蔡涵鵬 賀振華 李 瑞 黃德濟

（油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室（成都理工大學），成都610059）

Zoeppritz方程精確地描述了平面波反射系數(shù)與入射角的關(guān)系［1］。求解Zoeppritz方程矩陣獲得的解析表達式十分復雜，不利于通過解析式分析各參數(shù)對反射系數(shù)變化的影響，大多數(shù)振幅隨 炮 檢 距 變 化 （amplitude－variation－with－offset，AVO）的研究都是利用兩項AVO反演方法實現(xiàn)［2］，例如 國外學 者 Shuey、Smith 和 Gidlow、Fatti等相繼提出的兩項 AVO近似方程［3－6］，然而這些兩項AVO近似式均是Aki－Richards對Zoeppritz方程中P－P波反射系數(shù)方程近似的進一步近似。盡管Aki－Richards近似式忽略了非線性的因素，但為了獲得新的兩項AVO反演方法和進行兩項 AVO分析，仍然假設(shè)Aki－Richards反演方法能夠獲得精確的P－P波反射系數(shù)。所有的線性兩項AVO反演方法推導的基礎(chǔ)都是Aki－Richards提出的三項近似式，僅在于約束條件存在差異，因此，所有簡化的線性兩項AVO反演方法之間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系。本文從常用兩項AVO反演方法的表達式出發(fā)，利用解析的方法分析兩項AVO近似反演結(jié)果與Aki－Richards近似反演結(jié)果的關(guān)系，證實兩項AVO反演結(jié)果相互轉(zhuǎn)化的可行性，分析推導新的兩項AVO方法的可能性，闡述提高兩項AVO反演精確度的校正方法，分析新方法在實際地震數(shù)據(jù)AVO分析的應(yīng)用效果。

1 常用兩項AVO近似式

假設(shè)地下有一反射界面，界面上層介質(zhì)和下層介質(zhì)的密度和縱波、橫波速度分別為和則 Aki－Richards近似式［7］為

式中：θ1為入射角；RPP為縱波激發(fā)縱波接收時的反射界面的反射系數(shù)；θ為入射角和透射角的平均值為縱波速度變化率為橫波速度變化率為反射界面兩側(cè)密度變化率為橫波與縱波速度比，γ＝

在實際研究中，三參數(shù)的Aki－Richards近似式通常都被數(shù)值不穩(wěn)定性困擾，減少參數(shù)的維數(shù)可使得反演結(jié)果更加穩(wěn)健，因此，Aki－Richards近似式被一系列的兩項近似式進一步簡化。

Shuey（1985）利用曲線擬合法，擬合反射波振幅隨入射角度變化的曲線，獲得截距（A）和梯度（G ）的信息［3］，表達式如下

（2）式適用于入射角度在0°～30°范圍內(nèi)進行AVO分析，即僅僅適用于小入射角度的AVO分析。

Smith和 Gidlow［5］（1987）利用速度與密度的關(guān)系（Gardner關(guān)系式）［8］，使用RP替代Rρ估算RP和RS，獲得表達式

此近似式雖然對角度的范圍沒有限制，但是速度與密度必須滿足經(jīng)典Gardner關(guān)系的條件，否則估算的結(jié)果誤差較大。

Fatti等（1994）根據(jù)與估計的參數(shù)縱波阻抗變化率（RI）和橫波阻抗變化率（RJ）相比，反射界面兩側(cè)密度變化率（Rρ）的影響可以忽略不計的假設(shè)，獲得表達式［6］

（4）式的推導假設(shè)了密度變化率的影響可以忽略，密度的信息主要蘊含在大角度的道集中，因此（4）式與（2）式一樣，不宜用于大角度的AVO分析。

在不同的假設(shè)前提下，簡化的兩項AVO近似式估算出了參數(shù)的不同近似值；但是，由于他們簡化的基礎(chǔ)公式都是Aki－Richards近似式，最基本的信息來源都是相同的。因此，根據(jù)假設(shè)前提，利用約束條件推導適當?shù)墓绞沟貌煌剖焦浪銋?shù)能夠?qū)崿F(xiàn)互相轉(zhuǎn)換。

