高紹娟，康素玲，唐永帥

(1. 成都理工大學(xué) 信息管理學(xué)院，四川 成都 610059；2. 合肥學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 合肥 230601)

S-仿Lindelof 空間

高紹娟1，康素玲2，唐永帥1

(1. 成都理工大學(xué) 信息管理學(xué)院，四川 成都 610059；2. 合肥學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 合肥 230601)

定義S-仿Lindelof空間，作為S-仿緊空間[1]的推廣，并給出其部分基本性質(zhì). 研究了S-仿Lindelof空間與正則空間，T2空間，αS?仿Lindelof緊空間的關(guān)系：1)S-仿Lindelof，T2空間是半正則的；2)由(X,Τα)為S-仿Lindelof推出(X, Τ)也是S-仿Lindelof的.

局部可數(shù)；s-局部可數(shù)；半開(kāi)加細(xì)；S-仿Lindelof

2006年K.Y.AL-ZOUBI引入了S-仿緊空間的概念，并研究了拓?fù)渲械陌腴_(kāi)集. 很多空間都是由半開(kāi)集定義的，比如S-closed空間，可數(shù)S-closed空間，S-仿緊空間，S-expandable空間等，下面引入了S-仿Lindelof空間的概念.

本文中用cl( A)，int(A)，ΤA分別表示集合A的閉包，內(nèi)部和X中集合A的相對(duì)拓?fù)? 集合A稱作是空間(X,Τ)的半開(kāi)子集，如果存在一個(gè)開(kāi)集U，使得 U ? A ? cl( U). 半開(kāi)集也被稱作為半閉集. 集合A的半閉包表示為scl( A)，即包含了A的最小半閉集. 若A=int(cl( A) ), A =cl( int(A) ),A ?int(cl( A))，則A是正則開(kāi)集，正則閉集，完全開(kāi)集. 空間X的所有半開(kāi)子集簇(正則開(kāi)子集簇，完全開(kāi)子集簇)表示為SO( X,Τ) (R O( X,Τ) ,PO( X,Τ) ). 對(duì)空間X而言，如果有Τs?Τ，集簇 RO( X,Τ)是拓?fù)洇硈的基. 空間(X, ΤS)是(X, Τ)的半正則化.

1 引言

定義1 空間(X, Τ)的子集簇F ={Fα: α∈I}是局部可數(shù)(s-局部可數(shù))[2]的，若對(duì)?x∈X，存在U∈Τ(U ∈SO( X,Τ))，使得x∈U且{α ∈ I: Fα∩ U ≠?}是可數(shù)的.

引理1 F ={Fα: α∈I}為空間X的子集簇.

1)集簇F 是s-局部可數(shù)的當(dāng)且僅當(dāng)集簇{s cl( Fα) :α∈ I}是s-局部可數(shù)的.

2 S-仿Lindelof空間

定義2 1)空間X稱為是仿-Lindelof的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)開(kāi)覆蓋有局部可數(shù)的開(kāi)加細(xì)；

2)空間X是極值斷開(kāi)[3]的當(dāng)且僅當(dāng)X中的每一個(gè)開(kāi)集的閉包是開(kāi)的.

引理2 若空間X是極值斷開(kāi)的，則對(duì) ?U ∈ SO(X ,Τ)我們都有 scl( U ) =cl( U).

定義3 空間X稱為S-仿Linndelof的當(dāng)且僅當(dāng)X的任一開(kāi)覆蓋有局部可數(shù)的半開(kāi)加細(xì).

定理1 若(X, Τ)為S-仿Lindelof空間，T2空間，則對(duì)X的任意閉子集A，x?A，存在U∈Τ，V∈SO( X,Τ)，使得x ∈ U, A ? V且U∩V=?. 等價(jià)于說(shuō)對(duì)X的任一開(kāi)子集U，x∈U，存在V∈Τ，使得x ∈V ? scl( V )? U .

證明： 對(duì)?y∈A，任取開(kāi)子集Wy，使得 y∈Wy，且 x?cl( Wy). 因此，集簇W ={Wy:y∈A} ∪{ X?A}是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋. 而X為S-仿Lindelof空間，故集簇W 存在一個(gè)局部可數(shù)的半開(kāi)加細(xì)H.

令V ={H ∈H: H ∩ A ≠?}，則A?V且V為半開(kāi)集. 顯然 cl( V ) = {c l( V ):H ∈ H, H ∩A ≠?}為閉集，則U=X-cl(V)為開(kāi)集. 所以x∈U且U∩V=?.

