劉 兮，陳華友，周禮剛

（安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230039）

0 引言

自Yager[1]于1988年提出了有序加權(quán)平均（OWA）算子后，OWA算子作為一種數(shù)據(jù)信息集成算子在決策、管理、人工智能、專家系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域迅速得到了很廣泛的應(yīng)用。1999年Yager又提出一種誘導有序加權(quán)平均（IOWA）算子[2]，該算子先是通過誘導變量對數(shù)據(jù)進行排序，然后加權(quán)集成，它是OWA算子的一種推廣形式。最近文獻[3]提出了一種廣義OWA（GOWA）算子，GOWA算子是在OWA算子上增加一個新參數(shù)來控制變量值的變化程度，是OWA算子的拓展。文獻[4]把GOWA算子拓展到直覺模糊環(huán)境，提出了直覺模糊多屬性決策問題的GOWA方法。文獻[5]將GOWA算子和IOWA算子相結(jié)合，提出了誘導廣義有序加權(quán)平均（IGOWA）算子。

在許多現(xiàn)實決策中，由于問題自身的復雜性和信息的模糊、不確定性，決策者往往難以用定量化的方法來描述決策信息，而一般較好的選擇是采用定性的語言形式來表示。需要指出的是，在對決策者的語言評價信息進行集結(jié)時，得到的結(jié)果往往不能夠用預(yù)先定義的語言評價集中的元素來準確表達，只能近似的表示出來，這就造成了信息的損失和集結(jié)結(jié)果的不精確性。為此，西班牙學者Herrera等人于2000年首次提出了關(guān)于語言信息集結(jié)的二元語義分析方法[6]，較好地克服了這類缺陷，同時還提出了基于二元語義有序加權(quán)平均（T-OWA）算子，并將其成功應(yīng)用于多粒度語言信息的多屬性決策之中[7]。文獻[8]提出了二元語義有序加權(quán)幾何（T-OWG）算子，分析了T-OWA算子和T-OWG算子的性質(zhì)。文獻[9]提出了二元語義混合加權(quán)平均（T-HWA）算子，并指出二元語義加權(quán)算術(shù)平均(T-WA)算子和T-OWA算子均為T-HWA算子的特例。文獻[10]將IOWG算子推廣到二元語義中，提出了二元語義誘導有序加權(quán)幾何（T-IOWG）算子，并分析了其性質(zhì)，最后提出一種基于T-IOWG算子的二元語義多屬性群決策方法。本文把GOWA算子和IGOWA算子拓展到二元語義環(huán)境中，提出了二元語義廣義有序加權(quán)平均（T-GOWA）算子和二元語義誘導廣義有序加權(quán)平均（T-IGOWA）算子，并探討了這些算子的一些性質(zhì)和特例，最后基于這些算子，分別在單人決策和群決策這兩種情形下，提出了屬性權(quán)重已知且屬性值為語言信息形式給出的多屬性決策方法。實例分析的結(jié)果表明該方法是有效的和可行的。

1 主要概念和結(jié)論

1.1 二元語義

二元語義是采用一個二元組（sk,ak)來表示語言評價信息的方法，其中元素sk是預(yù)先定義好的語言評價集ST中的第k個元素；ak為符號轉(zhuǎn)移值，且滿足ak∈[ )-0.5,0.5，表示經(jīng)過集結(jié)計算后得到的語言信息與最貼近元素sk之間的差別。這里ST是由奇數(shù)個元素構(gòu)成的有序語言評價集，即T稱為ST的粒度。一般要求ST滿足：（1）有序性：當i≥j時，有（2）存在逆運算算子：，其中j=T-i；（3）極大化運算和極小化運算：當時，有

定義1[6,7]若sk∈ST為語言短語，令函數(shù)：θ(sk)=(sk,0),sk∈ST，則稱θ：ST→ST×[ )-0.5,0.5為語言短語對應(yīng)的二元語義形式的轉(zhuǎn)換函數(shù)。

定義2[6,7]設(shè)β∈[0,T-1]為語言評價集ST經(jīng)某集結(jié)方法得到的實數(shù)，令：

則稱函數(shù) Δ:[0,T-1]→ST×[ )-0.5,0.5為實數(shù)β對應(yīng)的二元語義信息的轉(zhuǎn)換函數(shù)，其中round為四舍五入取整算子。

定義3[6,7]設(shè)(sk,ak)是一個二元語義信息，sk為ST中第k個元素，ak∈[- 0.5,0.5 )，令 Δ-1(sk,ak)=k+ak=β，則稱Δ-1:ST×[- 0.5,0.5)→[0,T-1]為轉(zhuǎn)換函數(shù)Δ的逆函數(shù)。Δ-1的意義在于把二元語義信息轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的實數(shù)。

