黃傳志，曹永華，楊京方

（中交天津港灣工程研究院有限公司，港口巖土工程技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津市港口巖土工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222）

邊坡穩(wěn)定性分析問題是巖土工程中的主要問題之一。無論是人工邊坡、還是天然邊坡，滑坡的情況均是在三維條件下發(fā)生的，因此，三維邊坡問題的研究越來越受到重視。相關(guān)的研究成果已有許多文獻(xiàn)介紹[1-6]。盡管三維穩(wěn)定分析具有重要意義，但是，有關(guān)的穩(wěn)定分析方法和程序開發(fā)方面的工作還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需要，大部分研究工作都僅限于學(xué)術(shù)領(lǐng)域，未見實(shí)際應(yīng)用[7]。所有的三維分析程序都存在引入大量假定的缺欠[7]。研究的方法大多是二維問題的條分法推廣到三維問題的條柱法。盡管經(jīng)過多年的發(fā)展，但條柱法并未像二維問題的條分法那樣成熟，在實(shí)際工程中也未普遍應(yīng)用[8]?？梢哉f這是國內(nèi)外學(xué)者的普遍看法，也是三維邊坡穩(wěn)定性分析研究的基本現(xiàn)狀。

很顯然，“存在引入大量假定的缺欠”的原因是對(duì)三維邊坡穩(wěn)定問題所應(yīng)當(dāng)滿足的基本方程研究不足。最近，李樹奇[9]等人提出了一套對(duì)三維邊坡穩(wěn)定問題普遍適用的基本方程，只需要和二維問題一樣引入一個(gè)假定條件就能獲得具體的分析方法；并基于類似二維問題簡(jiǎn)化Bishop法的假定，得出了一種分析方法。

眾所周知，最早建立的邊坡穩(wěn)定性分析方法是二維問題的簡(jiǎn)單條分法（Fellenius法），這一方法獲得了廣泛的應(yīng)用。本文將基于類似二維問題簡(jiǎn)單條分法的假定，得出三維邊坡穩(wěn)定分析的一種方法，并討論方法的應(yīng)用問題。

1 基本方程

眾所周知，邊坡穩(wěn)定問題采用屈服條件：

取垂直坐標(biāo)（z坐標(biāo)）向下為正，文獻(xiàn) [9]得出以下基本方程。

1.1 曲面上一點(diǎn)的應(yīng)力關(guān)系

其中：

式中：fx、fy、fz分別為平行于坐標(biāo)軸x、y、z的應(yīng)力；σx、σy、σz、τxy、τxz、τyz為應(yīng)力分量；hx′、hy′為空間曲面 z=h（x，y）（可能的滑動(dòng)面） 的一階偏導(dǎo)數(shù)；σ、τ分別為法向應(yīng)力、剪應(yīng)力；α為由剪應(yīng)力的方向余弦引出，是剪應(yīng)力在水平面上投影與x坐標(biāo)軸的夾角，也是滑動(dòng)面上任意一點(diǎn)的水平破壞方向的方向角。

1.2 土柱上力的平衡方程

設(shè)邊坡表面方程為：z=s（x，y），s（x，y）≤h（x，y）。有：高度為h-s、截面積為d x d y的土柱上力的微分平衡方程：

式中：Ex、Txy、Ey、Txz、Tyz分別為土柱間的柱間力，Ex=w是高度為h-s、截面積為單位面積的土體重力，px、py、pz分別為作用在邊坡表面的x、y、z方向應(yīng)力。

