楊海鳴 楊 帆

（深圳地鐵集團有限公司1） 深圳 518026）（同濟大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所2） 上海 200092）

近來被譽為分析信號的數(shù)學(xué)顯微鏡的小波變換［1］，以其在信號處理方面的強大功能，正被逐步引入到結(jié)構(gòu)健康診斷中.利用模態(tài)測試識別模態(tài)參數(shù)是進行結(jié)構(gòu)健康診斷的有效方法，而將小波變換應(yīng)用到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)［2］上（例如模態(tài)振型），對結(jié)構(gòu)進行損傷檢測，為結(jié)構(gòu)健康診斷開拓了一個新的研究領(lǐng)域.由于Fourier變換缺乏空間局部性［3－4］，因此由函數(shù)的Fourier變換只能確定其奇異性的整體性質(zhì)而難以確定其奇異性的空間分布情況.也就是說當(dāng)函數(shù)有許多奇點時，用Fourier變換難以確定各奇點的位置及各奇點奇異性的強弱.

1 信號奇異性與小波模極大值的關(guān)系

小波變換除了可以寫成的內(nèi)積形式以外，還可以寫成卷積形式［5－6］，它們在本質(zhì)上是一樣的.下面列出卷積形式：

設(shè)h（t）是函數(shù)f（t）和g（t）的卷積，則根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)有

若將函數(shù)f（t）看做是信號，g（t）看做是濾波器，那么，信號的導(dǎo)數(shù)與濾波器的卷積結(jié)果可看成是濾波器的導(dǎo)數(shù)與信號的卷積.例如，如果選g（t）為高斯函數(shù)，則利用其導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)造Morlet小波和Maar小波，因此，小波變換的突變點和極值點與信號f（t）的突變點和極值點具有對應(yīng)關(guān)系，利用小波變換可以檢測突變信號.具體過程如下.

設(shè)θ（t）是一個起平滑作用的低通平滑函數(shù)，且滿足條件為

通常θ（t）取為高斯函數(shù)，即

假設(shè)θ（t）是二次可導(dǎo)的，并且定義為

則函數(shù)ψ（1）（t），ψ（2）（t）滿足小波的容許條件，即

因此，可用為小波母函數(shù).

由于階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是脈沖函數(shù)，脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零.如果信號中存在階躍型奇異點，當(dāng)小波函數(shù)可看做某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時，就會在該點產(chǎn)生小波變換模的局部極值點.當(dāng)小波函數(shù)可看做某一平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的過零點，這就是采用檢測小波變換系數(shù)模的過零點和局部極值點可檢測信號的突變點的原理.

由上面敘述可知，要想使信號的不同類型奇異點經(jīng)過小波變換后得到過零點或是局部極值點需要針對不同的奇異點類型選用不同的小波，其主要原則是看小波是光滑函數(shù)的幾階導(dǎo)數(shù).文獻［7－8］中介紹了一個非常有用的定理：快速衰減的小波ψ具有n階消失矩，當(dāng)且僅當(dāng)存在快速衰減函數(shù)θ使得此時的小波變換為可見如果小波函數(shù)是平滑函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)那么它的消失矩就是n.

2 信號奇異性指數(shù)和小波模極大值的關(guān)系

將離散母函數(shù)ψj，k（t）改寫為

式中：s＝2j；~t在ψj，k（t）的支集內(nèi).

于是j尺度下的小波變換的模可表示為此式方括號中權(quán)是有界量，故有

因為a＝2－j所以還有式

當(dāng)小波平移到奇異點時，取等號.

由上式可知小波變換模極大值大小隨尺寸變化的規(guī)律：（1）若α＜0，例如在δ函數(shù)或尖峰函數(shù)的突變點處，隨著j值得增大（尺寸變細），將越來越大.對于白噪聲信號來說，因為它是隨機的、且是密集地逐點滴類似于δ函數(shù)形的，所以其指數(shù)α＜0，其小波變換幅值也是隨j值增大而增大且是密集的；（2）若α＝0，例如在階躍函數(shù)突變點，不隨尺寸的改變而變化；（3）若α＞0，例如在折線突變點處，隨著j值增大（尺寸變細），越來越小.

檢索并保留突變點t0處不同層的小波變換模極大值，標(biāo)記如下.

應(yīng)該看到，在較細尺度層上作上述估計才是較準(zhǔn)確的，在多個較細尺度層上作上述估計可獲得較穩(wěn)定的結(jié)果.

