾波周期閾值情形下，低頻序列的DFA2分析

類似于連續(xù)性噪聲，本文研究了多級(jí) Vondrak濾波在減輕或消除尖峰噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果影響中的應(yīng)用.從圖4中可以看出，在濾波周期閾值較小時(shí)，經(jīng)過多級(jí)Vondrak濾波后得到的高頻序列與真實(shí)噪聲的強(qiáng)度以及其所處的位置十分相符(見圖4 (a)和(b))，而當(dāng)增大濾波周期閾值后，經(jīng)濾波得到的高頻序列與原噪聲序列的差異逐漸顯著(圖4(c)和(d))，但還能隱約發(fā)現(xiàn)尖峰噪聲的蹤影.隨后采用DFA3對(duì)各種不同周期閾值下的低頻濾波進(jìn)行了標(biāo)度分析，發(fā)現(xiàn)類似于圖2(c)中的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象消失了，不同周期閾值下的多級(jí) Vondrak濾波均能夠很好地減輕尖峰噪聲對(duì)DFA分析結(jié)果的影響.而且類似于連續(xù)噪聲的情況，隨著周期閾值的增大，低頻濾波序列的雙對(duì)數(shù)曲線近似地呈現(xiàn)垂直下移的趨勢(見圖4(e))，這表明盡管濾波周期閾值增大了，但是低頻濾波還是能夠很好地保留原信號(hào)中的標(biāo)度信息.

3.3.多級(jí)Vondrak濾波與其他濾波方法的比較

以圖1(c)中的含噪序列為例對(duì)多級(jí)Vondrak濾波和其他濾波方法進(jìn)行了比較.首先對(duì)含噪序列采用多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均方法進(jìn)行濾波，隨后利用DFA3對(duì)濾波后的序列進(jìn)行了標(biāo)度分析，圖5給出了其分析結(jié)果.從圖5中不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均后的確能夠減輕噪聲引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，而且隨著滑動(dòng)加權(quán)平均的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的增加，這種濾波的效果也更加顯著.但必須指出的是，這種“濾波”減輕“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象的效果并不會(huì)隨著滑動(dòng)加權(quán)平均數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的增加而變得越來越好，大約在滑動(dòng)加權(quán)平均的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n=25以后，再增加滑動(dòng)加權(quán)平均數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)對(duì)于濾波的效果改善沒有本質(zhì)的差異.多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均對(duì)于信號(hào)的平滑度高，但對(duì)于數(shù)據(jù)平滑度的增大也使得其對(duì)噪聲的敏感性降低，因此，該方法在減輕噪聲對(duì)于DFA分析的影響效果有限，不能夠從根本上消除由于噪聲所引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象.同時(shí)，我們也采用多點(diǎn)滑動(dòng)平均(等權(quán)重)濾波對(duì)含噪序列進(jìn)行了試驗(yàn)，得到的結(jié)果沒有本質(zhì)的區(qū)別，本文不再贅述.

圖4 多級(jí)Vondrak濾波在濾除尖峰噪聲中的應(yīng)用 (a)真實(shí)的尖峰噪聲，(b)濾波周期閾值ph=8，(c)濾波周期閾值ph=18，(d)濾波周期閾值ph=28，(e)不同濾波周期閾值下低頻濾波的雙對(duì)數(shù)曲線(DFA3)

圖5 多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均濾波去噪對(duì)DFA分析的影響 SNR=1 dB

圖6 FFT濾波方法去噪對(duì)DFA分析的影響，SNR=1 dB (a)不同周期閾值下，低頻濾波后的雙對(duì)數(shù)曲線(DFA3)，p為濾波周期閾值;(b)p=20時(shí)，高頻濾波與真實(shí)噪聲的演變圖

