余承依，陳躍輝 （漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，福建 漳州363000）

隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)值計(jì)算技術(shù)的發(fā)展以及它們?cè)谏a(chǎn)生活中的廣泛應(yīng)用，科學(xué)工程計(jì)算已成為科學(xué)實(shí)踐的重要手段之一?！稊?shù)值方法》作為介紹現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算中常用的計(jì)算方法的一門課程，受到越來(lái)越多院校的重視，相繼成為了各高等院校理工科本科生和研究生的專業(yè)課程。從 《數(shù)值方法》研究對(duì)象可以看出，《數(shù)值方法》不像純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論，而是把理論體系與計(jì)算機(jī)應(yīng)用緊密結(jié)合在一起的實(shí)用性、服務(wù)性很強(qiáng)的課程。隨著現(xiàn)代課程體系的改革和深入，應(yīng)用性人才的培養(yǎng)越來(lái)越引起人們的重視，傳統(tǒng)的教學(xué)方法和手段已經(jīng)不能適應(yīng)數(shù)值方法課程的培養(yǎng)目標(biāo)，需要結(jié)合現(xiàn)代的教育技術(shù)觀念進(jìn)行改革［1-2］。下面，筆者結(jié)合建設(shè) 《數(shù)值方法》精品課程過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)對(duì) 《數(shù)值方法》理論與實(shí)踐教學(xué)提出了幾點(diǎn)改革建議??漳州師范學(xué)院精品課程建設(shè)項(xiàng)目。。

1 注重課程中的思想和方法

《數(shù)值方法》很多內(nèi)容在 《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《微分方程》等課程中都學(xué)過(guò)，但 《數(shù)值方法》更注重應(yīng)用性，其思想方法較傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程相比發(fā)生了較大轉(zhuǎn)變。

1）離散化思想與方法 《數(shù)值方法》中各種連續(xù)性變量的求解問(wèn)題都要轉(zhuǎn)化為離散問(wèn)題求解，不同的離散化方法得到不同的數(shù)值求解方法，因此教師授課時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生從微積分中連續(xù)的思維模式轉(zhuǎn)變到離散的思維模式下，講清楚離散化的基本思想，如數(shù)值積分、微分方程數(shù)值解等涉及到眾多的離散化問(wèn)題。

2）近似計(jì)算思想與方法 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)邏輯的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)計(jì)算的準(zhǔn)確性，但科學(xué)工程計(jì)算中所接觸的數(shù)據(jù)可能是帶有舍入誤差的近似數(shù)據(jù)，涉及到的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)法求出準(zhǔn)確解，只能被具有一定精度的近似解替代，且經(jīng)典完美的求解析解的方法在數(shù)值求解中也不一定適用，故近似計(jì)算在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中成為了一種有效的方法和手段。

3）逐次逼近的思想與方法 逐次逼近的思想與方法是 《數(shù)值方法》課程中的重要內(nèi)容之一，很多數(shù)值方法都依賴于逐次逼近的思想與方法。

4）函數(shù)逼近的思想與方法 插值法、數(shù)值積分與微分中涉及到眾多的函數(shù)逼近思想，微積分中所討論的定積分的計(jì)算，主要是針對(duì)被積函數(shù)的原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示且易計(jì)算。但這類積分只有很少部分，在實(shí)際問(wèn)題中得到的很多積分的被積函數(shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)來(lái)表示，即使能表示也很復(fù)雜，不易計(jì)算，這時(shí)對(duì)被積函數(shù)的各種不同的函數(shù)逼近方法就可以得到很多不同精度的數(shù)值積分公式。

《數(shù)值方法》課程的教學(xué)過(guò)程中要始終貫穿這些思想和方法，對(duì)涉及到的這些思想和方法的深刻理解有助于對(duì)課程知識(shí)的理解和把握。

2 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，融入知識(shí)背景和數(shù)學(xué)建模思想