推論1 任一個(gè)S-仿Lindelof，T2空間X是半正則的.

定理2 空間X為極值斷開(kāi)，正則空間，若X的任一開(kāi)覆蓋有s-局部可數(shù)的半開(kāi)加細(xì)，則X的任一開(kāi)覆蓋有局部可數(shù)開(kāi)加細(xì)(仿-Lindelof空間[4]).

證明：令 U 為X的任一開(kāi)覆蓋. ?x∈X，?UX∈U， 由正則性知，存在一個(gè)開(kāi)集VX∈Τ使得x∈ Vx? cl( VX)? UX. 因此集簇V ={Vx:x∈X }為X的開(kāi)覆蓋. 由假設(shè)知，V 有 s-局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì) W ={Wβ:β∈ B}. 則由Wβ半開(kāi)有，對(duì)?β∈B，存在開(kāi)集Hβ，使得 Hβ? Wβ? cl( Hβ)，但對(duì)?β∈B存在某個(gè)VX∈V和U∈U滿足 cl( Hβ) = cl( Wβ) = cl( Vx)和cl( Hβ)? U . 因?yàn)閄為極值斷開(kāi)空間，所以對(duì)?β∈B有cl( Hβ)∈Τ.

下面證明集簇H ={c l( Hβ):β∈ B}是局部可數(shù)的.

因?yàn)閃 是局部可數(shù)的，所以集簇{s cl( Wβ) :β∈ B}為s-局部可數(shù). 由于Wβ為半開(kāi)集，X為極值斷開(kāi)空間，故?β∈B有 cl( Hβ) = cl( Wβ) = scl( Wβ). 所以集簇H為s-局部可數(shù)的. 所以存在 Ox∈SO( X,Τ)，使得x∈Ox且{β ∈ B: Ox∩cl( Hβ)≠?}為可數(shù)的. 而Ox為半開(kāi)集，則存在開(kāi)集Ax，使得 Ax?Ox? cl( Ax)，x∈Ax. 又X為極值斷開(kāi)空間，故 cl( Ax)為包含x的開(kāi)集，由性質(zhì) cl( Ax) ∩cl( Hβ)≠?當(dāng)且僅當(dāng)

Ox∩cl( Hβ)≠?，可以得到集簇H是局部可數(shù)的. 這就征得集簇H是U的局部可數(shù)加細(xì).

推論2 若X為極值斷開(kāi)的，S-仿Lindelof，T2空間，則X是仿Lindelof空間.

3 αS-仿Lindelof子集

定義4 空間X的子集A稱為α-集，若 A ?int(cl( int(A))). X的所有α-集簇表示為 Τα[5]. 形成了X上的一個(gè)拓?fù)?，?yōu)于拓?fù)洇?，并且使?Τ?Τα? SO( X,Τ)且 SO( X ,Τα) = SO( X ,Τ).

定理3 若(X,Τα)為S-仿Lindelof空間，則(X, Τ)為S-仿Lindelof空間.

證明：令U為(X, Τ)的任一開(kāi)覆蓋，因?yàn)?Τ?Τα，所以U為S-仿Lindelof空間(X,Τα)的開(kāi)覆蓋. 因此U在(X,Τα)中有局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì)又 SO( X ,Τα) = SO( X ,Τ)，故只需證明集簇V 在(X, Τ)中局部可數(shù).

因?yàn)閂 為U在(X,Τα)中的局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì)，所以對(duì)x∈X，存在一個(gè)開(kāi)子集G ∈Τα，使得x∈G且{λ ∈ I: G ∩ Vλ≠?} 是可數(shù)的，把他們?nèi)〕鰜?lái)記作{Vi: i∈Z+}. 對(duì)?V∈ V ，存在WV∈Τ，使得WV? V ? cl( WV).

由性質(zhì)，對(duì)?V∈V -{Vi: i∈Z+}，假設(shè)int(cl( int(G )))∩V≠?，則int(cli nt(G ))) ∩cl( WV)≠?，顯然已知有 G ?int(cl(int(G))),WV?V ，因此 G ∩ WV≠?. 所以G∩V≠?. 則 V ∈ {Vi: i∈ Z+}，產(chǎn)生矛盾. 所以int(cl( int(G )))∩V=?，那么int(cl( int(G )))在(X, Τ)中為包含x的開(kāi)集. 所以對(duì)?x∈X，存在開(kāi)集int(cl( int(G )))∈Τ，使得 x ∈int(cl( int(G)))且{i ∈Z+:int(cl(int(G ))) ∩ Vi≠?}可數(shù).

