譚超強(qiáng)

(汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063)

在Rd空間中，如果測度為Lebesgue測度，那么經(jīng)典的奇異積分算子是指滿足以下條件的算子

(i) 算子T是L2有界的線性算子；

經(jīng)典的理論告訴我們算子T是弱(1,1)的，即滿足如下的分布不等式

其中λ>0

隨著調(diào)和分析理論發(fā)展，我們發(fā)現(xiàn)有很多算子是不滿足Hormander條件[1-5]，但是他們依然滿足弱(1,1)不等式估計(jì)。為了把經(jīng)典的奇異積分算子理論應(yīng)用到這些算子上，Duong等[6]定義并發(fā)展一套新型的奇異積分算子理論，將上述光滑性條件減弱，并且仍然得到了算子的弱(1,1)估計(jì)。下面我們簡單介紹他們的結(jié)論。

命題1 假定測度μ滿足雙倍測度條件，算子T是L2(μ)上的有界線性算子，其核函數(shù)為k(x，y)。假設(shè)存在一系列積分算子At，t>0，滿足上述條件，并且假定算子TAt對應(yīng)的核函數(shù)為kt(x，y)，它滿足如下的性質(zhì)

他們還證明了上述定理所對應(yīng)的算子類包含了經(jīng)典的奇異積分算子，即經(jīng)典的奇異積分算子是他們的特殊情形，因此他們推廣了經(jīng)典的奇異積分算子理論。但是我們要指出的是，他們的命題要求測度μ滿足雙倍測度條件。

一個(gè)自然的問題是對于非雙倍測度來說，是否存在類似的理論。我們知道非雙倍測度空間上的奇異積分算子理論是近年來調(diào)和分析領(lǐng)域里的熱門課題，經(jīng)過Tolsa、Nazarov、Treil和Volberg等[7-12]的研究，經(jīng)典的奇異積分算子理論的大部分結(jié)論能推廣到非雙倍測度空間上，譬如在文獻(xiàn)[7]中，Tolsa證明了滿足大小條件和光滑性條件的奇異積分算子滿足弱(1,1)估計(jì)。本文的主要目的是在非雙倍測度空間上建立類似于Duong等條件的奇異積分算子理論，給出算子的弱(1,1)估計(jì)。我們指出如果測度是Lebesgue測度，那么我們所定義的新型奇異積分算子與Duong等所定義的是一致的。

1 定理的提出

μ(Q(x，r))≤C0rn對任意的x∈Rd，r>0成立

(1)

其中n為滿足0

給定α>1和β>αn，方體Q?Rd稱為(α，β)-雙倍如果它滿足μ(αQ)≤βμ(Q)，其中αQ為與Q同心且邊長為其α倍的方體。中心極大算子Mμ定義如下

(2)

眾所周知，中心極大算子Mμ是L2(μ)有界的。

我們假設(shè)存在一系列積分算子At，t>0，算子At的核為αt(x，y)在如下的意義下成立

并且核αt(x，y)滿足如下的估計(jì)

|αt(x，y)|≤ht(x，y)=C1p(y，t)·

(3)

定理1 假定測度μ滿足增長性條件(1)，算子T是L2(μ)上的有界線性算子，其核函數(shù)為k(x，y)。假設(shè)存在一系列積分算子At，t>0，滿足上述條件(3)，假定算子TAt對應(yīng)的核函數(shù)為kt(x，y)，它滿足如下的性質(zhì)

(4)

2 定理1的證明

為證明定理1，我們先給出如下幾個(gè)引理：

引理1 假設(shè)函數(shù)f∈L2(μ)，那么如下的結(jié)論成立

(5)

進(jìn)一步，對任意的y′Q(y，t1/m)，有

(6)

注意到對任意的y′∈Q(y，t1/m)，有Q(y，2k+2t1/m)?Q(y′，3·2kt1/m)?Q(y，2kt1/m)，因此

Cp(y，t)Mμf(y′)

下面的引理是對應(yīng)于非雙倍測度的Calderon-Zygmund分解，其證明由Tolsa給出[7]。

引理2 假定測度μ滿足增長性條件(1)。那么存在常數(shù)C，對任意f∈L1(μ)和任意的λ>2d+1‖f‖L1(μ)/μ(Rd)，下面的結(jié)論成立。

(c) |f|≤λa.e.(μ) 在Rd∪iQi上。

(d)supp(φi) ?Ri,且在其支集上恒為常數(shù)；

定理1的證明：

不失一般性，我們可假定定理1中的常數(shù)c2=1。設(shè)f∈L1(μ)，若λ≤2d+1‖f‖L1(μ)μ(Rd)，定理1顯然成立，因此我們可假定λ≤2d+1‖f‖L1(μ)/μ(Rd)。令Ri為形式為Ri=6kQi，k≥1的最小的(6，6n+1)-雙倍方體，根據(jù)引理2，我們可以把函數(shù)f分解為f=g+b，且滿足下面的性質(zhì)：

根據(jù)引理2的性質(zhì)(a)，有

因此只需證明

根據(jù)引理2，我們易知|g|≤Cλ，根據(jù)算子T的L2有界性，我們有

μ(x∈Rd∪i2Qi：|Tg|>λ/2)≤

令ti=(l(Qi))m，我們做如下的分解

Tbi(x)=TAtibi(x)+T(I-Ati)bi(x)

下面首先證明：

(fwi)(y)|dμ(y)dμ(x)≤

并且類似地有

根據(jù)算子T的L2(μ)有界性，Ri為(6，6n+1)-雙倍方體，引理1和引理2的性質(zhì)(g)，有

從而得到

最后，我們只需證明

(7)

注意到

(8)

根據(jù)式(3)以及bi=fwi-φi，我們有

Ⅰ+Ⅱ

(9)

根據(jù)引理1的式(6)，對變量y′∈Qi進(jìn)行積分，得

又

結(jié)合I、II、式(8)和式(9)的估計(jì)，我們便得到式(7)的證明，從而得到定理1的證明。

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