湯雷翰, 趙 鴻, 劉宗華, 周 濤,汪秉宏

(1.北京計算科學(xué)研究中心,北京 100864；2.香港浸會大學(xué)物理系,九龍；3.廈門大學(xué)物理系,廈門 361005；4.華東師范大學(xué)物理系,上海 200062；5.電子科技大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)科學(xué)中心,成都 610054；6.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系,合肥 230026；7.上海理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)中心,上海 200093)

復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)現(xiàn)象的統(tǒng)計物理研究

湯雷翰1,2, 趙 鴻3, 劉宗華4, 周 濤5,汪秉宏6,7

(1.北京計算科學(xué)研究中心,北京 100864；2.香港浸會大學(xué)物理系,九龍；3.廈門大學(xué)物理系,廈門 361005；4.華東師范大學(xué)物理系,上海 200062；5.電子科技大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)科學(xué)中心,成都 610054；6.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系,合肥 230026；7.上海理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)中心,上海 200093)

近年來生物學(xué)、信息學(xué)和社會科學(xué)海量數(shù)據(jù)的積累,推動了各類定量分析手段的發(fā)展.統(tǒng)計力學(xué)作為聯(lián)系多體系統(tǒng)微觀與宏觀描述的數(shù)學(xué)理論,在復(fù)雜性科學(xué)的發(fā)展歷程中正發(fā)揮著作用.本文結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和非平衡態(tài)系統(tǒng)的若干研究成果,對統(tǒng)計物理方法在復(fù)雜現(xiàn)象的描述、主要變量及其相互依賴關(guān)系的確定、模型的提出與分析、及普適性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)等方面的進(jìn)展作一簡單介紹,并探討統(tǒng)計物理學(xué)與相應(yīng)學(xué)科深層次交叉所面臨的機遇和挑戰(zhàn).

復(fù)雜系統(tǒng);統(tǒng)計物理;多層次結(jié)構(gòu)與動力學(xué);海量數(shù)據(jù)分析與建模

現(xiàn)代人生活的自然和社會環(huán)境在任何意義下都會被劃分為一個或者多個相互纏繞的復(fù)雜系統(tǒng).永不停息的技術(shù)進(jìn)步帶來了龐大并不斷細(xì)化的社會分工,信息革命又將個體的活動通過多條通訊渠道關(guān)聯(lián)起來,資本市場和政府的宏觀調(diào)控影響著大小公司的運作和行業(yè)的興衰,而某個農(nóng)場的偶然一次病毒基因突變卻可以通過使用現(xiàn)代交通工具的人體傳遍地球的每個角落,威脅整個人類的生存.如此龐大復(fù)雜的系統(tǒng),不斷地翻騰變化,吐故納新,何是因?何是果?可否駕馭?規(guī)則如何設(shè)定?成效如何評估?危機能否避免?這些問題的研究,已不僅僅屬于興趣和好奇心驅(qū)動的學(xué)術(shù)與認(rèn)知范疇,而可影響人類社會的未來發(fā)展.

伴隨著以上提到的技術(shù)進(jìn)步與社會結(jié)構(gòu)的不斷復(fù)雜化,人類采集數(shù)據(jù)、觀察現(xiàn)象的能力飛速提升.以互聯(lián)網(wǎng)為標(biāo)志的信息革命的到來,為大規(guī)模數(shù)據(jù)的記錄、儲存和分享提供了前所未有的便利.大量高精度數(shù)據(jù)的涌現(xiàn),為我們定量分析系統(tǒng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、尋找各類變量間的相互依賴關(guān)系、確定系統(tǒng)行為如何受外界因素影響等性質(zhì)提供了可能.自然科學(xué)與人文科學(xué)的交融,正將此可能逐步轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實,為復(fù)雜性科學(xué)這一被譽為21世紀(jì)的科學(xué)的興起帶來了無限生機.

復(fù)雜性科學(xué)從根本上來說還是一個非常年輕的學(xué)科.復(fù)雜系統(tǒng)研究的第一個全球范圍的浪潮可追溯到上世紀(jì)七八十年代,那時候一批有代表性的理論體系得以建立,其中有些思想從上世紀(jì)60年代就開始萌芽,有些成果的影響力一直持續(xù)到現(xiàn)在.這些有代表性的理論體系包括:突變論、微循環(huán)論、耗散結(jié)構(gòu)理論、協(xié)同學(xué)、涌現(xiàn)學(xué)說等.那個時候的一個主要趨勢是尋找構(gòu)建適合于一切復(fù)雜系統(tǒng)的普適理論——往往不是從現(xiàn)象,而是從類似第一性原理出發(fā),構(gòu)建理論體系.很多重要的理論成果,特別是耗散結(jié)構(gòu)理論和涌現(xiàn)學(xué)說,現(xiàn)在依然具有相當(dāng)強的生命力和廣泛的影響力.與此同時,我們也注意到,這些學(xué)說希冀成為復(fù)雜系統(tǒng)普適理論的目標(biāo),可以說沒有實現(xiàn).總結(jié)起來,由于當(dāng)時的研究對象主要是均勻驅(qū)動的物理化學(xué)系統(tǒng),動力學(xué)相對簡單,呈現(xiàn)的時空結(jié)構(gòu)有其特殊性,因此所構(gòu)建的理論體系的適用范圍有它的局限性,與其它系統(tǒng)和理論體系的互補性和一致性也沒有仔細(xì)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑u估,在一些關(guān)鍵問題的把握上便不可避免地出現(xiàn)偏差.

21世紀(jì)初的復(fù)雜系統(tǒng)研究則呈現(xiàn)了完全不同于上一個世紀(jì)的態(tài)勢.很多年輕學(xué)者不再投入建立具有普適價值的理論體系,而是從海量數(shù)據(jù)出發(fā),首先積累現(xiàn)象和統(tǒng)計規(guī)律,然后建立模型去解釋這些現(xiàn)象和規(guī)律.相當(dāng)一部分研究只停留在現(xiàn)象或者粗糙的規(guī)律層面,另外一部分研究上升到具體理論模型的層面,很少有研究關(guān)注完整理論體系的建立.當(dāng)然,有些學(xué)者已經(jīng)認(rèn)識到了建立基礎(chǔ)理論的重要性,譬如Ginestra Bianconi一直致力于網(wǎng)絡(luò)系綜的討論,在更大的參數(shù)空間上分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和功能的關(guān)系,以期找到一般性的規(guī)律.