2 等效性分析及新方法

理解各種兩參數(shù)AVO反演方法的內(nèi)在聯(lián)系，有助于改進兩參數(shù)反演方法。由于兩參數(shù)AVO反演僅僅包含2個未知數(shù)，利用2個角度（θ＝0和θ＝θmax）處的反射地震數(shù)據(jù)能夠解析完成相應(yīng)的兩項AVO參數(shù)反演［9］，也就是意味著在θ＝0和θ＝θmax處，利用兩項AVO獲得反射系數(shù)和三項Aki－Richards表達式獲得反射系數(shù)值相等，例如對于Smith－Gidlow方法，在給定的2個角度處，有如下的關(guān)系式成立

（5）式和（6）式中沒有上標的RP、RS和Rρ為利用三參數(shù)Aki－Richards近似式估算的結(jié)果。以下所有公式中，沒有上標的參數(shù)均為三參數(shù)Aki－Richards近似式估算的結(jié)果。

聯(lián)立求解方程式（5）和（6），得到

（7）和（8）式中均包含有RP－4Rρ，即當反射界面兩側(cè)的縱波速度變化率等于其密度的變化率的4倍時，應(yīng)用Smith－Gidlow近似方法反演結(jié)果與Aki－Richards三參數(shù)近似式反演結(jié)果是一致的。

同理可獲得，其他近似式反演結(jié)果與Aki－Richards三參數(shù)近似式反演結(jié)果的關(guān)系。

對于Fatti近似式有

（9）式表明，利用Fatti近似式可以獲得與Aki－Richards三參數(shù)近似式反演一致的縱波反射率。誤差表達式（10）表明，在γ確定時，選擇合適的最大角度（最大角度小于臨界反射角度）可以減少利用Fatti近似式估算橫波變化率的誤差，從而提高估算的RFattiJ的精確度。

對于Shuey近似式有

（11）式表明利用Shuey近似式計算的截距其物理含義為縱波反射率，且與Aki－Richards三參數(shù)近似式估算的縱波反射率一致。（12）式表明應(yīng)用Shuey近似式獲得梯度信息中包含縱波反射率、橫波反射率和密度變化率的信息。（12）式等號右邊的第3項與（10）式等號右邊的第2項具有相同的物理含義及作用。

（7）～（12）式表明，用于AVO反演的γ值和θmax在給定或者估計出的情況下，兩項AVO反演結(jié)果都與Aki－Richards三項近似結(jié)果有直接的關(guān)系，能夠相互轉(zhuǎn)換。值得注意的是，（7）～（12）式僅僅對于應(yīng)用2個炮檢距數(shù)據(jù)進行參數(shù)反演是精確的成立，然而通常在實際資料的情況中，為了壓制噪聲干擾，需要利用多個炮檢距的地震道集。從（8）、（10）和（12）誤差表達式可以發(fā)現(xiàn)，在常用的兩項AVO近似式估算參數(shù)結(jié)果基礎(chǔ)上，通過局部的校正可以獲得更加精確的參數(shù)估計，通過修正誤差表達式可以獲得用于AVO分析新的兩項AVO近似式。

Fatti近似在近炮檢距范圍內(nèi)與Aki－Richards近似較接近，而Smith－Gidlow近似在遠偏移距（接近臨界角）范圍與Aki－Richards近似較接近。近炮檢距反射系數(shù)主要受縱波速度變化率控制，中等角度主要受橫波速度變化率控制，因此，綜合提高橫波反射率精確度的方法和利用Rρ≈RI／5（Gardner關(guān)系式），以及 Fatti近似和Smith－Gidlow近似的優(yōu)點，推導出與方程式（3）和（4）類似的新的兩項AVO表達式［10］

應(yīng)用前面提到的兩點解析法可以得到

（14）式表明，RJ估算的誤差項中包含了Fatti近似和Smith－Gidlow近似中減小RJ估算的相應(yīng)項。選取較大的入射角度（小于臨界反射角度），或者修正縱波反射率與速度變換率的關(guān)系，能夠提高RJ估算精確度。RJ精確的估算是非常重要的，例如在流體識別、巖性識別中的應(yīng)用，在獲得AVO屬性上，進一步進行波阻抗反演處理等［11］。更重要的是，（14）式清晰地顯示該近似式在密度變化率較大的情況下非常有用，例如，當用Rρ代替Rρ－RI／5時，即反射界面兩側(cè)縱波反射率等于反射界面兩側(cè)密度的變化率的5倍，（14）式與（10）式等價，此時代表最大的密度變化率，因此稱（13）和（14）式中上標L－ρ為適應(yīng)于密度較大變化率情況近似方法的標記。