1）優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容 《數(shù)值方法》作為介紹科學(xué)計(jì)算中的基礎(chǔ)理論與基本方法的課程，已成為眾多專業(yè)學(xué)生的必修或選修課程。針對(duì)不同專業(yè)和不同層次的學(xué)生，首先結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況和課程的要求制定合理的教學(xué)大綱和考試大綱；其次應(yīng)對(duì)現(xiàn)有教材內(nèi)容進(jìn)行加工，做到所講授的內(nèi)容既保證知識(shí)的完整性、理論的系統(tǒng)性，又體現(xiàn)不同專業(yè)方向?qū)?shù)值方法課程的不同要求［3］。

對(duì)于數(shù)值方法，學(xué)生普遍感到難學(xué)，面對(duì)眾多的數(shù)學(xué)公式，不在乎能記住多少，關(guān)鍵是構(gòu)造各種算法的思想和如何運(yùn)用算法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)側(cè)重如何運(yùn)用算法解決實(shí)際問(wèn)題，可以采用已有的專門的數(shù)學(xué)軟件包教學(xué)，如Matlab等，計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)注重算法的構(gòu)造和細(xì)節(jié)推理過(guò)程，宜采用C語(yǔ)言教學(xué)。

2）融入背景知識(shí) 《數(shù)值方法》課程具有很強(qiáng)的科學(xué)工程計(jì)算背景，傳統(tǒng)的數(shù)值方法課程教學(xué)中忽視了知識(shí)背景的教學(xué)。講授純科學(xué)只能教給學(xué)生知識(shí)，而融入背景知識(shí)卻能教給學(xué)生更多智慧。介紹一些經(jīng)典算法的歷史背景和一些常用的數(shù)值計(jì)算方法工程背景，往往可以引發(fā)學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)意義的深入思考，原本較為枯燥的課程內(nèi)容也會(huì)因此變得生動(dòng)有趣，激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性。例如在講授插值，擬合等問(wèn)題時(shí)可以結(jié)合社會(huì)生活中的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)等教學(xué)。

3）融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法 為了凸現(xiàn)實(shí)用性，在課程改革和建設(shè)過(guò)程中注重與其他學(xué)科的融合，主動(dòng)融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法。很多數(shù)學(xué)模型最終都要借助于數(shù)值方法課程中的各種理論、算法來(lái)求解，如果精選一些既涉及到數(shù)值方法理論和算法又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)容，將兩者有機(jī)結(jié)合起來(lái)，從實(shí)際要解決的問(wèn)題出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型，然后結(jié)合 《數(shù)值方法》課程中相關(guān)理論、算法研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。《數(shù)值方法》課程中融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，為數(shù)值方法找到了實(shí)際的應(yīng)用背景，體現(xiàn)了數(shù)值方法的實(shí)用性。

3 注重上機(jī)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

1）重視算法構(gòu)造和上機(jī)實(shí)現(xiàn) 《數(shù)值方法》課程中多種算法及其理論分析結(jié)果，只有通過(guò)上機(jī)實(shí)驗(yàn)才能得到驗(yàn)證，也只有通過(guò)上機(jī)運(yùn)算后才能更好地更深刻地理解和掌握。在算法的構(gòu)造過(guò)程和理論分析介紹完之后，當(dāng)需要用實(shí)例驗(yàn)證說(shuō)明算法時(shí)，要通過(guò)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例將算法逐步轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的高級(jí)語(yǔ)言源程序，并調(diào)試、運(yùn)行。

2）精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)題目 上機(jī)題目的選擇安排至關(guān)重要，一方面要體現(xiàn)該課程的重點(diǎn)與難點(diǎn)，另一方面又要具有一定的探索性。緊密結(jié)合 《數(shù)值方法》課程，尋找理論知識(shí)所能解決的實(shí)際生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題的解決幫助學(xué)生理解和鞏固所學(xué)的理論知識(shí)。既有基礎(chǔ)性的實(shí)驗(yàn)，也有專題性的實(shí)驗(yàn)，又有綜合性的實(shí)驗(yàn)；既有統(tǒng)一布置的題目，又有鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的專業(yè)、能力選擇其他的開放性題目。要求對(duì)同一題目盡可能的采用不同的算法設(shè)計(jì)，從病態(tài)性、敏感性及計(jì)算復(fù)雜程度等方面來(lái)分析每種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，加深對(duì)算法的理解。

