徐慶元，曹揚風，周小林

(中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410075)

無砟軌道技術是一項現代化鐵路技術，具有良好的運營功能并可取得明顯的經濟效益。高速鐵路采用無砟軌道后，軌道穩(wěn)定性相應增強，列車運行的平穩(wěn)性和安全性大大提高。由于取消了易產生殘余變形的道砟，大大降低了軌道幾何狀態(tài)變化的速率, 維修工作量可大大減少，有利于列車高密度運行。隨著無砟軌道技術的發(fā)展，無砟軌道已在國外高速鐵路上得到廣泛采用。我國新建和在建高速客運專線如京津城際高速鐵路、京滬高速鐵路、武廣客運專線、鄭西客運專線、哈大客運專線等，均大量采用無砟軌道技術，時速350 km/h京津城際高速鐵路現已正式投入運營。目前，國內外[1-11]雖對列車在板式無砟軌道上高速運行時系統(tǒng)振動特性進行了研究，但大多針對確定性不平順及中長波隨機不平順，對短波隨機不平順對列車-板式無砟軌道-路基系統(tǒng)動力特性的影響特別是動應力特性影響研究較少。為此，本文作者建立列車-板式無砟軌道-路基時變耦合動力學模型，用 Matlab編制相應的計算程序，并用所編制的計算程序，分析列車高速運行時，短波隨機不平順對列車-板式無砟軌道-路系統(tǒng)振動特性的影響，并對不同種類隨機不平順對列車-板式無砟軌道-路基系統(tǒng)動力特性的影響進行對比研究。

圖1 車輛垂向振動模型Fig.1 Vertical vibration model of vehicle

1 車-無砟軌道-路系統(tǒng)動力學模型

1.1 機車車輛模型

與列車豎向振動相關的自由度包括車體及構架的沉浮和點頭，以及輪對的沉浮，即每輛四軸車有 10個自由度(見圖 1)，對于機車車輛組成的車列，則為10×m個自由度(其中，m為機車車輛數)。

1.2 板式無砟軌道及路基模型

鋼軌、軌道板、底座均以梁單元模擬，連接鋼軌與軌道板的扣件、連接軌道板與底座板的CA砂漿以線性彈簧-阻尼單元模擬，路基模型采用文克爾假定，也以線性彈簧-阻尼單元模擬(見圖2)。

圖2 路基上板式無砟軌道動力學模型Fig.2 Dynamic mechanical model of slab track on subgrade

1.3 軌道不平順模型及其數值模擬

在正常情況下，無砟軌道不平順組成成分十分復雜，含有各種波長，但其統(tǒng)計有一定的特征，即所謂的隨機不平順。

由于我國還缺乏高速鐵路無砟軌道譜，本文采用德國適用于 250 km/h以上的高速鐵路低干擾功率譜密度來進行中長波(波長為 1~50 m)隨機不平順的模擬[12]，其表達式為：

式中：S(Ω)為功率譜密度；Ω為空間頻率；Av為粗糙度常數，4.032×10-7m·rad；Ωc為截斷頻率，0.824 6 rad/m；Ωr為截斷頻率，0.020 6 rad/m。

德國低干擾功率譜密度以中長波為主，不能很好地考慮短波隨機不平順對板式無砟軌道動力學特性的影響。根據翟婉明及作者的研究，波長為0.01~1 m的短波隨機不平順對軌道動力特性有較大影響。為了合理考慮短波隨機不平順對板式無砟軌道動力學特性的影響，本文采用的隨機不平順模型除了考慮中長波隨機不平順外，還疊加了短波隨機不平順。波短不平順功率譜密表達式為[12]。

式中：S(f)為功率譜密度，mm2·m/次；f為空間頻率，1/m。

采用翟婉明等[1]介紹的方法進行隨機不平順的數值模擬。首先根據軌道隨機不平順功率譜求出頻譜的幅值和隨機相位，然后，通過傅里葉逆變換得到軌道不平順的時域模擬樣本。

列車起始位置全部置于平順地段，行駛一段距離(本文取10 m)后進入隨機不平順地段，最后駛出隨機不平順地段，再次進入平順地段。

由于平順地段不平順的一階及二階導數均為 0，而根據軌道隨機不平順功率譜通過傅里葉逆變換得到軌道不平順的時域模擬樣本起終點的一階導數及二階導數很難做到同時為0(或接近0)。列車直接由平順地段進入隨機不平順地段，將產生很強的動力效應。因而在隨機不平順和平順地段之間需要一過渡地段，過渡段要滿足在過渡段起終點一階導數及二階導數充分小，列車經過過渡段后，動力學響應足夠小。

