224200 江蘇省東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 李長春

1 引言

數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條線，一條是數(shù)學(xué)知識教學(xué)的明線，一條是數(shù)學(xué)思想方法滲透的暗線.數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想方法的形成是基礎(chǔ)知識的升華，是將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)引向深入.初中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了掌握必須的“雙基”，還要了解數(shù)學(xué)知識的生成背景和發(fā)生過程，深入體會其中的思想方法，從有形的數(shù)學(xué)知識中探尋無形的數(shù)學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化成“隱形的翅膀”，完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的智慧托舉.

筆者在最近一次送教下鄉(xiāng)活動中執(zhí)教了一節(jié)課——“二次函數(shù)與一元二次方程”(蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊第6.3節(jié))，現(xiàn)以該課的教學(xué)實(shí)錄為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透.

2 教學(xué)片段實(shí)錄與點(diǎn)評

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 發(fā)現(xiàn)問題

(課前，多媒體播放歌曲《隱形的翅膀》，不少學(xué)生跟著旋律哼唱.)

師：李老師來自東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué).今天在時(shí)堰鎮(zhèn)中學(xué)和大家一起交流、學(xué)習(xí)，我有一種特別親切的感覺，為什么這么說呢?

(大屏幕上顯示：東臺市時(shí)堰鎮(zhèn)中學(xué)、東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

師：大家一起將兩個(gè)校名讀一遍.

生(齊讀)：東臺市時(shí)堰鎮(zhèn)中學(xué)，東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué).

師：哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙?

生1：“時(shí)堰”和“實(shí)驗(yàn)”讀音相同.

師：對了!“時(shí)堰”和“實(shí)驗(yàn)”讀音相同，用數(shù)學(xué)的眼光看，“時(shí)堰”和“實(shí)驗(yàn)”讀音不僅相似，而且全等.難道這就是傳說中的“緣分”?

師：我們剛剛學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，請大家思考，在本學(xué)期所學(xué)的內(nèi)容中，有哪個(gè)章節(jié)的內(nèi)容和“二次函數(shù)”特別有“緣分”，聯(lián)系較密切?

生(齊答)：一元二次方程!

師：下面和大家一起來學(xué)習(xí)第6.3節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”.

點(diǎn)評通過兩校校名的讀音相同，引出課題：“二次函數(shù)與一元二次方程”，不僅能拉近師生之間的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還滲透了類比的數(shù)學(xué)思想，暗示著本節(jié)課探究的這兩個(gè)“二次”之間也有著很深的淵源.

2.2 合作交流 探索問題

探究1求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo).

師：請同學(xué)們畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，仔細(xì)觀察拋物線與x軸的公共點(diǎn)情況，它與一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之間有什么聯(lián)系呢?

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.所以二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，0)和(3，0).

經(jīng)過各位同學(xué)在準(zhǔn)備好的網(wǎng)格紙上的畫圖(如圖1)，得出結(jié)論：拋物線與x軸的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)-1，3，即為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

圖1

點(diǎn)評“探究1”從“函數(shù)值為0”著手，溝通了二次函數(shù)與相應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系，①從函數(shù)關(guān)系式看，當(dāng)二次函數(shù)y=x2-2x-3中的函數(shù)值y取特殊值0時(shí)即得到一元二次方程x2-2x-3=0;②從一元二次方程x2-2x-3=0的根的幾何意義看，一元二次方程x2-2x-3=0的兩實(shí)數(shù)根即為二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，也體現(xiàn)了對立統(tǒng)一的辯證思想.

2.3 理性概括 構(gòu)建新知

在老師指導(dǎo)下探究更一般的情形.

探究2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有沒有公共點(diǎn)?如果有，那么有幾個(gè)公共點(diǎn)?并說出公共點(diǎn)的坐標(biāo).

生3：有兩個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)為A(x1，0)，B(x2，0).

注如圖2，老師適時(shí)地把圖1中的A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)換成圖2中的x1和x2，讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行歸納，既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，又能體會到從特殊到一般的思維方式.

圖2

點(diǎn)評學(xué)生經(jīng)歷過“探究1”的特殊問題的探索，已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，歸納出一般性的結(jié)論已經(jīng)水到渠成，通過探索，其重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法上.

師：反過來，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，那么，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況如何?

生4：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x=x1，x=x2.

師：對，這就是說“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，就等價(jià)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2”.而一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況又可以根據(jù)什么式子進(jìn)行判斷呢?

生5：根的判別式.

師：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，則根的判別式的符號如何?

生6：大于 0.

