武 偉， 王宏志

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012）

0 引 言

基于偏微分方程的圖像處理是近年來(lái)研究的一個(gè)熱點(diǎn)[1-6]，其來(lái)源于物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)，結(jié)合變分方法、泛函分析、微分幾何等數(shù)學(xué)工具，建立和偏微分方程相關(guān)的模型，使其在圖像分割、圖像平滑、圖像識(shí)別等圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其中非線性擴(kuò)散方程是圖像去噪領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的模型，由Perona和Malik[4]于1990年提出，該非線性擴(kuò)散模型根據(jù)圖像梯度對(duì)圖像進(jìn)行不同程度的平滑濾波，具有各向異性。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典P-M方法雖然在特征保持方面成果顯著，但從數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看，其模型卻存在一定缺陷，由于擴(kuò)散函數(shù)是基于圖像梯度計(jì)算出來(lái)的，從而對(duì)噪聲很敏感，一旦噪聲強(qiáng)度加大，在濾除噪聲的同時(shí)，對(duì)圖像的視覺(jué)破壞也相當(dāng)嚴(yán)重。因此，人們對(duì)P-M模型進(jìn)行了大量的改進(jìn)。

文獻(xiàn)[7]得到正則化后的P-M擴(kuò)散方程; Whitaker和 Pizer[8]，Weickert[9]以及 Carmona[10]等改進(jìn)了P-M 擴(kuò)散模型;2000年，Chen[11]等得到了較好的非線性擴(kuò)散模型。在同樣的理論框架下，Osher與 Rudin[12-13]關(guān)于沖擊濾波器（Shock Filter）和Rudin，Osher，F(xiàn)atemi[14]關(guān)于全變差去噪的研究工作顯示了理解偏微分方程在圖像處理中應(yīng)用的必要性與重要性。

雙樹(shù)復(fù)小波變換是為克服通常的離散小波變換的缺陷而提出的。當(dāng)對(duì)應(yīng)小波基（近似）滿足Hilbert變換關(guān)系時(shí)，雙樹(shù)復(fù)小波變換能夠極大地減小通常的實(shí)小波變換中的平移敏感性，改善方向選擇性。這些優(yōu)點(diǎn)使雙樹(shù)復(fù)小波變換在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

1 雙樹(shù)復(fù)小波變換

傳統(tǒng)的離散小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺點(diǎn)，為了克服這些缺點(diǎn)，Kingsbury[15-16]等提出了雙樹(shù)復(fù)小波變換（DT CWT）。雙樹(shù)復(fù)小波變換采用了二叉樹(shù)架構(gòu)的兩路DWT，一樹(shù)生成變換的實(shí)部，一樹(shù)生成虛部，如圖1所示。

圖1 雙樹(shù)復(fù)小波變換

Kingsbury的思路是:對(duì)于第一層分解，如果兩樹(shù)濾波器之間的延遲恰是一個(gè)采樣間隔，那么就可以確保b樹(shù)中第一層的二抽取正好采樣到a樹(shù)中因二抽取所丟掉的采樣值（這樣就等價(jià)于沒(méi)進(jìn)行二抽取，而且非常易于實(shí)現(xiàn)，如在b樹(shù)前加一個(gè)采樣周期延遲即可）;對(duì)于以后的各層分解，為了保證兩樹(shù)在該層和所有前層上產(chǎn)生的延遲差的總和相對(duì)于原始輸入為一個(gè)采樣周期，兩樹(shù)對(duì)應(yīng)濾波器的相頻響應(yīng)之間應(yīng)有半個(gè)采樣周期的群延遲，且兩濾波器的幅頻響應(yīng)相等。為了保證線性相位而采用雙正交小波變換，Kingsbury要求一樹(shù)的濾波器為奇數(shù)長(zhǎng)，另一樹(shù)的濾波器為偶數(shù)長(zhǎng)。如果在每樹(shù)的不同層次間交替采用奇偶濾波器，那么這兩樹(shù)就會(huì)呈現(xiàn)好的對(duì)稱性。

2 非線性擴(kuò)散方程

Perona和Malik[4]提出了一種非線性擴(kuò)散方程，該方程通過(guò)時(shí)間變化的更新（即迭代）使得圖像逐漸平滑，從而達(dá)到去除噪聲的目的。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中:

其中，▽u是圖像的梯度，定義為:

div（v）為散度，定義為:

一般情況下，擴(kuò)散函數(shù)c是圖像的梯度函數(shù)，隨著梯度的增加而單調(diào)下降，見(jiàn)式（2）。該擴(kuò)散系數(shù)決定了擴(kuò)散進(jìn)行的方式，提供了一種局部自適應(yīng)的擴(kuò)散控制策略，使得擴(kuò)散盡可能在噪聲的位置進(jìn)行，而在圖像的邊緣位置停止。

P-M方程的離散形式為:

這樣P-M方程作用于圖像的模板為:

這里像素s的權(quán)值不再是個(gè)固定值，而是跟像素s的空間位置有關(guān)，如果像素位于梯度大的位置，由于c（x，y，t）是以|▽u（x，y，t）|為變量的單調(diào)下降函數(shù)，所以其相應(yīng)的權(quán)值就會(huì)小，平滑力度就弱;反之，如果像素位于梯度小的位置，其平滑力度就強(qiáng)。而圖像的邊緣通常是梯度較大的，而其它區(qū)域梯度較小，所以，P-M方程能在保留甚至加強(qiáng)邊緣的情況下實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像噪聲的去除。

3 雙樹(shù)復(fù)小波變換與非線性擴(kuò)散結(jié)合去噪

1999年，Kingsbury[15]提出了DT-CWT變換，它具有以下特點(diǎn):近似平移不變性，良好方向選擇性，有限數(shù)據(jù)冗余，高效計(jì)算效率，較好重構(gòu)效果等。DT-CWT變換可以通過(guò)2棵離散小波樹(shù)（Tree a，Tree b）并行實(shí)現(xiàn)實(shí)部和虛部運(yùn)算（見(jiàn)圖1）。2棵樹(shù)分別作用于圖像的行和列，產(chǎn)生雙樹(shù)結(jié)構(gòu)。每級(jí)分解后得到2個(gè)低頻帶（低頻部分用于產(chǎn)生下一尺度上的低頻與高頻部分），同時(shí)得到6個(gè)方向（±15°，±45°，±75°）的高頻子帶，可以更好地描述紋理和邊緣等細(xì)節(jié)特征。

利用雙樹(shù)復(fù)小波在紋理和邊緣等細(xì)節(jié)處理的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合非線性擴(kuò)散濾波提出了一種新的圖像去噪方法。首先對(duì)噪聲圖像進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解，生成6個(gè)方向的高頻子帶圖像，然后針對(duì)這些子帶圖像復(fù)小波系數(shù)矩陣的不同特點(diǎn)進(jìn)行非線性擴(kuò)散。最后進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波逆變換，得到最終濾波后的圖像。

算法的主要步驟如下:

步驟1:對(duì)圖像進(jìn)行一次雙樹(shù)復(fù)小波變換。設(shè)二維圖像 u（x，y）分解后的低頻子帶圖像為AL1，AL2;高頻子帶圖像分別為WH1，WH2，WH3，WH4，WH5，WH6。

步驟2:將得到的高頻子帶圖像分別進(jìn)行非線性擴(kuò)散濾波。

步驟3:用非線性擴(kuò)散濾波處理后的高頻子帶圖像進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波逆變換重構(gòu)原圖像。

4 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)選取256×256的灰度圖像作為仿真圖像，以PSNR（peak signal-to noise ration）來(lái)評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量。加入均值為0，方差為σ的高斯噪聲，分別采用雙樹(shù)復(fù)小波、非線性擴(kuò)散、文中方法進(jìn)行去噪，得到的圖像如圖2所示。

圖2 三種方法去噪后的圖像

閾值參數(shù)取0.05，非線性擴(kuò)散的時(shí)間空間步長(zhǎng)分別為t=0，h=1，迭代次數(shù)50，這里閾值參數(shù)是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取的最佳值，為了體現(xiàn)算法的有效性，同時(shí)盡量降低計(jì)算復(fù)雜度，所以迭代次數(shù)為50，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 采用三種去噪方法的PSNR比較

5 結(jié) 語(yǔ)

利用雙樹(shù)復(fù)小波與非線性擴(kuò)散的優(yōu)點(diǎn)，將兩者結(jié)合提出了一種混合去噪方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的雙樹(shù)復(fù)小波和非線性擴(kuò)散法，能更好地去除噪聲并保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)等信息。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

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