例如在講授非線性方程的數(shù)值解這一章中的不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，同學(xué)們都知道在求解非線性方程時(shí)高于5次的方程沒(méi)有求根公式可以利用。迭代法是一類重要的求解非線性方程數(shù)值解的方法，迭代法中最關(guān)鍵的問(wèn)題是將方程f（x）=0轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程x=φ（x），φ（x）稱為迭代函數(shù)。φ（x）選取的好壞直接關(guān)系到得到的迭代序列｛xn｝是否收斂到方程的真解x＊以及收斂速度的快慢，為了使學(xué)生充分理解這一點(diǎn)，在講完這一節(jié)后可安排如下的上機(jī)習(xí)題。

例1 已知方程x3＋4x2-10=0在 ［1，2］有唯一根，若選取迭代函數(shù)φ（x）為：

選取初值x0=1．5，對(duì)于φ（x）的以上5種選擇觀察不同的迭代效果。通過(guò)比較該實(shí)驗(yàn)中的5種結(jié)果，學(xué)生很容易掌握迭代法的關(guān)鍵是迭代函數(shù)的選取，對(duì)于不同的迭代函數(shù)迭代的效果不一樣，有的發(fā)散，如 （1）和 （2）；有的收斂，如 （3）、（4）、（5），并且收斂的速度也不一樣，迭代函數(shù) （5）收斂效果最好。這種方法剛好就是下一節(jié)所要講解的經(jīng)典牛頓迭代法，這樣安排的實(shí)驗(yàn)既有利于學(xué)生掌握本節(jié)知識(shí)，又能起到較好的銜接作用。

3）實(shí)行團(tuán)隊(duì)合作的分組實(shí)驗(yàn)教學(xué) 注重實(shí)驗(yàn)的組織和管理，以項(xiàng)目為主導(dǎo)，實(shí)行分組教學(xué)，加強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作。將學(xué)生分成實(shí)驗(yàn)小組，教師給出一定范圍內(nèi)的具有啟發(fā)性的實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，各實(shí)驗(yàn)小組根據(jù)教師指定的范圍結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，在濃厚興趣的支配下自行設(shè)計(jì)方案，分析理論并上機(jī)實(shí)驗(yàn)，最終解決問(wèn)題。筆者曾在數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2009級(jí)學(xué)生中試用這種項(xiàng)目主導(dǎo)，團(tuán)隊(duì)合作分組實(shí)驗(yàn)教學(xué)法，將2個(gè)同年級(jí)的不同班級(jí)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)教學(xué)。一個(gè)班級(jí)采用項(xiàng)目主導(dǎo)，團(tuán)隊(duì)合作實(shí)驗(yàn)教學(xué)的方式，學(xué)生的反應(yīng)異常積極，由學(xué)生自行組合 （4～5人）成一個(gè)實(shí)驗(yàn)小組，小組成員根據(jù)教師的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一起討論、研究問(wèn)題的解決方案，分工合作，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成幾個(gè)小問(wèn)題，每個(gè)人負(fù)責(zé)一個(gè)方面的工作，大家完成以后組裝在一起形成最終的成果。每周的實(shí)驗(yàn)課上由每小組派一名代表現(xiàn)場(chǎng)演示說(shuō)明各自小組研究的成果，向同學(xué)介紹自己小組采用的方法以及獨(dú)特的地方。另一個(gè)班級(jí)采用傳統(tǒng)的單槍匹馬上機(jī)方法，學(xué)生個(gè)人獨(dú)立編制程序、調(diào)試。通過(guò)對(duì)比，2個(gè)班級(jí)的效果完全不同，前一班級(jí)每次都能按時(shí)完成任務(wù)，并能保證上機(jī)調(diào)試成功。而后一班級(jí)80%同學(xué)在課后都沒(méi)有抽出時(shí)間編寫程序，而是等到上機(jī)時(shí)才臨時(shí)編寫程序，匆忙之下寫出的程序調(diào)試很難成功，不易在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，并且對(duì)在調(diào)試過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題也沒(méi)有進(jìn)一步深入探討。對(duì)比實(shí)驗(yàn)教學(xué)結(jié)果說(shuō)明以項(xiàng)目主導(dǎo)，團(tuán)隊(duì)合作的分組實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式能充分調(diào)動(dòng)同學(xué)們的積極性，激發(fā)研究興趣。學(xué)生利用課余時(shí)間查找有關(guān)的資料，學(xué)習(xí)課本中所沒(méi)有的其他專業(yè)知識(shí)，編制程序并反復(fù)實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)課上演示成功，培養(yǎng)了學(xué)生自我收集資料和主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力與習(xí)慣。另外，對(duì)于不同的課題內(nèi)容，小組中必須派不同的代表演示說(shuō)明，這樣小組成員之間就發(fā)展起了良好的合作關(guān)系，充分調(diào)動(dòng)了小組中每位成員的積極性，每位成員都盡力為主講同學(xué)服務(wù)，同時(shí)下一次也同樣能感受到同小組其他成員的支持，這為學(xué)生以后走上工作崗位發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)協(xié)作精神奠定了良好的基礎(chǔ)。