1.3 力矩平衡方程

在曲面 z=h（x，y）與邊坡表面 z=s（x，y）圍成的封閉區(qū)域Ω內(nèi)，力矩平衡方程的一般組合形式為：

式中：A1、A2、A3為任意常數(shù)；xR、yR、zR為取矩點(diǎn)坐標(biāo)。將式 （6） 改寫為：

容易看出：Mxz是平行于oxz坐標(biāo)面（y=0平面）的力產(chǎn)生的力矩之和；Myz是平行于oyz坐標(biāo)面（x=0平面） 的力產(chǎn)生的力矩之和；Mxy是平行于oxy坐標(biāo)面（z=0平面）的力產(chǎn)生的力矩之和；所以A1、A2、A3是平行于3個(gè)坐標(biāo)面的力產(chǎn)生的力矩之和的組合系數(shù)，其意義是明確的。

2 分析方法的一般計(jì)算公式

由庫侖屈服條件，式（2）可寫為：

式中：cu=c-u tanφ

而由式（2）、式（5），有：

將式（9）、（10） 代入力矩平衡方程（6），整理得：

并略去δF（假定δF=0），就得出安全系數(shù)的一般計(jì)算公式：

式中：MR、M0分別為抗滑力矩、滑動(dòng)力矩。

如果A1=A2=A3=1，則這一分析方法就是基于對(duì)空間一點(diǎn)（xR、yR、zR）力矩平衡方程的方法。

分析方法的假定條件只有一個(gè)：δF=0，這相當(dāng)于假定：

另外，在計(jì)算公式中，除含有可以適當(dāng)選定的滑動(dòng)面外，還有一個(gè)需要確定的α。對(duì)于滑動(dòng)面上的任意一點(diǎn)，α可能都是不同的，或者說破壞方向可能是不同的；這是三維邊坡穩(wěn)定問題需要解決的一個(gè)問題。

下面，以常見的邊坡形式為例，說明這一分析方法的應(yīng)用。

3 坡頂局部區(qū)域作用荷載二維邊坡

3.1 計(jì)算公式

二維邊坡的坡頂局部區(qū)域作用荷載（圖1），這是工程中常見的一種情況，應(yīng)按三維問題計(jì)算。

如果坡頂局部作用荷載的區(qū)域和荷載、邊坡（包括土層分布及相應(yīng)的土性指標(biāo)）、選取的滑動(dòng)面均是關(guān)于y=0對(duì)稱的，且取矩點(diǎn)的y坐標(biāo)為yR=0。則這一問題是關(guān)于垂直平面y=0對(duì)稱的。

在上述條件下，σ、cos α、hx′、h、（h-zR）、（x-xR）及 pz均是關(guān)于y的偶函數(shù)，而sinα、hy′、y均是關(guān)于y的奇函數(shù) （py=0）。式 （14） 和式 （15） 可簡(jiǎn)化為：

圖1 局部作用荷載的邊坡示意圖

3.2 滑動(dòng)面

目前，采用橢球面為滑動(dòng)面較多[4，7]，如果滑動(dòng)面采用橢球面：

式中：R、L為常數(shù)。式（17） 和式（18） 可簡(jiǎn)化為：

計(jì)算公式很簡(jiǎn)單，與二維邊坡的簡(jiǎn)單條分法完全類似。

如果hy′=0、α=0，則g=1，公式在形式上就可以退化為二維邊坡的簡(jiǎn)單條分法計(jì)算公式。

3.3 水平向破壞的方向角α

容易看出：這一公式相當(dāng)于?。篈1=1，A2=A3=0的情況。實(shí)際上，由力矩方程式（7） 可見，這是一種僅考慮水平破壞為x方向的確定方法；且因?yàn)檫吰卤旧硎嵌S的，所以水平破壞方向取為垂直于y=0平面的方向（平行于x方向），計(jì)算結(jié)果不會(huì)有太大的誤差。也就是說，對(duì)這種邊坡，可取α=0。

3.4 算例分析

設(shè)土質(zhì)邊坡對(duì)稱于oxz平面（如圖1所示），坡高20 m，坡頂、坡底水平，坡面與水平面夾角tanβ=0.5的坡度。坡頂局部區(qū)域作用荷載，且px=0。