師：正確，我們可以把它們之間的關(guān)系歸納如下表：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?根的判別式的符號b2-4ac＞0

點(diǎn)評把二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)、一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根以及b2-4ac＞0三者關(guān)系由特殊到一般進(jìn)行分析，最后歸納，大有瓜熟蒂落之感!并且三者之間關(guān)系緊密，用“等價(jià)于”符號相連接，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

2.4 實(shí)踐應(yīng)用 類比創(chuàng)新

師：經(jīng)歷了上述探究過程，我們已經(jīng)基本學(xué)會了如何探索二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的情況以及相應(yīng)的一元二次方程根的情況這兩者之間的關(guān)系.下面，請大家分組合作，完成探究，并把本小組討論的最后結(jié)果歸納到數(shù)學(xué)探究報(bào)告單上.

數(shù)學(xué)探究報(bào)告單(一)

數(shù)學(xué)探究報(bào)告單(二)

點(diǎn)評 由于在“探究1”、“探究2”中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了探究問題的方法，故后面的兩個(gè)問題可以放手讓學(xué)生分小組在合作過程中運(yùn)用類比的方法繼續(xù)進(jìn)行探究，老師對有困難的小組適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥，并以數(shù)學(xué)探究報(bào)告單的形式按“由特殊到一般”、“類比”的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納，然后以小組代表匯報(bào)的形式上臺進(jìn)行陳述，老師及時(shí)補(bǔ)充、小結(jié)、鼓勵(lì)，使學(xué)生逐步形成技能.

2.5 歸納小結(jié)提煉升華

師：同學(xué)們，經(jīng)歷了前面三組問題的探究，我們已經(jīng)體會了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

生7：數(shù)形結(jié)合.

生8：分類討論.

生9：從特殊到一般.

生10：類比的思想.

師：這節(jié)課的課題是“二次函數(shù)與一元二次方程”，當(dāng)然蘊(yùn)含函數(shù)思想和方程思想.通過上面的探究，你能把我們剛剛得到的成果完整地歸納一下嗎?

生11：拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程根的判別式Δ之間的關(guān)系(如圖3)：

(1)拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)?Δ＞0;

(2)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)?Δ=0;

(3)拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)?Δ＜0;

筆者拿出一根粗電線做成的“拋物線”，配合生11在黑板上進(jìn)行拋物線的平移演示(主要目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體會拋物線與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù))，然后帶著滿臉的疑惑問：如果拋物線的開口方向向下呢?

生12：同樣的只需要看其與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就能知道相應(yīng)的一元二次方程的解的情況，也即知道根的判別式Δ與0的大小關(guān)系.

點(diǎn)評 讓學(xué)生對照圖形進(jìn)行歸納，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，平移“拋物線”，演示其與x軸的不同位置還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法;通過圖3中的拋物線開口向上的情況進(jìn)行歸納，然后提問開口向下時(shí)有何結(jié)論，體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想方法，在這些數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)和滲透下，讓學(xué)生把探究的過程、形成的結(jié)論進(jìn)行歸納，學(xué)生的感受當(dāng)然很“自然”.

圖3

師：同學(xué)們，課前大家欣賞的是什么歌曲?

生(齊答)：《隱形的翅膀》.

師：大家會唱這首歌嗎?

學(xué)生齊答會唱.

師：今天這一節(jié)課我們運(yùn)用了不少的數(shù)學(xué)思想方法來解決問題，這些數(shù)學(xué)思想方法就像“隱形的翅膀”，能幫助我們解決問題，能使我們的思維自由飛翔.老師將歌曲中的兩句歌詞改動了兩個(gè)字.

(大屏幕上顯示“我看見，每天的‘習(xí)題’也會有變化，我知道，我一直有雙隱形的翅膀”，學(xué)生充滿激情地齊唱.)

師：大家唱得太好了!同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)得“本領(lǐng)”，應(yīng)該到了大顯身手的時(shí)刻了，讓我們試試數(shù)學(xué)思想這個(gè)“隱形的翅膀”，怎樣助你飛翔，請運(yùn)用所學(xué)知識解決下列問題.練習(xí)(略)

3 教學(xué)內(nèi)容的簡略分析

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教材，既保留了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能的系統(tǒng)學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，同時(shí)又充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的背景、知識的發(fā)生與發(fā)展過程，重視蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程中的思想方法.如何處理好“有形”的數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)與“無形”的數(shù)學(xué)思想方法的形成、發(fā)展之間的關(guān)系，讓學(xué)生真正地學(xué)會兩條腿走路，是目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)值得研究的課題!