參考大型車輛動力學通用軟件ADAMS的做法，將隨機不平順起始點作為起始過渡段始端，并將其不平順幅值置為0，在離隨機不平順起始點一段距離(本文取 20 m)范圍以便選取起始過渡段終端點，將起始過渡段始端與起始過渡段終端連線作為起始過渡段，然后，檢查起始過渡段起點和起始過渡段終點的一階及二階導數。若20 m之內所有點均不能滿足作為起始過渡段終點的要求，則重新生成另一時域模擬樣本，再次進行起始過渡段終端點的選取，直到生成合乎條件的隨機不平順樣本為止。終端過渡段生成原理及方法與起始過渡段的類似。隨機不平順起始過渡段及終端過渡段生成后，整個隨機不平順生成工作結束。

1.4 輪軌關系模型

采用文獻[12]中的輪軌關系模型，輪軌垂向作用力由赫茲非線性彈簧接觸理論所確定：

式中：G 為輪軌接觸常數，m/N2/3；Zw(j，t)為 t時刻第j位車輪的位移，m；Zr(j，t)為t時刻第j位車輪下鋼軌的位移，m；Z0(t)為輪軌界面存在的不平順。

1.5 列車-板式無砟軌道-路系統(tǒng)動力學模型初始條件

為了正確模擬輪軌力為零的“脫空”狀態(tài)，除了隨機不平順荷載外，還在機車車輛各部件的質心處施加自重荷載，在自重荷載作用下的靜平衡位置為初始條件，即先在自重荷載作用下進行靜力計算，計算結果作為動力分析的初始條件。

1.6 列車-板式無砟軌道-路系統(tǒng)動力學模型豎向振動方程組的建立及求解

機車車輛空間振動總勢能包括車體、構架和輪對的慣性力勢能和重力勢能以及機車車輛懸掛系統(tǒng)的彈性應變能和阻尼力勢能。據彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變值原理，對機車車輛總勢能的表達式進行一階變分，并運用形成矩陣的“對號入座”法則即可得到機車車輛豎向振動方程組。

運用彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變原理和形成矩陣的“對號入座”法則分別組集鋼軌、軌道板、底座及連接彈簧-阻尼單元的剛度矩陣、阻尼矩陣、質量矩陣以及節(jié)點荷載列陣，可得板式無砟軌道及路基系統(tǒng)豎向振動方程組。

以輪軌關系模型為紐帶，采用文獻[13]中介紹的交叉迭代法進行機車車輛豎向振動方程組和板式無砟軌道及路基系統(tǒng)振動方程組求解。

2 列車-板式無砟軌道-路基耦合動力學模型驗證

由于缺乏高速鐵路無砟軌道動力學實測數據，本文對機車車輛動力模型、無砟軌道動力模型、隨機不平順模型分別進行驗證，達到間接驗證的目的。驗證1針對機車車輛動力模型，驗證2針對無砟軌道動力模型，驗證3針對隨機不平順模型。

2.1 驗證1

鐵道科學研究院于1994年在廣深準高速鐵路測量了不同波長和波深的軌道幾何不平順對準高速車輛振動加速度的影響，準高速車輛參數及軌道參數見文獻[12]。在不同試驗工況下，試驗實測值、本文力學模型理論計算值、文獻[12]中理論計算值結果對比見表1。

從表1可見：試驗實測值、本文力學模型理論計算值、文獻[12]理論計算值較吻合，證明本文機車車輛模型的正確性。

2.2 驗證2

路基上板式無砟軌道系統(tǒng)，鋼軌為60軌，扣件為高彈性扣件，其剛度為 35 kN/mm，軌道板間斷，軌道板寬度為2.4 m，軌道板厚度為0.19 m，軌道板長度為5 m，CA砂漿厚度為5 cm，彈性模量為400 MPa，軌道板彈性模量為34.5 GPa，底座板連續(xù)，底座板寬度為 2.8 m，厚度為 0.3 m，底座板彈性模量為 32.5 GPa。作用一正弦形荷載，荷載作用在軌道板中間對應鋼軌節(jié)點上，荷載函數表達式為：

其中：v=83.3 m/s，分別用Ansys和自編Matlab程序對此工況進行計算。加載點軌道板和底座板加速度時程曲線對比見圖3和圖4。

從圖 3和圖 4可以看出：自編程序計算結果和ANSYS軟件計算結果較吻合，證明本文無砟軌道動力模型的正確性。

圖3 加載點軌道板加速度時程曲線比較Fig.3 Comparison of time history of slab acceleration at load point position