4）制定合理的考核方法 實(shí)驗(yàn)結(jié)束后學(xué)生及時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)總結(jié)，填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。教師從多方面多角度全面評(píng)價(jià)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)技能與創(chuàng)新能力。數(shù)值實(shí)驗(yàn)的教學(xué)十分重要，實(shí)驗(yàn)的選題、組織與管理、程序的設(shè)計(jì)編寫、結(jié)果的分析和學(xué)生的考核評(píng)價(jià)等每一個(gè)環(huán)節(jié)都要從嚴(yán)把關(guān)。只要精心設(shè)計(jì)出新穎的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，注重解決問(wèn)題的思想與方法，勇于創(chuàng)新，就能取得較好的效果，成為為其他課程服務(wù)的有力工具。

4 嘗試開放式教學(xué)模式

傳統(tǒng)意義上教師講解、學(xué)生聽課的方式不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于一些新知識(shí)，教師可以不直接講解，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)［4］為主導(dǎo)，老師通過(guò)提出相關(guān)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，學(xué)生提出自己的見(jiàn)解，教師組織課堂討論，學(xué)生就不同的觀點(diǎn)發(fā)表意見(jiàn)，最終歸納總結(jié)學(xué)得知識(shí)，并得到問(wèn)題的最優(yōu)答案。對(duì)于這種方式獲得的知識(shí)學(xué)生理解最為深刻，但對(duì)教師的要求比較高，教師除了具有本課程的相關(guān)知識(shí)外，還應(yīng)具有收集分析整理相關(guān)資料能力，能結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容有針對(duì)性地設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)問(wèn)題。教師在以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為主體的這種開放式教學(xué)模式中，教師是活動(dòng)的組織者，有序的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的討論是關(guān)鍵，在一種輕松融洽的學(xué)習(xí)氛圍中，推動(dòng)學(xué)生不斷的質(zhì)疑和思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)探尋真理和學(xué)習(xí)的熱情。

《數(shù)值方法》課程公式復(fù)雜，傳統(tǒng)的教學(xué)模式效率低下，教學(xué)過(guò)程中宜采用多媒體課件為主，黑板板書為輔的教學(xué)手段［5］。通過(guò)多媒體演示增加課堂的信息量和感染力，展現(xiàn)出傳統(tǒng)黑板教學(xué)不能展現(xiàn)出的直觀、動(dòng)態(tài)的效果。

［1］鐘爾杰，黃廷祝 ．關(guān)于數(shù)值分析課程教學(xué)改革研究的綜述和思考 ［J］．大學(xué)教學(xué)，2007，23（2）：8-12．

［2］宋松和，朱建民，唐玲艷，等 ．高等數(shù)值分析課程教學(xué)改革探討 ［J］．高等教育研究學(xué)報(bào)，2008，31（4）：66-67．

［3］孟國(guó)艷，趙青杉 ．計(jì)算方法課程教學(xué)改革探討 ．忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào) ［J］．2008，24（2）：111-113．

［4］陳煥禎，姜子文，劉尊東 ．計(jì)算方法課程改革與建設(shè)的探討 ［J］．山東師范大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2002，17（4）：88-90．

［5］李小林 ．關(guān)于數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)改革的探討 ［J］．重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，29（2）：85-87．