假設(shè)(sk,ak)和(sl,al)為兩個二元語義，其序關(guān)系滿足[6,7]：（1）若k＞l，則 (sk,ak)＞ (sl,al)，（2）當k=l時，若ak＞al，則(sk,ak)＞(sl,al)；若ak=al，則(sk,ak)=(sl,al)。

1.2 T-GOWA算子和T-IGOWA算子

定義4[6]設(shè){(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)}是一組二元語義信息，w=(w1,w2,…,wn)T為相應(yīng)的權(quán)重向量，且：

則稱Φ為二元語義加權(quán)算術(shù)平均（T-WA）算子。特別地，當wj=1/n,j=1,2,…,n時，則算子Φ退化為二元語義算術(shù)平均算子。

定義5[6]設(shè){(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)}是一組二元語義信息，令：

其中(δ(1),δ(2),…,δ(n))是 (1,2,…,n)的一個置換，使得(sδ(j-1),aδ(j-1))≥(sδ(j),aδ(j)),j=2,3,…,n，且：

ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是與函數(shù) Ω 相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量，，則稱Ω為二元語義有序加權(quán)平均（T-OWA）算子。

定義6[3]設(shè)fω:Rn→R，若：

其中ω=（ω1,ω2,…,ωn）T是與fω相關(guān)的加權(quán)向量,滿足且bj是實數(shù)a1,a2,…,an中按從大到小的順序排列的第j個大的數(shù)，參數(shù)λ∈(0,+∞)，則稱函數(shù)fω是n維廣義有序加權(quán)平均算子,簡記為GOWA算子。

定義7[5]設(shè)為n個二維數(shù)組,gω:Rn→R，若：

則稱函數(shù)gω是由u1,u2,…,un所產(chǎn)生的n維誘導廣義有序加權(quán)平均算子,簡記為IGOWA算子,uj稱為aj的誘導值。其中u-index(j)是u1,u2,…,un中按從大到小的順序排列的第j個大的數(shù)所對應(yīng)的下標,ω=（ω1,ω2,…,ωn）T是與IGOWA算子相關(guān)的加權(quán)向量,滿足j=1,2,…,n，參數(shù)λ∈(0,+∞)。

定義8設(shè){(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)}是一組二元語義信息，若其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是與函數(shù)?相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量，，參數(shù)λ∈(0,+∞)，且是按照序關(guān)系確定的(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)中第j大的元素，則稱?為二元語義廣義有序加權(quán)平均（T-GOWA）算子。

由定義8可得到以下幾個結(jié)論：

(1)當λ=1 時，有則T-GOWA算子轉(zhuǎn)化為 T-OWA算子；

(2)當λ→0+時，有，則T-GOWA算子轉(zhuǎn)化為 T-OWG算子。

顯然，由定義9也可得到以下幾個結(jié)論：

(1)當λ=1時，有，則T-IGOWA算子轉(zhuǎn)化為T-IOWA算子；

(2)當λ→0+時，有則 T-IGOWA 算子轉(zhuǎn)化為T-IOWG算子。

1.3 T-GOWA算子和T-IGOWA算子的性質(zhì)

關(guān)于T-GOWA算子，具有如下的性質(zhì)：

性質(zhì)1(置換不變性)設(shè)(s′1,a′1),(s′2,a′2),…,(s′n,a′n)是(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)的任一置換，那么集結(jié)二元語義信息所得結(jié)果與集結(jié)的先后次序無關(guān)，即：

性質(zhì)2(冪等性)設(shè)(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)是一組二元語義信息，若對?j，有(sj,aj)=(s,a)，則：

?[(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)]=(s,a)證明：因為對 ?j，有 (sj,aj)=(s,a)，則，則：

性質(zhì)3(單調(diào)性)設(shè)(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)和(s′1,a′1),(s′2,a′2),…,(s′n,a′n)是兩組二元語義信息，在權(quán)重向量ω不變的情形下，若對 ?j，有 (sj,aj)≥(s′j,a′j)，則：

證明：由于：

兩邊取自然對數(shù)可得：

再兩邊對Δ-1(s·j,a·j)求導可得：

又因為對 ?j，有 (sj,aj)≥(s′j,a′j)，可得則

故：

性質(zhì)4設(shè)?為T-GOWA算子，且?=?(λ)，λ1≥λ2，則：?(λ1)≥?(λ2)

