王汝冬，王 平，田 偉，王立朋，隋永新，楊懷江

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所應用光學國家重點實驗室，吉林長春130033）

大口徑光學元件重力變形補償?shù)脑O計分析

王汝冬，王 平，田 偉，王立朋，隋永新，楊懷江

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所應用光學國家重點實驗室，吉林長春130033）

根據(jù)彈性板殼理論，建立了大口徑光學元件的幾種理論模型。提出了一種補償大口徑光學元件重力變形的方法，該方法通過在透鏡鏡框邊緣施加作用力，使透鏡產(chǎn)生與重力變形反向的撓性變形，抵消重力變形的影響。建立了帶鏡框的大口徑透鏡的分析模型，證明了通過優(yōu)化施加力的大小和支撐點位置使透鏡產(chǎn)生撓性變形的方法能有效消除重力變形的影響。

重力變形；撓性補償；板殼理論；有限元法

1 引 言

隨著光學加工和制造技術(shù)的發(fā)展以及科學研究和裝備制造的需要，光學系統(tǒng)的有效口徑越來越大。其中一些立式使用的光學系統(tǒng)如光刻機曝光鏡頭，其透鏡元件口徑很大，產(chǎn)生的重力變形會影響系統(tǒng)的成像質(zhì)量；而立式大口徑（＞Φ250 mm）高精度干涉儀的標準具，重力變形會影響其面形精度，因此，現(xiàn)在大口徑光學元件的設計和制造，越來越重視重力變形對光學系統(tǒng)性能的影響［1～5］。大口徑光學元件重力變形對光學系統(tǒng)的影響可以通過后期調(diào)整透鏡間隔進行補償［6］；或者通過預先分析和預測透鏡的重力變形，在加工階段進行補償，使用時透鏡經(jīng)重力變形后作為所需面形。本文提出了一種補償大口徑光學元件重力變形的方法。該方法通過在透鏡鏡框邊緣施加作用力，使透鏡產(chǎn)生與重力變形反向的撓性變形，通過調(diào)節(jié)作用力的大小和支撐點位置來補償透鏡重力引起的面形變化。

2 透鏡受力小撓性變形分析

在透鏡元件受力撓性變形分析中，一般把透鏡元件材料（玻璃）近似為彈性材料，因此可以應用彈性力學分析中的準則對透鏡進行受力分析。對于透鏡元件，如果口徑較大，且厚度很?。↙?10t），則可以把大口徑透鏡元件當成薄板分析；當透鏡元件厚度相對于直徑較大時（L＜10t），透鏡元件橫向剪切力所引起的變形和彎曲變形屬于同一數(shù)量級，薄板理論已經(jīng)不再適用，需要把透鏡作為中厚板分析，此時應用彈性力學的三維問題來求解［7～9］，如圖1所示。

圖1 透鏡3種板殼模型Fig.1 Three shell theory models of lens

大口徑透鏡受到的重力變形相對于其厚度是極小量，屬于小撓度變形范圍，如果透鏡的中性面曲率半徑很大，且厚度較薄，透鏡中性面接近于平面，如圖1（a）所示，應用基于Kirchhoff-Love假設的經(jīng)典彈性薄板理論，可以得出透鏡元件（重力方向）的撓性變形，用極坐標表示為：

當透鏡較厚，且中性面曲率半徑很大，接近于平面時，如圖1（b）所示，應用由Reissner模型建立的極坐標中厚板彎曲的基本微分方程，在軸對稱情況下可表示為：

中厚板的Reissner模型公式（2）和扁殼方程（3）都是非線性問題，不能像公式（1）那樣得到有效解析解，需要通過給定的邊界條件，應用數(shù)值分析計算求解，一般有Fourier-Bessel級數(shù)法和攝動法等［10～12］。

3 大口徑光學元件重力變形的撓性補償仿真分析

大口徑透鏡通過膠粘結(jié)或者機械裝夾等方法和鏡框固連到一起，支撐點在金屬鏡框上，在鏡框外邊緣施加作用力，通過產(chǎn)生的彎矩使透鏡產(chǎn)生與重力方向相反的小撓度變形，補償重力變形，如圖2所示。如果透鏡較簡單（平鏡或近似平鏡），可以通過公式估算出補償重力變形所需施加力的大小；如果透鏡形狀較復雜可以通過數(shù)值算法或者仿真分析的方法推算出施加力的大小。