對于一個年輕又充滿活力的學(xué)科來說,螺旋式的發(fā)展模式有它的必然性.回顧物理學(xué)的發(fā)展,基本概念和方法論的建立往往需要經(jīng)過一個漫長的迭代過程.對研究的問題做出清晰界定需要實驗觀察和數(shù)據(jù)積累到一定水平,相應(yīng)的理論框架的建立也需要經(jīng)過多方面的嘗試、比較和優(yōu)化.簡化模型的提出和分析,有助于核心問題的提煉和更有針對性的實驗的設(shè)計和開展,從而加快研究進(jìn)程.在包含大量變量和復(fù)雜動力學(xué)的系統(tǒng)的研究中,統(tǒng)計物理學(xué)可以為模型的分析提供嚴(yán)格和系統(tǒng)的方法,建立系統(tǒng)微觀和宏觀性質(zhì)之間的聯(lián)系.通過對模型的定量分析,研究者可以深入了解并重新審視研究對象,推測系統(tǒng)隨著參數(shù)的變化可能出現(xiàn)的改變并加以實驗驗證,同時也可以在拓廣的參數(shù)空間里分析比較系統(tǒng)的性質(zhì)和行為.模型研究的另一個功能是通過對模型的數(shù)學(xué)處理和變換,將在不同背景下提出的問題聯(lián)系起來,起到相互啟發(fā)和借鑒的作用.這是新觀點和新方法乃至普適理論提出的一個重要源泉.

近十年來,統(tǒng)計物理學(xué)的基本思想、理論、方法和概念在復(fù)雜現(xiàn)象的研究中已經(jīng)有了廣泛的滲透.舉例來說,人類行為和經(jīng)濟(jì)波動中的異常檢測,以及信息系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)程度的刻畫,都可根植于相應(yīng)的統(tǒng)計系統(tǒng)；社會系統(tǒng)中恐慌情緒的傳播、信息系統(tǒng)中某一謠言的大爆發(fā),以及突發(fā)性的金融震蕩,都可以用相變與臨界現(xiàn)象理論加以近似刻畫；生物調(diào)控信號的傳輸,信息和社會系統(tǒng)中意見和信息的傳輸都可以在某種程度上抽象為具有相互作用的多體系統(tǒng)的傳播動力學(xué).可以說,在近年來的生物信息學(xué)、人類動力學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等新興交叉學(xué)科方向的飛速發(fā)展過程中,統(tǒng)計物理學(xué)在新概念、新方法的提出等方面都發(fā)揮了積極作用.

統(tǒng)計物理學(xué)與復(fù)雜性科學(xué)的深度交叉,不僅為相應(yīng)學(xué)科的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)和工具,同時也對本學(xué)科的發(fā)展開辟了眾多全新的課題,將過去對復(fù)雜性的抽象討論引向深入.與經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)所關(guān)注的均勻體系不同,現(xiàn)實世界中,如生物、工程和社會中的復(fù)雜系統(tǒng)表現(xiàn)出很多特殊的屬性,例如系統(tǒng)開放、受能量驅(qū)動處于非平衡態(tài)且不斷演化、結(jié)構(gòu)化但不完全有序、具有記憶、適應(yīng)甚至主動改變外部環(huán)境等功能.這類系統(tǒng)的復(fù)雜性突出表現(xiàn)在系統(tǒng)的多層次結(jié)構(gòu)、寬廣和魯棒的響應(yīng)特性、復(fù)雜的內(nèi)在邏輯和復(fù)雜的動力學(xué),在宏觀層次上具有多種功能,以適應(yīng)外界和自身對其“處理問題能力”的要求.因此,功能的有效實現(xiàn)的相關(guān)機制在這類系統(tǒng)的研究中占有主導(dǎo)地位.

本文結(jié)合統(tǒng)計物理學(xué)在復(fù)雜系統(tǒng)研究中近年取得的進(jìn)展,對相關(guān)的工作做一個簡單的回顧.討論按四個方面展開:a.低維和有限體系的非平衡態(tài)統(tǒng)計；b.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的多層次動力學(xué)；c.信息挖掘的統(tǒng)計力學(xué)研究；d.生物系統(tǒng)海量數(shù)據(jù)的整理和建模.由于涉及的問題和研究內(nèi)容非常廣泛,文獻(xiàn)量也十分巨大,本文的目的并不是對已有的工作進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié),而是希望通過代表性問題的陳述及相應(yīng)研究方法和成果的比較,對領(lǐng)域目前的研究現(xiàn)狀加深認(rèn)識,為制訂未來的研究目標(biāo)和研究路線圖提供依據(jù).

1 低維和有限體系的非平衡態(tài)統(tǒng)計

將低維和有限體系劃分為復(fù)雜系統(tǒng),主要是由于其特有的熱漲落性質(zhì)、對雜質(zhì)的敏感性、及其呈現(xiàn)的各類非線性動力學(xué)特性.相對于其它復(fù)雜系統(tǒng),它們相對簡單但具有較明確的物理背景.作為實現(xiàn)各類器件和生物功能的載體,此類系統(tǒng)在納米材料研究、細(xì)胞內(nèi)分子過程的生物物理研究中占主導(dǎo)地位,實驗科學(xué)領(lǐng)域有大量的成果和知識積累,同時也為理論研究提出了實際而且迫切的科學(xué)問題.從上世紀(jì)80年代開始,制備和觀察手段的發(fā)展開辟了低維小尺度系統(tǒng)研究的新時代,除了微納顆粒、納米線、納米管、石墨烯等低維材料以外,自然界中的生物大分子以及血液循環(huán)和污水處理等領(lǐng)域涉及到的微納尺度流體等都屬于這一范圍.低維材料在光、電、熱、磁、聲及力學(xué)性能等方面往往表現(xiàn)出不同于塊體材料的性質(zhì),其動力學(xué)行為也由于小尺度而偏離平衡態(tài)系統(tǒng)特別是熱力學(xué)極限下已知的規(guī)律.在實際應(yīng)用中,系統(tǒng)往往處于外界驅(qū)動的非平衡穩(wěn)態(tài)下,其統(tǒng)計性質(zhì)的描述也需要在非平衡統(tǒng)計物理的框架下開展[1-5].