在本課例中，函數(shù)與方程都是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.研究函數(shù)時(shí)，我們研究的是函數(shù)關(guān)系的表述、函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的應(yīng)用;研究方程時(shí)，我們研究的是不同類型的方程的解法及其應(yīng)用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生深刻體會到兩者之間實(shí)際上是互通的，是一般和特殊的關(guān)系，讓學(xué)生感受到兩者之間“對立統(tǒng)一”的辯證思想，從而達(dá)到三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：

(1)體會二次函數(shù)與一元二次方程之間是一般和特殊的關(guān)系;

(2)理解二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一元二次方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系;

(3)理解一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

筆者對“二次函數(shù)與一元二次方程”這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容處理上以其滲透的數(shù)學(xué)思想方法為主線，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生在合作中探究，在探究中升華.在具體教學(xué)過程中，注重從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系兩個(gè)方面組織學(xué)生進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系、一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根、有怎樣的實(shí)數(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系上來理解兩者之間的關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生通過探索活動，從“發(fā)現(xiàn)”知識的過程中發(fā)展思維能力，掌握兩者關(guān)系.事實(shí)證明，這是一節(jié)設(shè)計(jì)和實(shí)踐都比較成功的課例.

4 教學(xué)方法的理論依據(jù)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，給學(xué)生搭建數(shù)學(xué)實(shí)踐的平臺，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).”評價(jià)一堂數(shù)學(xué)課的質(zhì)量，首先要關(guān)注教學(xué)過程是否揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的精神.這里所說的本質(zhì)與精神，就是數(shù)學(xué)思想方法.由于數(shù)學(xué)思想是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體的對數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)認(rèn)識，是一種隱性的知識，所以學(xué)生要領(lǐng)悟理解并掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，就需要教師精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容，并引領(lǐng)學(xué)生“下水”實(shí)踐，從而提煉歸納，形成技能，學(xué)為所用.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)分三個(gè)層次：首先是引入;其次是引導(dǎo)，讓學(xué)生探索二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)、一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根以及b2-4ac＞0三者的關(guān)系，由特殊到一般進(jìn)行分析、歸納，接著后面的兩個(gè)類似的問題，在類比思想的立意下，放手讓學(xué)生分小組在合作過程中運(yùn)用類比的方法繼續(xù)進(jìn)行探究，并以數(shù)學(xué)探究報(bào)告單的形式分小組陳述探究成果;最后是應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題.三個(gè)層次構(gòu)建了層層深入的探求鏈條，其中知識內(nèi)容是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)載體，沒有載體，也就沒有思想;第二個(gè)探究活動是整個(gè)教學(xué)過程的核心，數(shù)學(xué)思想和方法在這個(gè)過程中也就如同宣紙上的水墨畫一樣慢慢浸潤生成.當(dāng)然在整個(gè)教學(xué)活動中，自始至終都是在凸顯隱形的數(shù)學(xué)思想和方法.充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的三大特點(diǎn)：隱喻性、過程性和概括性.

5 隨感隨想

這節(jié)送教下鄉(xiāng)課，課堂氣氛和諧，師生互動自由，學(xué)生學(xué)得輕松、用得自如，教學(xué)效果明顯.之所以能夠達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，不外乎以下幾點(diǎn)原因：

(1)吃透教材

新課標(biāo)要求授課老師應(yīng)當(dāng)用教材“教”，而不是“教”教材.教師不能認(rèn)為讓教材再現(xiàn)就是完成了教學(xué)任務(wù)，必須根據(jù)具體內(nèi)容、具體學(xué)情，對教材進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，為學(xué)生量身定做，使教材“新鮮出爐”，最大程度地把知識的教學(xué)滲透在培養(yǎng)態(tài)度、能力的過程之中.一節(jié)課的成功離不開教者對教材的“精心”處理.

(2)導(dǎo)課激趣

通過“時(shí)堰中學(xué)”和“實(shí)驗(yàn)中學(xué)”的讀音相同，引出課題“二次函數(shù)與一元二次方程”，可謂獨(dú)具匠心，別出心裁.從課堂氣氛來看，這樣的設(shè)計(jì)能充分激發(fā)學(xué)生的好奇心，有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為漸入課堂佳境做鋪墊，達(dá)到了預(yù)期的效果.(課本的處理是開門見山，直接提問：二次函數(shù)y=x2-2x-3與一元二次方程x2-2x-3=0有怎樣的關(guān)系?)

(3)精選例題

本節(jié)課補(bǔ)充的練習(xí)都具有很強(qiáng)的針對性和代表性.

(4)浸潤思想

在數(shù)學(xué)思想的指引下探究二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)以及一元二次方程x2-2x-3=0的根，通過函數(shù)關(guān)系中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，從而得出拋物線與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即一元二次方程的實(shí)數(shù)根，并依此推廣至一般情形，最后學(xué)以致用.縱覽全課，教者先后滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法以及對立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想等.

1 教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001

2 楊裕前，董林偉.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(九年級上冊)［M］.南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán)，江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2007

3 涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編［M］.南京：江蘇教育出版社，2007

4 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009

5 沈文選，楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008

6 何志平，李海東.立意于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬刊)2011，3