計(jì)算中，采用滑動(dòng)面為橢球面；并取α=0，不考慮孔隙水壓力（u=0）。取不同的xR、zR、R、L，計(jì)算安全系數(shù)的最小值。對(duì)公式中的積分采用數(shù)值積分計(jì)算過程，這與通常的條柱法計(jì)算過程是相同的。

計(jì)算情況1：均質(zhì)土邊坡，c=18 kPa、φ=20°、25°，γ=17 kN/m3；坡頂上，在距坡肩2 m后的區(qū)域內(nèi)，荷載作用寬度分別為15 m、30 m，作用pz=30 kPa、60 kPa均布荷載。計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 坡頂局部作用荷載的二維邊坡安全系數(shù)

計(jì)算情況2：兩層土邊坡，坡底面以上，c1=20 kPa，φ1=25°，γ1=17 kN/m3；坡底面以下，c2=10 kPa，γ2=17 kN/m3，取φ2=15°、20°；坡頂上，在距坡肩2 m后的區(qū)域內(nèi)，荷載作用寬度分別為15 m、30 m，作用pz=30 kPa、60 kPa均布荷載。計(jì)算的安全系數(shù)見表2。

表2 坡頂局部作用荷載的二維邊坡安全系數(shù)

首先注意，這種坡頂局部寬度內(nèi)作用荷載的情況，安全系數(shù)不應(yīng)小于按二維問題計(jì)算的結(jié)果，計(jì)算結(jié)果已經(jīng)清楚地顯示了這一點(diǎn)。

荷載作用寬度越小，安全系數(shù)越大，越與按二維問題計(jì)算結(jié)果接近。

無論是對(duì)均質(zhì)土情況還是兩層土邊坡情況，荷載較大、作用寬度較小時(shí)，按三維計(jì)算與二維計(jì)算的安全系數(shù)相差已較明顯，說明按二維計(jì)算的安全系數(shù)偏小了。但兩者相差并不大，說明對(duì)這一方法計(jì)算中取α=0并未導(dǎo)致按三維計(jì)算的安全系數(shù)偏大過多；所以，取α=0可以滿足工程計(jì)算所需的精度要求。

4 具有對(duì)稱性的三維邊坡問題

4.1 計(jì)算公式

實(shí)際問題中，存在大量對(duì)稱的邊坡問題，如海岸、河岸的護(hù)岸拐彎處，各種堤的堤頭與拐彎處等（圖2）。

圖2 三維邊坡

適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系，均可歸結(jié)為關(guān)于垂直平面y=0對(duì)稱的邊坡問題；即邊坡表面作用荷載的區(qū)域和荷載關(guān)于y=0對(duì)稱、邊坡（包括土層分布及相應(yīng)的土性指標(biāo)）關(guān)于y=0對(duì)稱、選取的滑動(dòng)面也是關(guān)于y=0對(duì)稱，則計(jì)算公式與式（17）、式（18） 是相同的。如果仍取滑動(dòng)面為式（19） 的橢球面，計(jì)算仍為式 （20）、式 （21）。