圖4 加載點底座板加速度時程曲線比較Fig.4 Comparison of time history of concrete basement acceleration at load point position

表1 廣-深線車體垂向振動加速度實測及理論計算對比表Table1 Vehicle vertical acceleration comparison between field test data and theoretic calculation in Guang-Shen line

2.3 驗證3

采用德國適用于 250 km/h以上的高速鐵路低干擾功率譜密度來進行中長波隨機不平順的模擬。理論功率譜密度表達式見式(1)，根據理論功率譜密度模擬的隨機不平順樣本見圖5。圖6所示為理論功率譜密度與樣本功率譜密度的差值。

圖5 隨機不平順樣本Fig.5 Sample of random irregularity

圖6 理論與樣本功率譜密度差Fig.6 Error between theoretical and sample power spectral density

從圖6可以看出：理論與樣本功率譜密度差值很小，證明隨機不平順樣本模擬的正確性。

3 計算算例

3.1 計算條件

以1動+4拖高速動車組以300 km/h速度通過路基上單元板式無砟軌道為例，研究短波隨機不平順對車-無砟軌道-路系統(tǒng)振動特性影響。高速動力組參數見文獻[8]，軌道主要計算參數如表2所示。

采用式(1)軌道譜進行中長波軌道隨機不平順模擬，采用式(2)軌道譜進行短波隨機不平順模擬，隨機不平順長度取為400 m。

軌道不平順考慮4種工況：綜合考慮短波及中長波隨機不平順(工況 1)、僅考慮短波隨機不平順(工況2)、僅考慮中長波隨機不平順(工況3)及不考慮隨機不平順(工況4)。

時間步長取為 6×10-5s，每一時間步長移動 5 mm，以合理考慮短波隨機不平順的影響，不同隨機不平順工況下列車-板式無砟軌道-路系統(tǒng)豎向振動響應比較見表3。

3.2 計算結果分析

(1) 短波隨機不平順對車體垂向加速度、路基最大壓應力影響很小，如車體最大垂向加速度僅增加0.001 m/s2，路基最大壓應力僅增加0.001 MPa。

(2) 短波隨機不平順對鋼軌最大垂向加速度、軌道板最大垂向加速度、底座板最大加速度、輪軌最大垂向力及CA砂漿最大豎向壓應力有很大的影響，而且影響比中長波隨機不平順的大。如短波隨機不平順引起的鋼軌振動加速度為中長波隨機不平順引起的20倍以上，短波隨機不平順引起的軌道板振動加速度為中長波隨機不平順引起的5倍以上，短波隨機不平順引起的底座板振動加速度為中長波隨機不平順引起的2倍以上，短波隨機不平順引起的輪軌最大垂向力及CA砂漿最大豎向壓應力動力幅度增加值也為中長波隨機不平順引起的動力幅度增加值的2倍以上。

(3) 短波隨機不平順對軌道板縱向最大彎曲動應力、底座板縱向最大彎曲動應力及扣件最大豎向動壓應力有一定的影響，但其影響比中長波隨機不平順的小。如短波隨機不平順引起的扣件壓力動力幅度增加值約為中長波隨機不平順引起的30%左右，短波隨機不平順引起的軌道板最大彎曲動應力幅度增加值約為中長波隨機不平順引起的50%左右，短波隨機不平順引起的底座板最大彎曲動應力幅度增加值約為中長波隨機不平順引起的20%左右。

表2 板式無砟軌道計算參數Table2 Calculation parameter of slab track

表3 不同隨機不平順工況計算結果比較Table3 Comparison among different load case of random irregularity

4 結論

(1) 短波隨機不平順對車體垂向加速度、路基最大壓應力影響很小，在進行車體及路基動力學分析時，可以忽略短波隨機不平順影響，僅考慮中長波隨機不平順。

(2) 短波隨機不平順對鋼軌最大垂向加速度、軌道板最大垂向加速度、底座板最大加速度、輪軌最大垂向力及CA砂漿最大豎向壓應力有很大的影響，而且其影響比中長波隨機不平順的大。

(3) 短波隨機不平順對軌道板縱向最大彎曲動應力、底座板縱向最大彎曲動應力及扣件最大豎向壓應力影響雖比中長波隨機不平順的小，但為了提高精度，仍有必要考慮其影響。

(4) 短波不平順對高速鐵路運營有較大的影響，短波不平順還是引起噪音的主要原因。為了降低短波不平順的危害，高速鐵路鋼軌定期打磨十分必要。

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