3 結(jié)構(gòu)損傷分類

設(shè)w為平面結(jié)構(gòu)豎向位移，結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力可以表達為

完整結(jié)構(gòu)在任何受力狀態(tài)下，位移、轉(zhuǎn)角都是連續(xù)的；當(dāng)結(jié)構(gòu)上沒有集中力偶作用時，無論結(jié)構(gòu)完整與否，彎矩都是連續(xù)的；當(dāng)結(jié)構(gòu)上沒有集中荷載作用時，無論結(jié)構(gòu)完整與否，剪力也應(yīng)該是連續(xù)的，但是由于這種受力狀態(tài)（結(jié)構(gòu)上不受集中荷載）在工程中非常少見，不具備普遍性，所以可以認為結(jié)構(gòu)中的剪力本身是不連續(xù)的.取結(jié)構(gòu)上任意一點x＝a，有如下連續(xù)性表達式

如果信號產(chǎn)生了損傷，那么其位移信號將會在損傷點產(chǎn)生奇異性，針對對位移信號奇異性的幾種分類，下面指出其對應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷類型：

1）如果位移信號在a點不連續(xù)，即w（a＋）≠w（a－）.對于2種不連續(xù)情況，如果位移發(fā)生了階變型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點錯動.如果位移發(fā)生了尖峰型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點起拱.

2）如果位移信號一階導(dǎo)數(shù)在a點不連續(xù)，這相當(dāng)于轉(zhuǎn)角信號不連續(xù)，此時即對于2種不連續(xù)情況，如果位移信號一階導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了階變型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點發(fā)生整體轉(zhuǎn)動.如果位移信號一階導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了尖峰型突變，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)在a點結(jié)構(gòu)在a點發(fā)生局部轉(zhuǎn)動.

綜上，可以將結(jié)構(gòu)的損傷形式歸結(jié)為4類：起拱、錯動、局部剛度衰減及整體剛度衰減.由階變型和尖峰型的導(dǎo)數(shù)關(guān)系可知，高階的尖峰型突變實際上是降一階的階變型突變，所以與結(jié)構(gòu)損傷類型相對應(yīng)的位移信號奇異性為：位移發(fā)生了突變和階變、位移的二階導(dǎo)數(shù)發(fā)生突變和階變.

4 實例分析及討論

利用懸臂梁縱向位移信號和縱向位移差信號對4種損傷類型進行奇異性檢測，主要比較兩種方法在形成模極值點、模峰值點、以及奇異點最終定位上的效果，同時研究模極值點分布規(guī)律以便對奇異點定位作輔助判斷.對于簡單結(jié)構(gòu)其第一階振型和位移十分相似，可以用振型信號代替位移信號.

基本參數(shù) 模擬一懸臂梁，其基本數(shù)據(jù)為：梁長5 m，寬0.4 m，高0.4 m，材料密度ρ＝7 800 kg／m3，泊松比υ＝0.2，梁完好時彈性模量E＝2×1011Pa.將梁身劃分為100個單元，101個節(jié)點，對50號單元以后的所有單元彈性模量加以修改，分別改為E＝2×1010Pa和E＝1×1011Pa，得到一階振型圖如圖1、圖2所示.

圖1 52號節(jié)點剛度強突變

圖2 52號節(jié)點剛度弱突變

本文采用gaus3小波.對圖1示信號作小波變換，并提取其模極大值，畫出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見圖3.

圖3 圖1所示信號模極大值分布（尺度a為1～8）

利用guas3小波，對圖1所示信號和無損信號之差作小波變換（尺度a從1～8），并提取其模極大值，畫出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見圖4.

圖4 圖1所示信號差模極大值分布（尺度a為1～8）

利用gaus3小波對圖2所示信號作小波變換，并提取其模極大值，畫出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見圖5.

圖5 圖2所示信號模極大值分布（尺度a為1～8）

利用guas3小波，對圖2所示信號和無損信號之差作小波變換（尺度a從1～8），并提取其模極大值，畫出在尺度1～8上小波模極大值分布圖，見圖6.

圖6 圖2所示信號差模極大值分布（尺度a為1～8）

從圖3～6可見利用模極大值分布圖來辨別奇異點，從圖中可以看出在尺度8以內(nèi)，51號節(jié)點處能夠形成一條不偏移的模極大值線（豎線）.因為是50號單元損傷所以損傷點出現(xiàn)在51節(jié)點是非常精確的.模極大值分布是確定損傷位置的最佳方法.

5 結(jié) 論

1）為方便計算，選用的比較簡單的小波，而所選小波的不同肯定會引起合成地震動的時頻特性的不同，如何針對不同的工程要求，選擇最佳的小波是基于小波的地震動合成研究中的一個非常重要的課題.

2）本文提到了信號降解方法，并得出結(jié)論有損信號和無損信號差是對梁結(jié)構(gòu)的一種有效的降解方法，但這種方法是特定的，針對不同的結(jié)構(gòu)，不同的奇異性類型尋找新的降解方法將是小波探傷研究中的另一個重要課題.

3）利用小波模極大值的分布可以更加清晰的判定損傷位置.

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