根據(jù)含氣砂巖的分類，設(shè)計4個上覆巖性為泥巖和下伏巖性為含氣砂巖的2層單一界面模型，4個模型的彈性參數(shù)見表1，模型的彈性參數(shù)來自于參考文獻［12，13］。4種含氣砂巖的模型中，頁巖和含氣砂巖的密度差異都較大。對于不同種類的含氣砂巖模型，利用不同的兩項AVO近似式計算的反射系數(shù)結(jié)果對比見圖1。圖1的結(jié)果證實，即使在上覆頁巖與含氣砂巖密度差異較大的情況下，無論是在近角度（近偏移距）還是遠角度（遠偏移距，但小于臨界角反射偏移距），新的近似式計算的反射系數(shù)較其他幾種近似式計算的反射系數(shù)與Aki－Richards提出的三項AVO近似計算的反射系數(shù)更接近；即模型分析證實，在入射角小于臨界角的前提下，結(jié)合Fatti近似和Smith－Gidlow近似優(yōu)點的近似式既適合于小偏移距的AVO分析，也滿足大偏移距AVO分析的需求，因此稱（13）式為全偏移距近似式（full－offset approximation）。

表1 4類含氣砂巖與頁巖模型彈性參數(shù)Elastic parameters of four types of gas sand and shale models

由于全偏移距近似式包含有Smith－Gidlow近似式中使用的Gardner關(guān)系式假設(shè)，即速度與密度具有正相關(guān)的性質(zhì)。然而在設(shè)計的第2類含氣砂巖模型中，反射界面上下巖性的縱波速度與密度的關(guān)系不滿足Gardner關(guān)系式，密度變化率絕對值約等于縱波速度變化率的2倍，并且密度的變化率主要影響大角度的反射系數(shù)；因此，應(yīng)用全偏移距近似式計算的結(jié)果在入射角度超過30°后，與Aki－Richards提出的三項AVO近似結(jié)果具有較大的誤差。在設(shè)計的第1、第3和第4類含氣砂巖模型中，縱波速度變化率約等于密度變化率的3倍，與經(jīng)典的Gardner關(guān)系式接近，即密度變化率與縱波速度變化率的關(guān)系直接影響著全偏移距近似結(jié)果與 Aki－Richards提出的三項AVO近似結(jié)果的相似程度。因此，對于ΔvP／vP≠4Δρ／ρ（Δ表示梯度或者微分計算）的情況，尤其是與Gardner關(guān)系式相差甚遠的情況時，對估算參數(shù)進行校正是有必要的。

3 局部校正方法

雖然全偏移距近似式能較好地適應(yīng)大角度的AVO分析，但是該近似與Smith－Gidlow近似具有同樣的前提假設(shè)，包含經(jīng)典的Gardner提出的速度與密度的關(guān)系，因此應(yīng)用Gardner關(guān)系式可以局部地校正估算參數(shù)的結(jié)果。根據(jù)Gardner關(guān)系通用形式ρ＝αv1／βP（α和β為實系數(shù)，由聲波和密度測井曲線分析獲得），和微分性質(zhì)得到

圖1 不同近似式計算的反射系數(shù)對比Fig.1 Comparison of the calculated reflection coefficients from different approximate formulas

（7）、（8）和（14）式是β＝4的典型情況。由（15）的關(guān)系式，將（7）、（8）和（14）式分別改寫成包含β為變量的表達形式

為了將β＝4估算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為β≠4的估計結(jié)果，需要對（7）、（8）和（14）估算參數(shù)進行校正。（16）式除以（7）式消除RI，獲得基于Smith－Godlow近似式估算的縱波速度變化率參數(shù)校正表達式

（17）式與（8）式相減消除RJ，獲得 Smith－Godlow近似式估算橫波速度變化率結(jié)果校正表達式

同理，（18）式與（14）式相減消除RJ，整理獲得基于全偏移距近似式估算的橫波反射率校正表達式

（19）、（20）和（21）這3個表達式就允許利用Gardner關(guān)系對AVO反演獲得的參數(shù)進行合理修正。由于以上各個校正表達式的推導均建在速度與密度滿足Gardner關(guān)系式的基礎(chǔ)上，Gardner關(guān)系式適用于砂泥巖地層，故利用（19）、（20）和（21）式可以完成砂泥巖地層AVO分析結(jié)果的校正。值得注意的是Gardner關(guān)系式隱含著速度與密度成正相關(guān)的關(guān)系，因此，在應(yīng)用以上校正表達式時，應(yīng)該首先通過測井或者巖石物理資料分析速度與密度的關(guān)系，否則可能獲得與期望相反的結(jié)果。例如巖石物理測試分析證實裂縫性的碳酸鹽巖地層速度與密度可能成負相關(guān)，而孔隙性的碳酸鹽地層速度與密度的關(guān)系與Gardner關(guān)系式有著較好的對應(yīng)［14］。

