鞏長忠，王 燦

（中國民航大學理學院，天津 300300）

基于Lyapunov函數(shù)的不確定模糊控制系統(tǒng)設計

鞏長忠，王 燦

（中國民航大學理學院，天津 300300）

研究一類不確定T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，考慮了平行與非平行分配補償控制器的設計，并把線性矩陣不等式方法運用到了非平行分配補償控制器中?；贚yapunov函數(shù)把系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件延伸到了不確定模糊控制系統(tǒng)。最后通過數(shù)值實例說明了本結論的有效性。

參數(shù)不確定；T-S模糊系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；平行分配補償器；非平行分配補償器；線性矩陣不等式

T-S模糊系統(tǒng)近年來得到廣泛研究，已成為處理非線性控制問題有效方法。對參數(shù)不確定T-S模糊系統(tǒng)的研究，已取得不少有價值的理論成果。文獻[1-3]研究了不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[4]中給出了一些T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件。文獻[5-7]中對離散和連續(xù)模糊系統(tǒng)提出了非平行非線性分配補償器。

文獻[8]通過模糊Lypunov函數(shù)方法，對模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定進行了研究，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。但并沒有考慮參數(shù)不確定性。在此基礎上，本文研究了參數(shù)不確定T-S模糊系統(tǒng)，通過線性矩陣不等式方法得到不確定系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件并把線性矩陣不等式方法運用到了非平行分配補償器中。

1 基于T-S模型的不確定模糊控制系統(tǒng)

在本文中，考慮如下T-S模糊控制系統(tǒng)

其中：x（t）=[x1，…，x（nt）]∈Rn是狀態(tài)向量；u（t）∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入；，…是模糊集合；Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×m分別是系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；ΔAi、ΔBi是適當維數(shù)的時變矩陣，其在系統(tǒng)模型中表示參數(shù)不確定性；s是模糊模型的規(guī)則數(shù)。

應用單點模糊化、乘積推理和中心加權反模糊化推理方法，得全局模糊系統(tǒng)模型

并且有以下基本性質

式（1）可寫為如下形式

為了簡單方便，在x（t）和hi（x（t））中省略了t。

假設 假設參數(shù)不確定性矩陣是范數(shù)有界的，其形式為

式中：Di、E1i和E2i是已知的適當維數(shù)矩陣；Fi（t）是未知的函數(shù)矩陣，其每個元素是可測的函數(shù)，并且滿足FTi（t）Fi（t）≤I，這里I是單位陣。

引理1 對具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣D、E及對稱常數(shù)矩陣S，矩陣不等式

成立的充分必要條件是：存在ε>0，滿足下面的矩陣不等式[9]

引理2 已知對稱矩陣W∈Rn×n及矩陣B∈Rn×n，如果存在常量 α >0，矩陣 L∈Rn×n，U∈Rn×n，和正定矩陣 P∈Rn×n，J∈Rn×n使得線性矩陣不等式

成立，則U是非奇異的，并且K=αLU-1滿足如下的非線性矩陣不等式[10]

“*”表示對稱位置的轉置矩陣。

2 主要結論

在此部分中，將分析系統(tǒng)⑴的穩(wěn)定性和控制器的設計。

1）穩(wěn)定性分析和平行分配補償控制器設計

考慮如下平行分配控制器

全局模糊控制器為

定理1 如果控制增益參數(shù)矩陣{Ki}si=1給出，存在 PT=P>0，ε1>0，ε2>0，使得

則式（3）漸近穩(wěn)定。

證明 考慮如下函數(shù)：V（x）=xTP-1x。對V沿系統(tǒng)（3）求導，可得

利用Schur補得到式（4）。所以系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

成立，則系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

證明

由式（7）、式（8）可得式（4）成立，再由定理 1得系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

則有系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。其中“*”表示對稱位置的轉置矩陣。

由引理2，可知

其中

由式（9）和式（10），得到式（12）小于

式（11）、式（12）聯(lián)立得式（4）。由定理 1可知系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

2）非平行分配補償控制器設計

考慮在文獻[9]中提到的非平行分配補償控制器

得到如下閉環(huán)系統(tǒng)

則系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定。

若式（14）<0，則由引理1可得：存在常數(shù)ε3>0，ε4>0，使得

由 Shur補，式（15）可寫為

若式（16）成立，則系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值算例

假設具有如下系統(tǒng)：

考慮系統(tǒng)（13），其中

代入定理4中的式（16）可得到

通過解LMIS可得到P、N。根據(jù)定理4可知由非平行分配控制器得到的閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

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Uncertain Fuzzy Control System Design via Lyapunov Functions

GONG Chang-zhong，WANG Can
（Science College， CAUC， Tianjin 300300， China）

This correspondence deals with the problems of analysis and design for a class of uncertain continuous-time Tskagi-Sugeno fuzzy control systems.Both parallel and nonparallel distributed compensation controllers are considered.An LMI technique will be extended to a non-PDC approach.Sufficient conditions for the stability of fuzzy control systems are extended to uncertain continuous-time Tskagi-Sugeno fuzzy control systems that based on a fuzzy Lyapunov function.The effectiveness of the proposed approaches is shown through a numerical example.

uncertain continuous-time； Tskagi-Sugeno fuzzy control systems； Lyapunov function； PDC approach； non-PDC approach；LMI

TP202

A

1674－5590（2010）02－0055－04

2010-05-12；

2010-07-11

鞏長忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向為非線性控制與模糊控制.

book=61,ebook=88

（責任編輯：楊媛媛）