陳巧云 朱向冰 倪 建 陳 瑾

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

1 引言

作為第四代新型節(jié)能光源的典型代表，LED具有壽命長、節(jié)能、環(huán)保、顯色性好等其他光源無法比擬的優(yōu)點，而且隨著大功率LED的迅速發(fā)展［1～4］，越來越廣泛的應(yīng)用于各種指示、顯示、背光源、普通照明和城市夜景等眾多領(lǐng)域［5～7］。但是LED光源發(fā)出的光不均勻，因此在對光照有嚴格要求的特殊場合的照明中，必須根據(jù)LED本身的發(fā)光特性和預(yù)期的光強分布，來設(shè)計一個二次配光結(jié)構(gòu)，將LED的光強進行重新分配［8～11］。

配光結(jié)構(gòu)一般有反射面、透鏡兩種，目前LED的二次配光結(jié)構(gòu)大部分采用的是透鏡結(jié)構(gòu)［12～14］?？紤]到透鏡有兩個透光面和一定的厚度，對于任意一個曲面，若曲面設(shè)計或制作過程中稍有偏差，或透鏡中夾有一點雜質(zhì)，對光線的折射和能量分布會產(chǎn)生很大的影響，且在實際應(yīng)用中透鏡對光線有較高的吸收率而造成能量損失。而用反射面作為二次配光結(jié)構(gòu)，理論上只需要一個反射面即可，容易加工且能量損失少，較好地解決了LED均勻照明的問題。本文旨在設(shè)計一種反射面來對LED進行二次配光。

傳統(tǒng)的反射面配光結(jié)構(gòu)依賴于有解析解的二次曲面或二次曲面的組合。但對于發(fā)光不均勻的光源，簡單的二次曲面或二次曲面的組合都不能實現(xiàn)特定的光強分布［15～17］。本文采用自由曲面設(shè)計的方法［18，19］，根據(jù)光源的發(fā)光特性和預(yù)期的光強分布建立一個微分方程，用數(shù)值求解法求解出這個方程，根據(jù)求解結(jié)果擬合出自由反射曲面，再利用光學(xué)軟件對結(jié)果進行模擬。

2 反射面設(shè)計

本文中光源發(fā)出的光線一部分直接照射到照明面上，另一部分經(jīng)設(shè)計的反射面反射到照明面上，最終在照明面上實現(xiàn)一個矩形的均勻照明區(qū)域。利用光的反射定律得到出射光線與入射光線的矢量的關(guān)系，再利用能量守恒和照度公式求出反射光線攜帶的能量，最后列出微分方程，通過求解微分方程得出確定自由曲面的一系列點，最終確定所需的自由曲面。

如圖1所示，o′為光源所在的位置，建立坐標系x′o′y′。1為照明面，為了使計算更加方便，設(shè)光源o′到照明面1的距離為單位長度1，以o′為圓心，作一個單位球，則單位球與平面1相切于o點。平面2為單位球的平行于平面1的一個切平面。在平面1和平面2內(nèi)分別作平行于x′，y′的x，y軸和u，v軸。z′軸的原點在o′處。

任一條光線與單位球面相交于p點，則op為單位矢量，記為i。連接o與p點并延長交平面2于(u，v，1)點，設(shè)p點坐標為(x′，y′，z′)，則i=(x′，y′，z′)。

如圖所示，可知x′/u=y′/v=(z′+1)/2，且x′2+y′2+z′2=1，

可求得:i=(1+ω2/4)(u，v，1－ω2/4)，其中ω2=u2+v2。

圖1 建立的坐標系

2.1 光的反射定律

如圖2所示，I為LED發(fā)出的光線，入射到到反射面上的q點，R為反射光線，反射到照明面上的t點，T為o′到t的矢量，N為反射面上q點處的法線。

圖2 照射到t點的反射光線光路圖

根據(jù)非成像光學(xué)理論中的反射定律:

其中I=ρi，可求出矢量T的表達式T=T(ρ，u，v)。

由幾何關(guān)系可知反射面的法向向量為切平面內(nèi)兩個矢量的矢乘，即N=Au×Av=(ρi)u×(ρi)v。

由i矢量可求出:

將以上三式帶入反射定律，并定義p=ρu，q=ρv，可求得T=T(u，v，ρ，p，q)，則反射光線反射到照明面上的點的坐標為

其中

2.2 能量守恒

LED照明面垂直于z軸朝下，本文采用朗伯體LED光源，發(fā)出的光一部分直接照到照明面上，另一部分被反射后照射到照明面上，在照明面上產(chǎn)生一個長和寬分別為a和b的矩形均勻照明區(qū)域。根據(jù)能量守恒，光源的輻射通量應(yīng)等于照明面上的輻射通量。

光源輻射到照明面上的輻射通量為Φ1=，式中第一項為直接照射到照明面上的輻射通量，Ω1為該部分入射光線對應(yīng)的立體角，第二項為經(jīng)過反射面反射到照明面上的輻射通量，Ω2為該部分入射光線對應(yīng)的立體角，μ為反射面的反射系數(shù)。照明面上接收到的輻射通量為Φ2=∫E d S，E為照明面上的平均照度，根據(jù)能量守恒有Φ1=Φ2。由于反射面的反射率可以高達95%以上，這里為了簡單起見，不考慮反射能量損失，且郎伯型光源的發(fā)光角度為120度，則Φ1=，有Φ1=Φ2，所以E=πI0/4ab。

照到t點的光有兩束，一束為圖示的T光線，另一束為圖示的I光線的反射光線，則有E=E1+E2，其中E1為T光束在t點產(chǎn)生的照度，E2為B光束產(chǎn)生的照度。

如圖3所示，設(shè)點光源的發(fā)光強度為I，被照射面積元d S′對它所張的立體角為dΩ，則照射在d S′上的光通量為dΦ′=I dΩ=I d S′cosθ′，從而照度為E

由此可求出直接照射在照明面上的光束T在t點的照度為

圖3 光源的照度

可求出反射到照明面上的光束R的照度為

2.3 偏微分方程

該反射過程中，入射光I的強度I與反射光R照到t點的照度E2滿足偏微分方程［20］:

其中

x和y由2.1中的結(jié)果給出。入射到反射面上的光線I的強度

E2由2.2中的結(jié)果給出。將以上結(jié)果帶入偏微分方程，列出偏微分方程的具體形式。

偏微分方程的邊界條件由朗伯型光源的發(fā)光特性和矩形均勻照明區(qū)域決定。首先設(shè)置反射面的下邊緣也為一個長寬比例為a∶b的矩形，讓直接照射到照明面上的光為一個矩形光斑。而朗伯型LED光源的發(fā)光角度為120°，因此反射面的上邊緣在一個頂角為120°的圓錐面上。用數(shù)值求解法將上式進行離散化，計算偏微分方程。設(shè)置反射面的下邊緣初始點坐標作為初始點條件，結(jié)合邊界條件，帶入計算機程序迭代計算方程，求出反射面上一系列的點的坐標。

3 模擬與仿真

將求解出的反射面的一系列點輸入建模軟件ProE中，擬合成一個實體反射面，如圖4所示。再將該反射面導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件Tracepro中，模擬驗證最終的效果，得到照明面上的照度分布圖，如圖5所示。在中間照明區(qū)域，光照的均勻度可達85%以上，能實現(xiàn)比較理想的照明效果。因為在建模過程中，是先輸入點，形成樣條曲線，再由樣條曲線形成最終的反射面，這個過程中采用了平滑的算法，引入了誤差，使最后結(jié)果有點失真，但失真程度不大。

圖4 反射面結(jié)構(gòu)圖

圖5 照度分布圖

4 結(jié)論

本文通過對微分方程的數(shù)值求解求出自由反射曲面的面型，依據(jù)不同的光源和照明需求得到不同的邊界條件和具體的方程，可自由設(shè)計反射曲面。反射面型的配光結(jié)構(gòu)可避免透鏡的加工成本高及對能量吸收率高等缺點。

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