4 實例分析

實例分析數(shù)據(jù)來自于Hampson Russell軟件AVO模塊的測試數(shù)據(jù)。圖2為2個原始共中心點角度道集（common middle point），在1.33s附近具有明顯的AVO異常信息特征。圖3為該地區(qū)1口鉆井縱波速度與密度的交匯圖。根據(jù)Gardner關(guān)系式的形式獲得密度與縱波速度的關(guān)系為：ρ＝0.4855×，即進行局部較正時，校正公式中β＝5.13。圖4為原始角度道集疊加剖面。常規(guī)疊加剖面中僅僅能識別位于1.33s附近的穹窿構(gòu)造特征信息，其他地質(zhì)特征信息（如斷層、1.46s附近疊瓦狀沉積）難以識別。

圖2 原始角度道集Fig.2 Original angle gather

圖3 縱波速度與密度的交匯圖Fig.3 Compressional velocity versus density

加權(quán)疊加技術(shù)在AVO反演中占有一定的位置。AVO反演中的加權(quán)疊加就是根據(jù)做完動校正后的共中心點道集上出現(xiàn)的AVO信息估算反射界面兩側(cè)地層參數(shù)相對變化率（RP、RS、Rρ、RI、RJ等）的定性分析方法，具有計算速度快、不受其他方法（如非線性反演）中遇到的多個局部極小的困擾、不需要知道實際子波等優(yōu)點，因此，本文計算縱波阻抗反射率和橫波阻抗反射率采用加權(quán)疊加技術(shù)。由于全偏移距兩項AVO近似較其他兩項AVO近似公式更加適合于更大的角度（不超過臨界角度），采用公式（13）計算加權(quán)系數(shù)。利用加權(quán)疊加技術(shù)獲得的縱波阻抗反射率和橫波阻抗反射率剖面見圖5和圖6?？v波阻抗反射率和橫波阻抗反射率剖面分別相當于縱波和橫波的零炮檢距疊加剖面。比較圖5和圖4，可以發(fā)現(xiàn)估算的縱波阻抗反射率剖面比動校正后的CMP疊加剖面具有更高的分辨率、更多的地質(zhì)特征結(jié)構(gòu)信息（如斷層、疊瓦狀構(gòu)造，圖4中箭頭處）。

圖4 原始角度道集疊加剖面Fig.4 Stack section from original angle gather

圖5 縱波阻抗反射率剖面Fig.5 Reflectivity of P impedance

圖6 橫波阻抗反射率剖面Fig.6 Reflectivity of S impedance

圖7 校正后的橫波阻抗反射率剖面Fig.7 Reflectivity of S impedance after calibration

圖7為圖6中橫波阻抗反射率剖面利用公式（20）校正后的橫波阻抗反射率剖面。在圖7中，斷層成像較圖6中的成像清晰（如圖7中黑色虛線橢圓內(nèi)箭頭標注處）。因此，通過合適的局部校正方法可以改善反射率剖面的成像質(zhì)量，提高解釋的準確性，也證實了局部校正的重要性。

5 結(jié)論與認識

兩項AVO反演方法具有等效的信息成分，不意味著所有兩項AVO方法均給出相同的反演結(jié)果，而是在入射角度小于臨界角的條件下，應(yīng)用合適的轉(zhuǎn)化公式，可以實現(xiàn)不同方法反演結(jié)果之間互相轉(zhuǎn)換。利用不同兩項AVO近似式與Aki－Richards近似式之間的誤差表達式導出的、結(jié)合經(jīng)典Fatti和Simth－Gidlow近似方法優(yōu)點的全偏移距兩項AVO近似方法，可以更加精確地估算橫波阻抗反射率，特別適合于反射界面兩側(cè)密度具有較大變化率情況。此外，對于隱含有Gardner關(guān)系式的兩項AVO反演結(jié)果，應(yīng)用局部校正方法前應(yīng)該首先分析地層密度與速度的關(guān)系，確定是否應(yīng)該通過局部校正來改善地質(zhì)結(jié)構(gòu)的成像質(zhì)量，提高解釋的精度。

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