快速傅里葉變換(fast Fourier transformation， FFT)是一種常用的傳統(tǒng)濾波方法，本文利用其對(duì)圖1(c)中的序列進(jìn)行去噪，并采用DFA3對(duì)去噪后的序列進(jìn)行了標(biāo)度分析(見圖6(a)).結(jié)果表明，經(jīng)過FFT濾波后的確能夠使得由于噪聲所引起的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象得到減輕，而且隨著濾波周期閾值的加大，濾波對(duì)于DFA3準(zhǔn)確提取原序列中內(nèi)在的標(biāo)度信息更為有利，當(dāng)濾波閾值約為20時(shí)，幾乎可以完全消除噪聲對(duì)于 DFA3分析的影響.同多級(jí)Vondrak濾波的結(jié)果對(duì)比分析表明，F(xiàn)FT方法完全消除噪聲對(duì)于DFA3分析的影響所需的周期閾值要大得多，而且多級(jí)Vondrak濾波的結(jié)果對(duì)于濾波周期閾值的依賴性要明顯小于FFT方法，即要想最大限度地減小噪聲對(duì)于DFA分析的影響，多級(jí)Vondrak濾波更容易選擇合適的濾波周期閾值.從FFT所分離出來的高頻序列與實(shí)際噪聲序列的對(duì)比分析可知(見圖6 (b))，盡管FFT在選擇合適的濾波周期閾值時(shí)能夠有效地減輕甚至消除噪聲對(duì)于DFA分析的影響，但整體而言，F(xiàn)FT得到的高頻序列的變化幅度要小于真實(shí)的噪聲信號(hào)，而且在高頻序列的兩端存在強(qiáng)烈的邊界效應(yīng)，即在序列兩端，高頻序列中的變化幅度顯著大于真實(shí)的噪聲.

圖7 FFT濾波方法去除尖峰噪聲對(duì)DFA分析的影響 (a)不同周期閾值下，低頻濾波后的雙對(duì)數(shù)曲線(DFA3);(b)濾波周期閾值p=15時(shí)，高頻濾波與真實(shí)噪聲的對(duì)比圖

類似于對(duì)連續(xù)性噪聲的分析，圖7(a)給出不同濾波周期閾值下，F(xiàn)FT在減輕或消除尖峰噪聲對(duì)于DFA3分析的影響，從中可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)FT對(duì)于減輕尖峰噪聲對(duì)于DFA3分析的影響確有作用，而且在濾波閾值選擇合適的情形下甚至能夠幾乎完全消除尖峰噪聲對(duì)于DFA分析的影響.但與連續(xù)性噪聲中存在的問題一樣，F(xiàn)FT方法完全消除噪聲對(duì)于DFA3分析的影響所需的周期閾值要明顯大于多級(jí)Vondrak濾波.從圖7(b)可知，盡管在一定情形下FFT能夠近乎完全消除噪聲對(duì)于 DFA3分析的影響，但是FFT得到的高頻序列與真實(shí)的尖峰噪聲差異很大.反觀多級(jí)Vondrak濾波不僅僅能夠消除尖峰噪聲的影響，而且還能夠在一定程度上捕獲尖峰噪聲的出現(xiàn)時(shí)刻及其演變規(guī)律(圖4).同樣地，F(xiàn)FT濾波得到的高頻序列兩端存在明顯的邊界效應(yīng).

4.結(jié)果與討論

本文的研究結(jié)果表明，噪聲會(huì)使得DFA分析的雙對(duì)數(shù)曲線在擬合尺度較小時(shí)發(fā)生“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象，影響了準(zhǔn)確地提取時(shí)間序列中的標(biāo)度信息，特別是對(duì)于長度較短的序列這種影響更大;在利用滑動(dòng)去趨勢波動(dòng)分析(moving detrended fluctuation analysis，MDFA)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)突變檢測的過程中，通常由于所選擇的子序列長度較短［16，17］，噪聲對(duì)于標(biāo)度分析的影響就顯得尤為突出，因此在進(jìn)行DFA和MDFA分析的過程中，需要事先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行降噪.針對(duì)這一問題，本文采用多級(jí)Vondrak濾波分別對(duì)含有連續(xù)性噪聲和少量尖峰噪聲的理想序列進(jìn)行了濾波試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在濾波周期閾值較小時(shí)，經(jīng)過多級(jí)Vondrak濾波后的高頻序列與真實(shí)的噪聲序列無論在噪聲強(qiáng)度還是噪聲的演變趨勢上都表現(xiàn)出驚人的一致性，特別是其對(duì)于尖峰噪聲能夠準(zhǔn)確地給出噪聲的位置，且其強(qiáng)度與真實(shí)情況相仿.對(duì)比濾波前后信號(hào)的DFA分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過濾波后，低頻序列的雙對(duì)數(shù)曲線中的“轉(zhuǎn)折”現(xiàn)象已經(jīng)完全消失，與真實(shí)信號(hào)的雙對(duì)數(shù)曲線幾乎重合;增大濾波周期閾值后，雖然濾波后的高頻部分與真實(shí)噪聲之間的差異逐漸變大，但是在較大范圍內(nèi)，濾波周期閾值的改變并不會(huì)顯著影響低頻序列的DFA分析.