平衡態(tài)系統(tǒng)由于滿足玻爾茲曼分布,其物理性質(zhì)可以通過統(tǒng)計平均直接獲得.當(dāng)系統(tǒng)處于非平衡態(tài)時,以上性質(zhì)便不成立,目前因沒有一般的推導(dǎo)此類系統(tǒng)所處狀態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重的方法,計算系統(tǒng)的各類特性便需從解動力學(xué)方程出發(fā),這樣不僅計算量大大增加,統(tǒng)計物理學(xué)眾多強有力的計算統(tǒng)計平均的嚴(yán)格或近似的方法也都沒有了用武之地.因此,如何有效地計算非平衡態(tài)的統(tǒng)計分布函數(shù)便是非平衡統(tǒng)計研究最核心的問題.雖然這個問題遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決,但近十幾年來,以漲落定理(fluctuation theorems)和大偏差理論(large deviations theory)為代表的理論工作卻在回答這個問題的進(jìn)程中開啟了可喜的大門.在與實驗研究的結(jié)合方面,理論的進(jìn)展為低維材料的熱傳導(dǎo),熱擴(kuò)散,能量傳輸?shù)牟粚ΨQ現(xiàn)象,低維系統(tǒng)中微粒物質(zhì)的熱遷移,微納米尺度流體,分子馬達(dá)等課題的實驗和數(shù)值模擬研究提供了有力的支撐.

以Jarzynski等式為例,自1997年此等式被提出以來,其研究進(jìn)展非常迅速[6-11].我們知道如果使某個統(tǒng)計物理系統(tǒng)的某個參數(shù)在兩個給定值間轉(zhuǎn)變,通常將經(jīng)歷一個非平衡態(tài)過程.Jarzynski等式表明,在此過程中對系統(tǒng)所做的功,取決于當(dāng)系統(tǒng)處在兩個不同系統(tǒng)參數(shù)下的平衡態(tài)(溫度相同)的自由能之差.這是關(guān)于非平衡態(tài)過程少有的具有一般意義的嚴(yán)格結(jié)果之一,也在RNA的單分子折疊拉伸等實驗中得以應(yīng)用.后續(xù)理論工作包括Crooks的漲落定理,量子系統(tǒng)中的Jarzynski等式及其推廣等.Jarzynski等式的討論也為發(fā)展全新的平衡態(tài)及平衡態(tài)之間過渡的計算方法提供了啟示.

已低維系統(tǒng)熱傳導(dǎo)的研究,早在上世紀(jì)六七十年代就開始了,最近20年來對各類模型中出現(xiàn)的非線性激發(fā)的細(xì)致分析,使得人們對傅立葉熱傳導(dǎo)定律在低維系統(tǒng)中的適用性有了深層次的了解,認(rèn)識到了動量守恒或平移不變性在決定低維系統(tǒng)熱傳導(dǎo)規(guī)律方面的重要角色,并且提出了熱傳導(dǎo)規(guī)律對空間維數(shù)依賴關(guān)系的猜測[12-26].低維熱傳導(dǎo)研究目前存在幾個焦點.

a.反常熱傳導(dǎo)的微觀機制是什么?1998年胡斑比、李保文、趙鴻提出了動量守恒導(dǎo)致低維系統(tǒng)反常熱傳導(dǎo)的觀點.目前已經(jīng)清楚,盡管這一原則具有一定的普遍性,但是也存在個別反例,因此反常熱傳導(dǎo)的存在需要進(jìn)一步探尋更基本、更深層次的微觀機理.

b.低維系統(tǒng)熱傳導(dǎo)規(guī)律對于系統(tǒng)空間維度的依賴關(guān)系如何?一些理論猜測認(rèn)為具有平移不變性的系統(tǒng)熱傳導(dǎo)系數(shù)隨著系統(tǒng)尺寸冪指數(shù)發(fā)散(一維),對數(shù)發(fā)散(二維),保持不變(三維).這一結(jié)果意味著雖然低維系統(tǒng)具有反常熱傳導(dǎo),三維材料則仍然遵從傅立葉熱傳導(dǎo)定律.圍繞這一猜測展開了一系列的數(shù)值檢驗?zāi)酥翆嶒烌炞C,目前基本認(rèn)可了這一結(jié)論,同時對于具體的依賴方式仍然存在爭論.

c.反常熱傳導(dǎo)和反常擴(kuò)散之間的關(guān)聯(lián).正如昂薩格倒易關(guān)系建立了不同非平衡態(tài)物理過程系數(shù)之間的聯(lián)系,一些研究者試圖建立反常熱傳導(dǎo)發(fā)散系數(shù)和反常能量擴(kuò)散發(fā)散系數(shù)之間的普適性聯(lián)系并且提出了兩個不同的公式.但是,這兩個公式的正確性仍然處在質(zhì)疑之中.

d.反常熱傳導(dǎo)和反常能量擴(kuò)散的微觀機制的探討.這方面的爭論更加激烈,例如趙鴻等在研究了非線性一維晶格中孤波-孤波、孤波-聲子,聲子-聲子散射的定性定量規(guī)律的基礎(chǔ)上,通過對有限溫度晶格中能量漲落時空關(guān)聯(lián)行為的研究,提出一維晶格中的反常熱傳導(dǎo)和反常能量擴(kuò)散是由于孤波的特殊動力學(xué)屬性造成的[16-17],而李保文等則以有效聲子方法(Bogoliubov變換)為出發(fā)點討論這一問題,認(rèn)為有限溫度下只存在有效聲子,并且認(rèn)為有效聲子能給出某些宏觀量對溫度依賴規(guī)律的更準(zhǔn)確預(yù)測[18].

e.低維材料熱傳導(dǎo)性質(zhì)的實驗測量.由于實驗技術(shù)的發(fā)展,納米線、納米管的熱傳導(dǎo),包括與尺寸的依賴關(guān)系,已經(jīng)有了一些測量工作[19],二維材料石墨烯的熱傳導(dǎo)實驗也已經(jīng)初步開始[20].