性質(zhì)5(有界性)T-GOWA算子介于max算子和min算子之間，即：

故結(jié)論成立。

可以證明T-IGOWA算子也存在與T-GOWA算子類似的性質(zhì)，只是運算法則不同，限于篇幅，這里不再贅述。

2 2T-GOWA算子和T-IGOWA算子的應(yīng)用

下面基于T-GOWA算子和T-IGOWA算子，對屬性權(quán)重已知且屬性值以二元語義信息形式給出的多屬性決策方法進行探討：

2.1 T-GOWA算子在單人決策的應(yīng)用

在單人決策的情況下，我們給出一種基于T-GOWA算子的多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1：對于某一多屬性決策問題，設(shè)A={A1,A2,…,Am}為方案集，G={G1,G2,…,Gn}為屬性集，屬性權(quán)重向量為決策者對方案Ai按照預(yù)先定義好的語言評價集…,T-1}}關(guān)于屬性Gj進行測度，得到屬性值rij(rij∈ST)，從而構(gòu)成決策矩陣R=(rij)m×n

步驟2：利用權(quán)重向量w和決策矩陣R=(rij)m×n得到加權(quán)二元語義決策矩陣，其中

步驟3：利用T-GOWA算子對R按行進行集結(jié)，得到各方案的綜合屬性值

步驟4：根據(jù)二元語義的序關(guān)系對各方案綜合屬性值Li(ω)進行方案的排序和選優(yōu)。

2.2 T-IGOWA算子在群決策的應(yīng)用

在大型決策或者重要決策的過程中，為體現(xiàn)決策的民主性和合理性，往往需要多個決策者共同參與，下面給出一種基于T-IGOWA算子的多屬性群決策方法，具體步驟如下：

步驟1：設(shè)A、G分別為方案集和屬性集，屬性權(quán)重向量為,d2,…,dt}為決策者集，τ={τ1,τ2,…,τt}是t位決策者的權(quán)重向量，設(shè)決策者dk∈D給出方案Ai∈A在屬性Gj∈G下的屬性值，從而構(gòu)成決策矩陣

步驟2：利用T-WA算子和權(quán)重向量w=[w1,w2,…,wnT]對R(k)中第i行進行集結(jié)，得到?jīng)Q策者dk對方案Ai的綜合屬性值

步驟3：利用T-IGOWA算子對t位決策者給出的方案Ai的綜合屬性值進行集結(jié)，得到方案Ai的群體綜合屬性值

其中 (rτ-index(l),aτ-index(l))是τ1,τ2,…,τt中第l大的元素所對應(yīng)的二維數(shù)組中的第二個分量ω=(ω1,ω2,…,ωt)T是與T-IGOWA算子相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量參數(shù)λ∈(0,+∞)由決策者根據(jù)實際情況預(yù)先選擇確定。

步驟4：根據(jù)二元語義的序關(guān)系對各方案綜合屬性值Li(τ,ω)進行方案的排序和選優(yōu)。

3 實例分析

某個風險投資公司進行項目投資評估，有4個備選企業(yè)Ai(i=1,2,3,4)，4個評價屬性Gj(j=1,2,3,4)（屬性分別為風險因素、成長因素、社會政治影響因素和環(huán)境影響因素），屬性權(quán)重為w=(0 .25,0.3,0.2,0.25)T。該公司聘請三位專家dk(k=1,2,3)參與決策分析，專家權(quán)重為τ=(0.3,0.5,0.2)，利用語言評價集所得語言評估矩陣為：

下面利用2.2提出的方法進行方案排序：

步驟1：利用T-WA算子和權(quán)重向量w=(0.25,0.3,0.2,0.25)T對R(k)中第i行進行集結(jié)，得到?jīng)Q策者dk對方案Ai的綜合屬性值

步驟2：再利用T-IGOWA算子對t位決策者給出的方案Ai的綜合屬性值進行集結(jié)，這里與T-IGOWA算子相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量為ω=(0 .3,0.4,0.3)T，專家權(quán)重為τ=(0.3,0.5,0.2)，得到各方案Ai的群體綜合屬性值：

當參數(shù)λ取一些特殊值時，Ai的群體綜合屬性值如表1。步驟3：根據(jù)二元語義的序關(guān)系，得到方案排序如表2。可見最優(yōu)方案為A4。

表1

表2

4 結(jié)束語

本文針對二元語義信息的集結(jié)問題，將傳統(tǒng)的GOWA算子和IGOWA算子進行拓展，提出了一些新的集結(jié)算子：二元語義廣義有序加權(quán)平均（T-GOWA）算子和二元語義誘導廣義有序加權(quán)平均（T-IGOWA）算子，探討了這些算子的性質(zhì)和特例，并把它們應(yīng)用于屬性權(quán)重已知且屬性值為語言信息形式給出的多屬性決策中。該決策方法不僅充分考慮了各決策者的重要性，而且參數(shù)的不同使決策者能夠有更寬泛的選擇，具有很好的實用價值。

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