所以V為U在(X, Τ)中的局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì). 即(X, Τ)為S-仿Lindelof空間.

定理4 若(X, Τ)為T2空間，S-仿Lindelof空間，則X的任一開(kāi)覆蓋有局部可數(shù)半閉加細(xì).

證明：令 U為X的任一開(kāi)覆蓋. 對(duì)?x∈X，任取Ux∈U，由定理 1知，存在開(kāi)子集Vx∈Τ，使得x ∈ Vx? scl( Vx)? Ux，因此集簇V ={Vx:x∈X }為X的開(kāi)覆蓋. 所以集簇 V 有局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì) W ={Wβ:β∈ B}.

下面來(lái)考慮集簇scl(W )={s cl( Wβ) :β∈ B}.

由引理1，集簇scl(W )是局部可數(shù)的. 所以scl(W )是(X, Τ)的局部可數(shù)半閉子集簇，使得，對(duì)?β∈B，存在Ux∈U，使得 scl( Wβ) ? scl( Vx)? Ux. 因此，scl(W )加細(xì)U. 證畢.

定義5 空間(X, Τ)的子集A稱作是X中的αS?仿Lindelof集，若(X, Τ)中任一個(gè)覆蓋A的開(kāi)子集在空間(X, Τ)有局部可數(shù)的半開(kāi)加細(xì).

定義6 空間(X, Τ)中的子集A稱作是g-closed的，若無(wú)論對(duì)于A?U且U?Τ，都有cl( A)?U

定理5 S-仿Lindelof空間的每一個(gè)g-closed 子集是αS?仿Lindelof集.

證明：令(X, Τ)為S-仿Lindelof空間，A是(X, Τ)的一個(gè)g-closed子集. 令集簇U={Uα:α∈ I}是空間(X, Τ)中覆蓋A的開(kāi)子集簇. 因?yàn)?A?∪{Uα:α∈I }且A為g-closed的，所以cl(A)? ∪{Uα:α∈I }. 對(duì)于任一個(gè) x?cl( A)，存在一個(gè)X中的開(kāi)集Wx，使得 A∩Wx=?. 下面令U'={Uα:α∈ I} ∪{Wx:x ?cl( A)}.那么U'是S-仿Lindelof空間(X, Τ)的一個(gè)開(kāi)覆蓋. 所以U'存在局部可數(shù)的半開(kāi)加細(xì)，記H ={Hβ:β∈B}是U'的局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì)，那么對(duì)?β∈B，在α ( β)∈I時(shí)有 Hβ? Uα(β)，或者在x(β)∈B時(shí)有 Hβ? Wx(β).令B'={β ∈ B: Hβ? Uα(β)}，那么H'={Hβ:β∈ B'}是U的局部可數(shù)半開(kāi)加細(xì)，且 A? {Hβ:β∈B'}.因此集合A是αS?仿Lindelof集.

[1] AL-ZOUBI KHALID Y. S-paracompact spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2006, 110 (1-2):165-174.

[2] AL-ZOUBI KHALID Y. s-expandable spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2004,102(3):203-212.

[3] JANKOVIC D S. A note on mappings of extremally disconnected spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 1985, 46(1-2):83-92.

[4] 高國(guó)士, 林 壽. 拓?fù)淇臻g論[M]. 2版. 北京:科學(xué)出版社, 2000.

[5] LI P Y, SONG Y K. Some remarks on S-paracompact spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2008,118(4): 345-355.

(責(zé)任編輯：饒 超)

S-para Lindelof Spaces

GAO Shao-juan1, KANG Su-ling2, TANG Yong-shuai1
(1. College of Information and Management, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China; 2. Department of Mathematics and Physics, Hefei University, Hefei 230601, China)

We introduce the class of S-para Lindelif spaces as a generalization of S-paracompact spaces，and then we characterize S-para Lindelof spaces and study their basic properties.The relationships between S-para Lindelof spaces and regular spaces，S-para Lindelof spaces，αS-para Lindelof spaces are investigated.

Locally countably; S-locally countable; Semi-open refinement; S-para Lindelof

O189.11

A

1009-2854(2011)05-0008-03

2011-03-02

安徽省高等學(xué)校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目(2010SQL158)

高紹娟(1987— ), 女, 湖北黃岡人, 成都理工大學(xué)信息管理學(xué)院碩士研究生;