在低維和有限系統(tǒng)的討論中,反常統(tǒng)計特性,肥尾冪指數(shù)分布,自相似分形結(jié)構(gòu),奇異高次統(tǒng)計矩等,都是常見的特征.這些特異現(xiàn)象的研究,不僅為深入發(fā)展非平衡統(tǒng)計物理和非廣延統(tǒng)計物理提供了依據(jù),而且可以為統(tǒng)計物理復(fù)雜系統(tǒng)的其他課題提供理論參考、研究方法和工具.

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的多層次動力學(xué)

時空系統(tǒng)中的自組織現(xiàn)象及其產(chǎn)生的各種規(guī)則和不規(guī)則的結(jié)構(gòu)長久以來一直是非平衡統(tǒng)計物理學(xué)所關(guān)注的問題之一.以往的研究集中于以格點模型為代表的空間均勻系統(tǒng),而經(jīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)定義的單元間相互作用的系統(tǒng)近十幾年來成為研究熱點,大量的研究成果極大地豐富了動力學(xué)系統(tǒng)現(xiàn)象學(xué)的知識,為統(tǒng)計物理學(xué)向其他學(xué)科的滲透提供了大量有價值的參照模型.以下就復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)研究近年來在描述人類行為和各類社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的統(tǒng)計特性和演化規(guī)律、大腦神經(jīng)元系統(tǒng)同步現(xiàn)象的定量刻畫等方面所取得的進(jìn)展做一簡述.

人類行為具有高度的復(fù)雜性.針對人類行為統(tǒng)計特性的研究起始于2005年Barabasi在《Nature》雜志上發(fā)表的針對人類行為時間特性的開創(chuàng)性的工作[27]和2006年Brockmann等發(fā)表在《Nature》雜志上的針對空間特性的工作[28].從2005年算起,人類動力學(xué)的研究,僅在《Nature》,《Science》,《PNAS》,《Nature Physics》,《Physical Review Letters》,《PLoSONE》等有廣泛影響力的期刊上,就發(fā)表了超過50篇研究論文,涉及人類時空行為實證分析、理論模型和具體應(yīng)用等方面,已經(jīng)成為復(fù)雜性科學(xué)領(lǐng)域的一個重要新興領(lǐng)域.研究的內(nèi)容涉及人類行為對社會系統(tǒng)形成、社會的結(jié)構(gòu)和發(fā)展的效應(yīng)等,在傳染病傳播、城市交通、社會安全、國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展等重大民生課題的科學(xué)探討中也取得了若干初步成果,深化了人們對問題背后各種因數(shù)間相互影響和博弈的認(rèn)識.

流行病的傳播及爆發(fā)幾率與其載體——人群的流動和接觸模式有密切關(guān)聯(lián).傳統(tǒng)上,流行病的研究主要是假定感染個體與健康個體是均勻混合的,流行病的傳播是通過平均場來進(jìn)行的.這種做法與真實發(fā)生的過程顯然有相當(dāng)大的距離,比如人類活動是通過交通工具進(jìn)行的,而且具有其自身的獨特特征如社區(qū)性、旅行目的性及對場所的時間段占據(jù)特性等.考察真實的流行病傳播過程如薩斯的傳播,人們發(fā)現(xiàn)其傳播軌跡并不是從一個區(qū)域逐漸向外傳播的,而是具有網(wǎng)絡(luò)特征,因此流行病傳播的研究必須在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上來進(jìn)行.這方面的一個重要成果是,由于社會網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng),具有大量聯(lián)接度的中心節(jié)點的存在將導(dǎo)致流行病傳播的閾值幾近于零[29],也就是說,一個非常小的傳染率就能使流行病在人類社會傳播開來.理論的一個重要的應(yīng)用是在流行病的預(yù)防與控制中.計算發(fā)現(xiàn),從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上隨機選擇少量節(jié)點進(jìn)行免疫能極大地減少流行病的傳播.網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播的最新進(jìn)展是將網(wǎng)絡(luò)上的靜態(tài)個體拓廣到移動的情形,從而將靜態(tài)模型拓廣到個體隨機行走的反應(yīng)-擴(kuò)散模型[30]及非隨機行走(即目的性旅行)的加速傳播模型等[31].然而流行病的研究是一項長期而艱巨的任務(wù),還有許多重要問題需要進(jìn)一步解決,如不同種群間的流行病的傳播、流行病與時變網(wǎng)絡(luò)之間的相互作用、多層網(wǎng)間的流行病傳播等.最新研究表明人類流動模式在長時間尺度下具有一定的可預(yù)測性,研究這種可預(yù)測的流動模式如何影響流行病的傳播,或者更廣泛的輿論、謠言、恐慌等在社會網(wǎng)絡(luò)上的傳播,將有助于預(yù)防各種突發(fā)事件和維持社會的穩(wěn)定.