同傳統(tǒng)的一些濾波方法的比較表明，多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均方法僅僅能夠在一定程度上減輕噪聲對(duì)于DFA分析的影響，但不能完全消除噪聲的影響，其原因在于滑動(dòng)加權(quán)平均方法僅僅能夠使序列的演化更為平滑，濾波效果有限;FFT方法雖然對(duì)于減小噪聲對(duì)于 DFA分析的影響有利，甚至在選擇合適的周期閾值時(shí)幾乎能消除噪聲對(duì)于DFA分析的影響，但對(duì)于同樣的濾波效果，相對(duì)于多級(jí)Vondrak濾波，F(xiàn)FT分析中選取的濾波周期閾值明顯偏大，而且FFT濾波得到的高頻序列與真實(shí)的噪聲序列差別很大，且在其兩端存在明顯的邊界效應(yīng)，而多級(jí)Vondrak濾波能夠更為準(zhǔn)確地從噪聲序列中提取出真實(shí)的信號(hào).這表明結(jié)合多級(jí)Vondrak濾波可以有效地降低噪聲對(duì)于 DFA分析的影響，而且明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的 FFT，多點(diǎn)滑動(dòng)加權(quán)平均等濾波方法.

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PACS:92.60.Wc

Comparison of applications of different filter methods for de-noising detrended fluctuation analysis*

He Wen-PingWu Qiong2)Cheng Hai-Ying3)Zhang Wen4)
1)(National Climate Center，China Meteorological Administration，Beijing 100081，China)
2)(National Satellite Meteorological Center，China Meteorological Administration，Beijing 100081，China)
3)(Fundamental Education Department，Yancheng Institute of Technology，Yancheng 224002，China)
4)(Tongda College，Nanjing University of Post and Telecommunications，Nanjing 210003，China)

4 May 2010;revised manuscript

13 May 2010)

We studied the effects of continuous noises and random spikes on detrended fluctuation analysis，and found that the noises lead to the appearance of crossovers in the double logarithm curves when the linear fitting scale was less than a characteristic scale s×.To solve this problem，we use three kinds of filter methods，multi-stage Vondrak filter，N-point weighted moving average filter and fast Fourier filter，to filter high frequency from the analyzed time series.The results indicate that the evolution trend and intensity of high frequency series by multi-stage Vondrak filter is almost identical to those of real noises.Further investigation showed that multi-stage Vondrak filter can eliminate the phenomenon of crossover，and the DFA results of lowpass filtering time series are less dependent on the threshold of the filter periods.To some extent，N-points weighted moving average filter can partly eliminate the effect of noises on DFA，but can not completely eliminate the phenomenon of crossover caused by noises.Fast Fourier filter can almost totally eliminate the effect of noises on DFA when the period of filter adopts an appropriate value，but the filtering results have a stronger dependence on the period of filter，so it is difficult to select the period of filter in practical application.Therefore，comparatively speaking，multi-stage Vondrak filter is an effective measure to alleviate the effects of noises on the DFA results.

multi-stage Vondrak filter，detrended fluctuation analysis，N-points weighted moving average filter，fast Fourier filter

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):40905034，4087504，40930952)和公益性行業(yè)(氣象)科研專項(xiàng)基金(批準(zhǔn)號(hào):GYHY200806005，GYHY200906019)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.40905034，40875040，40930952)and the Special Scientific Research Fund of Meteorological Public Welfare Profession of China(Grant Nos.GYHY200806005，GYHY200906019).