某平凸透鏡，口徑為Φ300 mm，凸面曲率半徑約為531 mm，透鏡中心厚度為35 mm，材料為熔凝石英，鏡框材料為銦鋼，外徑為Φ480 mm，材料參數(shù)見表1。

圖2 透鏡鏡框邊緣施力示意圖Fig.2 Force applied at edge of lens frame

表1 透鏡、鏡框材料參數(shù)表Tab.1 Martial parameters of lens and frame

圖3 透鏡變形分析Fig.3 Results of lens deformation

分別分析透鏡凸面重力變形、鏡框邊緣施加約108 N力后透鏡的變形，結(jié)果如圖3所示。

對透鏡凸面重力變形后面形和力補償后的面形進行分析計算，移除剛體位移，得出結(jié)果如表2所示。

表2 透鏡凸面面形Tab.2 PV and RMS of lens convex surface

通過表2可以看出，通過施加力使透鏡產(chǎn)生小撓度的彎曲變形能夠部分抵消重力變形，使透鏡的面型質(zhì)量大有改善；通過優(yōu)化支撐點的位置和施加力的大小，可以得到更好的重力變形補償結(jié)果。施加力之后透鏡的最大應力約為35.7 KPa，遠小于熔石英的破壞應力52.4 MPa，但是對應力雙折射要求嚴格的某些光學系統(tǒng)（干涉儀、光刻鏡頭等），需要計算施加力后應力雙折射等對光程的影響［14～16］。

4 結(jié) 論

本文提出了一種補償大口徑光學元件重力變形的方法，仿真分析證明，通過對透鏡施加某一彎矩使透鏡產(chǎn)生小撓度變形，可以部分抵消重力變形對面形的影響。兩部分理論分析顯示，相同撓性變形，透鏡抗彎剛度越小，需要施加的力矩越小，透鏡應力雙折射引起的光程差就越小。不同的光學元件因外形尺寸不同，材料不同，要求不同，需要建立合理的模型進行分析來優(yōu)化支撐點位置和力的大小，以達到最優(yōu)的結(jié)果。

［1］武旭華，陳磊，王磊.Φ300 mm干涉儀參考鏡的設計及測試［J］.光學 精密工程，2007，15（8）：1235-1240.WU X H，CHEN L，WANG L.Design and test of reference mirror in Φ300 mm interferometer［J］.Opt.Precision Eng.，2007，15（8）：1235-1240.（in Chinese）

［2］張德江，劉立人，徐榮偉，等.透鏡自重變形引起波像差的有限元分析［J］.光學學報，2005，25（4）：538-541.ZHANG D J，LIU L R，XU R W，et al..Finite element analysis for wavefront error of lenses induced by gravity［J］.Acta Opt.Sinca，2005，25（4）：538-541.（in Chinese）

［3］譚凡教，喬彥峰，李耀斌，等.光電經(jīng)緯儀主鏡系統(tǒng)自重變形的有限元分析［J］.光學儀器，2007，29（6）：65-68.TAN F J，QIAO Y F，LI Y B，et al..FEM mechanical analysis for primary mirror self-weight deformation of photo-electronic theodolite［J］.Opt.Instruments，2007，29（6）：65-68.（in Chinese）

［4］雷江，蔣世磊，程剛.高精度光刻物鏡的變形研究［J］.光電工程，2005，32（2）：12-14.LEI J，JIANG SH L，CHENG G.Deformation of high-accuracy photolithographic objective lens［J］.Opto-Electronic Eng.，2005，32（2）：12-14.（in Chinese）

［5］李福，阮萍，趙葆常.重力作用下平面反射鏡變形研究［J］.光子學報，2005，34（2）：272-275.LI F，RUAN P，ZHAO B CH.Study on the surface deformation of flat reflector under gravity load［J］.Acta Photonica Sinica，2005，34（2）：272-275.（in Chinese）

［6］IRIE S，WATANABE T，KINOSHITA H，et al..Development for the alignment procedure of three-aspherical-mirror optics［J］.SPIE，2000，3997：807-813.