在社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,金融市場也是高度復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng).2008年金融危機對世界經(jīng)濟(jì)造成的巨大沖擊,使得人們在重新審視主流金融經(jīng)濟(jì)理論的同時,尋找非傳統(tǒng)的方法和理論,探討可能認(rèn)識和解決金融經(jīng)濟(jì)問題的新思路和新途徑.2008年以來, Bouchaud[32],Lux等[33],Schweitzer等[34],Farmer 等[35]紛紛在《Nature》和《Science》撰文指出,人們應(yīng)該可以從實際金融經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)出發(fā),探索市場的運動規(guī)律.而新的金融經(jīng)濟(jì)理論,需要考慮異質(zhì)主體的相互作用,以及金融經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、功能和演化規(guī)律.這樣構(gòu)建的金融經(jīng)濟(jì)理論,是以實際市場數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的實證唯象學(xué)說,有別于以邏輯為基礎(chǔ)的公理體系.近年來,物理學(xué)家應(yīng)用統(tǒng)計物理學(xué)中研究多體系統(tǒng)的概念和方法,從微觀層面研究金融市場的集體行為,從而建立相應(yīng)的多體微觀模型,尋找普適和非普適的運動規(guī)律,是人們對金融市場從另一角度和另一層次的認(rèn)識和探索,具有重要的科學(xué)意義和潛在的應(yīng)用價值.同時,物理學(xué)家也從金融問題的研究中得到啟發(fā),推動復(fù)雜系統(tǒng)統(tǒng)計物理本身的發(fā)展.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的另一個例子是大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它是由幾百億個神經(jīng)元通過極其復(fù)雜的、多層次連接而形成的大腦皮層神經(jīng)系統(tǒng),是自然界中所知的最為復(fù)雜的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)體系.它的結(jié)構(gòu)與動力學(xué)直接關(guān)系到大腦的各種功能及相應(yīng)的精神疾病及認(rèn)知障礙.大腦從下到上可以分為7個層次:分子、神經(jīng)元、神經(jīng)元群、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、大腦皮層、功能分區(qū)和神經(jīng)中樞,其中神經(jīng)元、神經(jīng)元群、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和大腦皮層4個層次上都發(fā)現(xiàn)了同步現(xiàn)象.然而,神經(jīng)系統(tǒng)中的不同時空尺度的復(fù)雜同步行為是如何實現(xiàn)的,它與大腦神經(jīng)元之間發(fā)放的輸運及信息處理之間的關(guān)系如何,這些問題可以通過研究振子網(wǎng)絡(luò)中復(fù)雜的同步行為而獲得重要理解.最近十多年來,由于腦造影技術(shù)的進(jìn)步,人們已在系統(tǒng)層次對大腦的連接及活動積累了非常多的有益數(shù)據(jù).如何分析理解這些數(shù)據(jù)從而獲得對大腦大規(guī)模的復(fù)雜結(jié)構(gòu)、動態(tài)活動及認(rèn)知功能之間的關(guān)系,必將是未來研究大腦會蓬勃發(fā)展的新方向,呼喚著新的統(tǒng)計物理方法來揭示出大腦大尺度的結(jié)構(gòu)和功能網(wǎng)絡(luò)與認(rèn)知過程的關(guān)聯(lián).

3 信息挖掘的統(tǒng)計力學(xué)研究

隨著信息存儲與處理技術(shù)以及互聯(lián)網(wǎng)與萬維網(wǎng)的發(fā)展,我們可以獲取的信息總量呈現(xiàn)爆炸性增長的趨勢.與此同時,我們處理信息的能力卻沒有相應(yīng)的增長.目前信息科學(xué)面臨的最大挑戰(zhàn)是如何解決信息過載問題,也就是如何幫助普通用戶獲取其所感興趣的信息.信息挖掘是極有希望推動并最終解決信息過載問題的關(guān)鍵方法.從廣義上說,信息挖掘包括兩部分:一是信息檢索,二是信息發(fā)現(xiàn).前者著力于將已有信息以一種更好的方式進(jìn)行組織,并以更易于理解和獲取的方式展現(xiàn)給用戶——典型的例子是搜索引擎.后者則是通過分析,自動地推斷一些可能的關(guān)聯(lián),這種關(guān)聯(lián)本身可以看作新的信息——典型的例子是推薦引擎.搜索引擎是以被動的方式服務(wù)(需要用戶輸入搜索詞),是對已知信息的再組織；推薦引擎是以主動的方式服務(wù),是對未知信息的發(fā)現(xiàn).

信息的組織和發(fā)現(xiàn)是重要的科學(xué)問題,事實上,信息挖掘的研究薈萃了計算機科學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)的很多思想、方法和技術(shù).與此同時,我們也注意到,盡管信息挖掘一直是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域,這方面的研究一直停留在具體方法的層面,也就是針對一個具體的問題或一類問題,提出具體的算法并比較算法在某些數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn).事實上,國際學(xué)術(shù)界對于信息挖掘方法和技術(shù)的研究甚囂塵上,卻一直缺乏對基礎(chǔ)理論的探索.統(tǒng)計力學(xué)的系綜理論有望成為信息挖掘的理論基礎(chǔ),而平均場分析方法有望成為分析估計算法表現(xiàn)的有力武器,這方面的研究進(jìn)展,不僅可為信息科學(xué)帶來重大突破,也能拓廣統(tǒng)計物理對其他學(xué)科的滲透,對于建設(shè)具有廣闊視野的統(tǒng)計物理學(xué)科平臺有重大助益.

傳統(tǒng)的研究主要集中于信息挖掘技術(shù)的研究,大多停留在算法設(shè)計與高效實現(xiàn)的層面.典型的信息挖掘問題包括鏈路預(yù)測和個性化推薦,典型的信息挖掘技術(shù)包括:基于相似性的挖掘方法、基于群集智能的協(xié)同挖掘方法、基于內(nèi)容的挖掘方法、基于潛在語義空間的挖掘方法、基于概率模型的挖掘方法、以及混合算法和集成學(xué)習(xí)方法等.此外,多種數(shù)據(jù)分析技術(shù),如數(shù)據(jù)聚類、Bayesian網(wǎng)絡(luò)、關(guān)聯(lián)規(guī)則、數(shù)據(jù)分類、K-means方法、最大熵方法、云模型、多示例學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線性回歸等均被用于信息挖掘.這方面的研究進(jìn)展可以參考文獻(xiàn)[36-39].