例如，圖3的三維邊坡，其邊坡表面為圖4。

圖3 三維邊坡示意圖

圖4 三維邊坡的水平面投影示意圖

記：坡面與水平面夾角tanβ=B/H，B為坡面的水平寬度，H為坡高，則邊坡表面為：

當(dāng)：y-x≥0、且y+x≤0，為坡頂面：s=0.0；

當(dāng)：y-x≤0、且 y+x≤0，為坡面：s= （x-y）tanβ/，其中，當(dāng)（x-y）/≥B為坡底面s=H；

當(dāng)：y-x≥0、且 y+x≥0，為坡面：s=（x+y）tanβ/，其中，當(dāng)（x+y）/≥B為坡底面s=H；

4.2 水平向破壞的方向角α

對(duì)這種三維邊坡，這里取以下兩種確定方法進(jìn)行試算，并通過計(jì)算結(jié)果分析其合理性。

1） α =0。

2）對(duì)滑動(dòng)面上的任意一點(diǎn)，按距離坡腳線最近，且α為連續(xù)的原則選?。?/p>

4.3 算例分析

設(shè)如圖2所示的三維土質(zhì)邊坡，坡高20 m，坡頂、坡底水平，坡面與水平面夾角tanβ=0.5的坡度，坡頂無荷載。

坡底面以上，土性指標(biāo)分別為c1=20 kPa、φ1=25°、γ1=17 kN/m3，和 c1=15 kPa、φ1=20°、γ1=17 kN/m3。坡底面以下，γ2=17 kN/m3，c2、φ2取不同值 （見表 3）。

表3 兩層土三維土坡安全系數(shù)

同樣，不考慮孔隙水壓力（u=0）。并取不同的xR、zR、R、L，計(jì)算安全系數(shù)的最小值。由計(jì)算公式中的式（22） 及可以看出，不宜過?。凰韵薅ā?.25，且計(jì)算中剔除了使g＜0的滑動(dòng)面。計(jì)算結(jié)果如表3.

當(dāng)取α=0時(shí)，這顯然是一種偏于不安全的確定方法，計(jì)算的安全系數(shù)顯著偏大。說明對(duì)三維邊坡，取α=0進(jìn)行計(jì)算是不可行的。

對(duì)α選取方法2），這是一種根據(jù)邊坡形狀而確定的方法。當(dāng)上層土強(qiáng)度指標(biāo)大于下層土強(qiáng)度指標(biāo)時(shí)，計(jì)算的安全系數(shù)較二維邊坡的顯著小，這是因?yàn)榛瑒?dòng)面深度較大，滑動(dòng)面通過下層土的面積較大。而當(dāng)上層土強(qiáng)度指標(biāo)顯著小于下層土強(qiáng)度指標(biāo)時(shí)，滑動(dòng)面僅通過上層土，計(jì)算的安全系數(shù)較二維邊坡小的不是很顯著。一般的，計(jì)算的安全系數(shù)較二維邊坡明顯的小，說明計(jì)算的安全系數(shù)是合理的。所以，對(duì)這種三維邊坡，按式（23）確定α進(jìn)行計(jì)算是可行的。

5 一般的三維邊坡問題

對(duì)一般的三維邊坡，若不考慮邊坡表面的水平力，取A1=A2=A3=1，滑動(dòng)面為：

計(jì)算公式很簡(jiǎn)單，只要水平向破壞的方向角α確定了，即可計(jì)算出安全系數(shù)。但α如何確定？就需要進(jìn)一步的研究。文獻(xiàn) [9]采用的α確定方法，即以式（27） 的gR取最小值來確定α不失為一種可供采用的方法。但這是一種偏于安全的方法，因?yàn)棣磷鳛榧魬?yīng)力方向余弦中的參數(shù)，已經(jīng)體現(xiàn)在式（2） 中；而方法的計(jì)算公式是在式（2）的條件下得出的。

6 結(jié)語

1）只需要一個(gè)假定條件，獲得了三維邊坡穩(wěn)定性分析的方法；且假定條件與二維問題簡(jiǎn)單條分法類似，計(jì)算公式簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，具有廣泛的應(yīng)用意義。

2）具有對(duì)稱性的三維邊坡問題，如坡頂局部區(qū)域作用荷載二維邊坡，海岸、河岸的護(hù)岸拐彎處，各種堤的堤頭與拐彎處等，給出了水平向破壞的方向角α的選取方法。計(jì)算示例的計(jì)算結(jié)果表明，計(jì)算的安全系數(shù)合理。

最后說明，三維邊坡穩(wěn)定問題遠(yuǎn)較二維問題復(fù)雜；例如，對(duì)更一般的三維邊坡，水平向破壞的方向角α如何確定？尚需進(jìn)一步研究。

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