［7］江五貴，扶名福.中厚板殼非線性理論的研究進展［J］.南昌大學學報（工科版），2000，22（1）：10-16.JIANG W G，F(xiàn)U M F.Advances in the research of nonlinear theory of moderately thick shells［J］.J.Nanchang University（Engineering＆amp；Technology），2000，22（1）：10-16.（in Chinese）

［8］孫天祥，楊力，吳永前，等.基于彈性力學的應力加工方法有限元分析［J］.強激光與粒子束，2010，22（2）：361-364.SUN T X，YANG L，WU Y Q，et al..Finite element analysis of stressed mirror polishing based on elasticity mechanics［J］.High Power Laser and Particle Beams，2010，22（2）：361-364.（in Chinese）

［9］李婧.變厚度圓板軸對稱非線性分析［D］.天津：天津大學，2004.LI J.Nonlinear analysis of spherical shells with arbitrarily variable thickness［D］.Tianjin：Tianjin University，2004.（in Chinese）

［10］周慎杰，王旭東.中厚扁球殼彎曲問題的一般解［J］.福州大學學報（自然科學版），1994，22（4）：30-35.ZHOU SH J，WANG X D.The regular solution to the bending problem of moderate thick shallow spherical shells［J］.J.Fuzhou University（Natural Science），1994，22（4）：30-35.（in Chinese）

［11］蔡長安.周邊固支厚圓板受中心集中力彎曲的BESSEL級數(shù)解法［J］.貴州工業(yè)大學學報（自然科學版），2000，29（3）：5-9.CHAI CH A.Bessel series method for bending problem of a thick circular plate with fixed edges loaded by a centric concentrated force［J］.J.Guizhou University Technol.（Natural Science Edition），2000，29（3）：5-9.（in Chinese）

［12］包世華，張銅生.扁球殼在集中荷載作用下位移和內(nèi)力的計算公式和數(shù)值表［J］.工程力學，1994，11（2）：51-58.BAO SH H，ZHANG T SH.Calculating formulas and numerical tables for deflection and stress resultants of shallow spherical shell under concentrated loads［J］.Eng.Mechanics，1994，11（2）：51-58.（in Chinese）

［13］王林祥，武際可.集中載荷作用下彈性球殼大范圍非線性問題［J］.力學學報，1997，29（2）：232-235.WANG L X，WU J K.Large-scale nonlinear problem of elastic spherical shells subjected to concentrated load［J］.Acta Mechanica Sinica，1997，29（2）：232-235.（in Chinese）

［14］YODER Jr P R.Opto-Mechanical Systems Design［M］.3rd ed.Bellingham：SPIE PRESS，2006.

［15］DOYLE K B，HOFFMAN J M，GENBERG V L，et al..Stress birefringence modeling for lens design and photonics［C］.International Optical Design Conference，Tucson，Arizona，June 3，2002.

［16］DOYLE K B，GENBERG V L，MICHELS G J.Numerical methods to compute optical errors due to stress birefringence［J］.SPIE，2002，4769：34-42.

Design and analysis of compensation of large aperture optical element for gravity deformation

WANG Ru-dong，WANG Ping，TIAN Wei，WANG Li-peng，SUI Yong-xin，YANG Huai-jiang

（State Key Laboratory of Applied Optics，Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）

According to elastic shell theory，several kinds of theoretical models of large aperture optical elements were established.A compensation method for the gravity deformation from a large aperture optical element was presented.With the method，the torque was applied at the edge of a lens frame to generate flexible deformation to offset the gravity deformation.An analysis model of the large aperture optical element with the frame was proposed，and it proves that the flexible deformation of optical element can effectively eliminate the influence of gravity deformation on the optical cell through optimizing the magnitude of force and the positions of support points.

gravity deformation；flexible compensation；shell theory；finite element method

國家重大專項基金資助項目（No.2009ZX02205）

TH703

A

1674-2915（2011）03-0259-05

2011-01-11；

2011-03-13

王汝冬（1982—），男，江蘇徐州人，碩士，研究實習員，主要從事光機結(jié)構(gòu)設計方面的研究。

E-mail：rudong1415@163.com

隋永新（1970—），男，吉林長春人，博士，研究員，主要從事超高精密光學元件檢測、光學信息融合等方面的研究。E-mail：suiyx@sklao.ac.cn