最近,張翼成及其研究小組將統(tǒng)計物理的方法引入到信息推薦領(lǐng)域中來,利用經(jīng)典的物理學(xué)方法(物質(zhì)擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)等)來設(shè)計個性化推薦算法.他們的工作主要集中在兩方面:基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推薦和基于協(xié)同過濾的推薦.在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)方面,張翼成等首次提出將熱傳導(dǎo)理論引入推薦系統(tǒng)[40].周濤等對基于網(wǎng)絡(luò)的信息推薦算法進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究,提出個性化推薦在一定程度上等價于二部分圖向一部分圖的含權(quán)投影問題,并依此提出了基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)資源分配的推薦算法[41].周濤等提出了一系列刻畫推薦結(jié)果多樣性和新穎性的指標(biāo),建立了比較完整的包含多樣性、新穎性和精確性的評價體系[42-43],并通過結(jié)合物質(zhì)擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)的混合算法,解決了困擾學(xué)術(shù)界的多樣性-精確性兼顧兩難問題[44].更復(fù)雜的包括社會標(biāo)簽、噪音、負(fù)面評分等因素的討論,最近也被納入到了物理方法的框架中,并得到了明顯優(yōu)于以往方法的結(jié)果[45].

總的來說,信息挖掘是具有重大理論和應(yīng)用價值的多學(xué)科交叉的活躍研究領(lǐng)域.由于目前各類方法缺少堅實和統(tǒng)一的理論基礎(chǔ),因此無法很好地回答一些基本問題.利用統(tǒng)計力學(xué)的思想、方法和概念,建立信息挖掘的理論基礎(chǔ),將有可能為該領(lǐng)域的研究帶來新一輪在方法論和算法設(shè)計層面的創(chuàng)新成果,并有可能取得重大突破.以二部分圖上電子商務(wù)商品推薦[46]為例,目前的信息挖掘手段面臨3個重要問題,分別是冷啟動問題——新用戶新商品無法進(jìn)行精確推薦；稀疏性問題——用戶和商品的直接關(guān)系很少,信息不充分,推薦效果差；多樣性-精確性難以兼顧——精確的推薦往往都傾向于推薦熱銷流行的產(chǎn)品,新穎性、多樣性和個性化程度都低,用戶體驗差.這3個問題影響了信息挖掘的應(yīng)用效果.推動解決或部分解決這些問題,可望引導(dǎo)產(chǎn)生創(chuàng)新高技術(shù)產(chǎn)品,帶來可觀的社會經(jīng)濟(jì)價值.

4 生物系統(tǒng)海量數(shù)據(jù)的整理和建模

生命現(xiàn)象作為一類特殊的復(fù)雜系統(tǒng),以它高度優(yōu)化的遺傳和繁衍模式,經(jīng)過數(shù)億年的進(jìn)化和分化,在地球生物圈這一特定的物理生態(tài)環(huán)境下,將結(jié)構(gòu)與功能的互動發(fā)揮到了極致.生存競爭,資源獵取,優(yōu)勝劣敗,其中有數(shù)不盡的玄機和嘆息.這類現(xiàn)象的科學(xué)研究,近年來由于知識的大量積累、高通量數(shù)據(jù)采集等生化分析手段的發(fā)展、以熒光顯示為代表的活體觀察顯微技術(shù)的出現(xiàn)和大規(guī)模推廣、以及與大規(guī)模DNA測序同步發(fā)展的生物信息學(xué)的誕生,人類對生命的認(rèn)識正經(jīng)歷著一個全方位的飛速提升.

生命現(xiàn)象的多層次和千變?nèi)f化也為科學(xué)地研究和提取其中的規(guī)律提出了極大的挑戰(zhàn).相對說來,細(xì)胞內(nèi)的基本生命運動模式在生物進(jìn)化的早期就相對地固定了下來,因此更有利于系統(tǒng)優(yōu)化過程的定量研究.細(xì)胞作為一個生命單元,有著非常豐富的功能和相應(yīng)的調(diào)控系統(tǒng),其中細(xì)胞代謝的轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)是一個具有代表性的功能化復(fù)雜系統(tǒng).代謝是生命現(xiàn)象中的一個基本過程,細(xì)胞生長所需的生物質(zhì)量(包括氨基酸、核酸、磷脂分子等多種化合物)和化學(xué)能是由酶催化的代謝反應(yīng)所生成的,代謝反應(yīng)與代謝物形成一個龐大的二分網(wǎng)絡(luò),支撐代謝物的相互轉(zhuǎn)化.經(jīng)過大半個世紀(jì)的積累,人們對代謝網(wǎng)絡(luò)的組成和架構(gòu)已有較詳盡的了解(見KEGG數(shù)據(jù)庫http://www.genome.jp/kegg/).Palsson組運用流平衡和線性優(yōu)化方法,建立了包括大腸桿菌和酵母菌在內(nèi)的多種細(xì)胞的代謝模型,用以計算在特定生長環(huán)境下的細(xì)胞生長速率,結(jié)果部分得到了實驗的證實[47-48].給定生長條件下代謝流的分布近似于樹狀,兼具有明顯的區(qū)域性,單個反應(yīng)的速率依賴于相應(yīng)酶的數(shù)目和活性.而轉(zhuǎn)錄調(diào)控作為細(xì)胞內(nèi)部的一個包含多個輸入節(jié)點和多重反饋機制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),可以綜合外界養(yǎng)分及內(nèi)部需求的信息,控制代謝通路的開關(guān)及流量,優(yōu)化物質(zhì)和能量的利用率.隨著近來基因測序和基因芯片等高通量技術(shù)的發(fā)展,有關(guān)的實驗數(shù)據(jù)正在快速積累.雖然不同物種的代謝網(wǎng)絡(luò)大致相同,酶蛋白表達(dá)水平的調(diào)控系統(tǒng)卻千變?nèi)f化,具有復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和多樣的調(diào)控邏輯[49-51].粗略來說,這可以歸結(jié)于細(xì)胞組分、生長環(huán)境、及細(xì)胞周期的差異.另一方面,不同物種在進(jìn)化過程中也可能是找到了同一個問題的不同解,或者當(dāng)某個參數(shù)發(fā)生變化的時候,解的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化.不同物種轉(zhuǎn)錄調(diào)控網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)的豐富的行為,為結(jié)構(gòu)與功能關(guān)系的研究提供了大量的實例,但此類海量數(shù)據(jù)的整理尚缺乏系統(tǒng)性和合適的理論基礎(chǔ).

建立和認(rèn)識功能化復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與功能關(guān)系,需要引入一整套的分析方法,這與建立系統(tǒng)微觀相互作用與宏觀性質(zhì)關(guān)系的研究有可類比之處,但由于功能這一目標(biāo)函數(shù)的引入,結(jié)構(gòu)的討論為統(tǒng)計物理學(xué)提出了新的問題,包括微觀到宏觀定量關(guān)系的建立(關(guān)鍵變量的引入和準(zhǔn)確定義,系統(tǒng)層次的建立)、數(shù)據(jù)挖掘、方法的評估和系統(tǒng)宏觀特性(功能)的確立與劃分等關(guān)鍵科學(xué)問題.整體說來,以上關(guān)鍵問題的解決依賴于對有關(guān)正問題(forward problem,即給定動力學(xué)規(guī)則來預(yù)測系統(tǒng)行為)[52-53]和反問題(inverse problem,即從現(xiàn)象和數(shù)據(jù)出發(fā)確定背后的動力學(xué)規(guī)則)[54-55]認(rèn)識的不斷深入.以細(xì)胞代謝的轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)為例,目前有多種實驗手段通過給予細(xì)胞刺激或控制個別基因表達(dá)來觀測其形貌和內(nèi)部狀態(tài)演變,獲取大量數(shù)據(jù).例如基因組表達(dá)譜,蛋白質(zhì)數(shù)量和代謝中間物濃度隨時間的變化等.對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)念A(yù)處理后,運用建立在信息熵等概念上的各類算法來反推調(diào)控因子與受控基因間的作用關(guān)系,這是研究系統(tǒng)動力學(xué)機理的第一步.而正問題則是研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如何產(chǎn)生和影響功能,將分子網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)模塊與其實現(xiàn)的生物功能直接聯(lián)系起來,通過系統(tǒng)的非線性動力學(xué)、噪聲傳播及穩(wěn)定性分析,了解系統(tǒng)的運作機理.在分析大規(guī)模生物網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的研究中,引進(jìn)多層次結(jié)構(gòu),合理地將網(wǎng)絡(luò)分解成不同層次的功能單元是降低系統(tǒng)復(fù)雜性的一個基本和重要的手段[56-57].

分子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和功能相互依賴的演化過程也是一個解碼生命現(xiàn)象的基本問題,甚至可以說是最基本的問題,因此受到廣泛的關(guān)注[58-59].網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化包括個體數(shù)目的增減、節(jié)點間相互作用的強度及方式的變化等；而功能的變化則可體現(xiàn)為執(zhí)行特定任務(wù)時“效率”的提高、穩(wěn)定性的增強以及自適應(yīng)能力的增加等.對于互演化問題的研究不僅將進(jìn)一步加強我們對復(fù)雜系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和功能之間聯(lián)系的認(rèn)識,同時也將直接提高我們優(yōu)化和設(shè)計分子線路的能力.從網(wǎng)絡(luò)系綜的角度出發(fā),統(tǒng)計物理的方法可以應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)演化過程中過渡態(tài)及停留時間等問題的定量討論中去[60-61].

5 結(jié) 論

近10年的大量研究成果表明,統(tǒng)計物理已經(jīng)成為復(fù)雜系統(tǒng)研究的重要理論依據(jù)和方法來源,展示了它的普適性和實用性.在海量數(shù)據(jù)的挖掘和整理方面,簡化統(tǒng)計物理模型的提出和運用在數(shù)據(jù)的深度分析中發(fā)揮了指導(dǎo)性的作用,為有效地尋找和準(zhǔn)確地表述數(shù)據(jù)背后的規(guī)律提供了有力的支撐.量化描述和關(guān)系的引入,一方面大大豐富了人文科學(xué)的研究內(nèi)容,由定性的甚至是哲理層次的討論擴(kuò)展為定量的分析,另一方面也迫使學(xué)者們重新審視現(xiàn)有的認(rèn)知體系,建立與信息爆炸相適應(yīng)的理論.實際上,一百多年來,統(tǒng)計物理學(xué)積累了大量處理多自由度系統(tǒng)的模型和方法,這一知識寶庫可成為復(fù)雜系統(tǒng)未來發(fā)展的取之不盡的資源.

與此同時,交叉學(xué)科研究中涌現(xiàn)的問題常常在時間和空間上呈現(xiàn)多尺度和多層次,結(jié)構(gòu)和動力學(xué)具有非線性、有限尺度、復(fù)雜關(guān)聯(lián)、小概率事件等特征.與經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)對均勻系統(tǒng)物質(zhì)結(jié)構(gòu)和宏觀物理態(tài)的所取得的成就相比,如何有效地運用統(tǒng)計物理學(xué)的基本思想和基本方法來處理復(fù)雜系統(tǒng)中的各類現(xiàn)象尚有很多問題需要解決.例如,在生物界或現(xiàn)實生活中人們所關(guān)心的功能化復(fù)雜系統(tǒng)往往屬于一般復(fù)雜系統(tǒng)中的特例,從非功能化系統(tǒng)研究中總結(jié)出的統(tǒng)計規(guī)律通常不適用于此類系統(tǒng).蛋白質(zhì)折疊的統(tǒng)計物理研究歷程就提供了一個很好的例子.多肽鏈的折疊需在特定的生理環(huán)境下完成,且折疊時間也必須控制在秒的數(shù)量級,因此相應(yīng)的氨基酸序列必須具有某類特性以滿足功能上的要求.以此類推,在更大的尺度上如細(xì)胞內(nèi)部各類生化通道和分子過程的研究中,物理理論的建立需要解決以下幾個問題:a.定義目標(biāo)函數(shù)；b.建立物理化學(xué)約束及有關(guān)動力學(xué)；c.優(yōu)化資源管理以提高效率和競爭力；d.在基本動力學(xué)基礎(chǔ)上,嵌入與環(huán)境變化相關(guān)的調(diào)節(jié)機制.顯然,這些問題的解決不僅需要有關(guān)學(xué)科知識的積累,也需要多層次上相應(yīng)的統(tǒng)計物理學(xué)工具包括理論分析與計算方法的發(fā)展.在目前的認(rèn)知水平下,一條可行的研究策略是從簡單到復(fù)雜,從具體系統(tǒng)出發(fā)逐步尋找功能化系統(tǒng)的一般規(guī)律.

綜上所述,復(fù)雜系統(tǒng)的研究,亟待以統(tǒng)計物理為基礎(chǔ)的一套堅實的理論支撐,而這又有待于解決統(tǒng)計物理自身面臨的若干問題,包括非平衡態(tài)統(tǒng)計問題、有限系統(tǒng)的分析方法、反問題的分析方法等.我國已經(jīng)形成了有相當(dāng)數(shù)量和質(zhì)量的學(xué)者,在相關(guān)方向上做出了有一定國際影響力的工作.研究的進(jìn)一步深入,需要更多的具有良好統(tǒng)計物理學(xué)知識的年輕學(xué)者的加入,同時緊密地結(jié)合相應(yīng)學(xué)科的實驗研究,用最新的數(shù)據(jù)啟發(fā)和推動理論工作的開展.在統(tǒng)計物理理論的發(fā)展上,我們建議關(guān)注以下三方面的工作:a.發(fā)展統(tǒng)計物理基礎(chǔ)理論以處理非均勻系統(tǒng),特別是處于非平衡態(tài)的受驅(qū)系統(tǒng)中的漲落現(xiàn)象；b.深入研究某些具體但具有代表性的復(fù)雜系統(tǒng),逐步建立基于統(tǒng)計物理思想和概念的理論和方法,譬如信息挖掘和其他反問題的統(tǒng)計系綜理論；c.發(fā)現(xiàn)和積累多尺度、多類別的復(fù)雜系統(tǒng)的新現(xiàn)象和新規(guī)律,加強對功能化模塊的分析和討論.實際復(fù)雜系統(tǒng)多層次時空結(jié)構(gòu)的特性,要求研究者不僅對某一層次現(xiàn)象的分析和討論做得深入,對不同層次的銜接也有充分的認(rèn)識,這樣才可以較準(zhǔn)確地把握研究方向,最終解決人們所關(guān)心的問題.通過領(lǐng)域同行的共同努力和國家層面上全方位的學(xué)科發(fā)展和人才培養(yǎng)計劃的實施,我們希望看到在今后的5～10年內(nèi),統(tǒng)計物理與復(fù)雜系統(tǒng)的這一多學(xué)科交叉的基礎(chǔ)領(lǐng)域在我國能夠不斷發(fā)揚光大,研究隊伍在數(shù)量和質(zhì)量上都有較大的提高,領(lǐng)域的學(xué)者們在具有重大理論和應(yīng)用價值的問題的研究上活躍于國際學(xué)術(shù)舞臺并取得矚目的成績,同時為解決與現(xiàn)代社會人類生活與社會發(fā)展息息相關(guān)的若干重大問題做出應(yīng)有的貢獻(xiàn).

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Statistical physics approach to the structure and dynamics of complex systems

TANGLei-han1,2, ZHAOHong3, LIUZong-hua4, ZHOUTao5, WANGBing-hong6,7
(1.Beijimg Computatiomal Sciemce Research Cemter,Beijimg 100864,Chima；2.Departmemt of Physics,Homg Komg Baptist Umiversity,Kowloom,Chima；3.Departmemt of Physics, Xiamem Umiversity,Xiamem 361005,Chima；4.Departmemt of Physics,Easterm Chima Normal Umiversity, Shamghai 200062,Chima；5.Web Sciemces Cemter,Umiversity of Electro Sciemce amd Techmology of Chima, Chemgduo 610054,Chima；6.Departmemt of Moderm Physics,Umiversity of Sciemce amd Techmology of Chima, Hefei 230026,Chima；7.Complex System Sciemce Cemter,Umiversity of Shamghai for Sciemce amd Techmology,Shamghai 200093,Chima)

The rapid accumulation of massive amounts of data in biology information technology and various branches of social science in recent years has prompted the development of novel quantitative methods. Statistical mechanics,as a mathematical theory that connects microscopic and macroscopic descriptions of systems with many degrees of freedom,can play an important role in this process.A short review of recent progress in the application of statistical physics methods to a broad range of complex phenomena is presented here.From the examples discussed one may obtain a glimpse of the power of the statistical mechanical approach in capturing the system dynamics at different levels of representation and on many different time scales.With the help of simplified models and approximate treatments,the key variables and their interdependencies can be elucidated.Further theoretical considerations and comparative studies may lead to the discovery of unifying principles.The opportunities and challenges in a closer integration of statistical physics and complex systems science are briefly discussed.

complex system；statistical physics；multi-scale structure amd dymamics；large-scale data amalysis amd modelimg

N 94文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1007-6735(2011)05-0409-09

2011-10-24

湯雷翰(1961-),男,教授.研究方向:凝聚態(tài)與統(tǒng)計物理、計算物理、非線性動力學(xué)及系統(tǒng)生物學(xué). E-mail:lhtang@csrc.ac.cn

汪秉宏(聯(lián)系人),男,教授.研究方向:統(tǒng)計物理、非線性科學(xué)、復(fù)雜系統(tǒng)理論.Email:bhwang@ustc.edu.cn