王淑珍，和振興

(1.四川工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院管理工程系，四川成都610831; 2.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司地鐵設(shè)計研究院，四川成都610031)

物流中心選址涉及到很多因素，是一項復(fù)雜的工程。國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究工作［1－4］。任永昌等［1］采用重心模型及經(jīng)濟(jì)分析法對城市物流中心單點選址模型優(yōu)化及方案評選進(jìn)行了研究。周愛蓮等［2］運用隨機機會約束規(guī)劃方法，將不確定條件下選址分派費用的波動均方差融入目標(biāo)函數(shù)以實現(xiàn)選址穩(wěn)健性目標(biāo)。Killmer［3］在需求、供應(yīng)、運輸費用都不確定的條件下，針對危險品設(shè)施選址問題構(gòu)建了魯棒優(yōu)化模型。這些模型雖然比傳統(tǒng)選址數(shù)學(xué)模型具有明顯優(yōu)勢，但考慮到預(yù)測的需求情景或者與預(yù)測需求情景靠近的情景在整個物流中心運營期間持續(xù)發(fā)生的概率很小，準(zhǔn)確性仍受到各種不確定因素的影響。

本文基于情景分析法的基本思想，在不確定需求情景下，通過構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型對城市物流中心選址問題進(jìn)行研究，即物流需求在受到環(huán)境小的擾動變化后，物流中心選址的最優(yōu)解不變。一方面由此模型得出的最優(yōu)解要接近任意特定情景下的最優(yōu)解(具有解的魯棒性);另一方面對不確定參數(shù)來講，最優(yōu)解逼近零誤差(模型具有魯棒性)，并通過實例及數(shù)據(jù)分析比較以驗證其合理性和實用性。

1 模型的構(gòu)建

設(shè)G=(V，E)表示某一城市物流網(wǎng)絡(luò)，其中，V=(1，2…，n)表示物流中心的備選點及貨物需求點;E=(eij|i，j∈V，i≠j)為兩頂點之間的連接邊，即物流線路集合，假定網(wǎng)絡(luò)圖已明確而詳細(xì)地列出了所有的候選路徑。設(shè)ξ為定義在概率空間(Ω，Α，Pr)上的隨機向量，即ξ=(ξ1，ξ2，...ξm)，對每個需求情景ω∈Ω，ξj(ω)為在情景ω下客戶j的隨機需求量，pω表示需求情景ω出現(xiàn)的概率。定義變量為在需求情景ω下從物流中心i向需求區(qū)域j的運量為在情景ω下的物流中心i的貨流損失量;capi為物流中心備選點i的最大容量;pc為容量短缺引起單位貨流損失的懲罰因子;為需求在情景ω下的中心i容量剩余量;pd為剩余單位容量的懲罰因子。

則具有魯棒性的城市物流中心選址模型的目標(biāo)函數(shù)描述為:

其中:

這是一個非線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是最小化式(1)和(2)的期望值費用及其偏離最優(yōu)解的偏移量。模型的魯棒度量因子wi迫使模型產(chǎn)生在所有情景下使容量短缺與剩余都趨于零的解;解的魯棒度量因子λ迫使模型找到使各個情景費用都逼近最優(yōu)解的解。通過變化懲罰因子λ和wi，觀測其引起的費用期望值和誤差的變化情況來獲得。

由此可得基于魯棒性的物流中心選址方法的完整模型如下:

約束方程(5)保證了必須考慮所有的需求量，要么在此系統(tǒng)中得到滿足，要么由別家企業(yè)提供(貨流損失);(6)保證了中心i的容量利用，要么用來處理貨流量，要么空余浪費(容量過剩);約束方程(7)對各備選點能夠建設(shè)物流中心的最大容量進(jìn)行了限制;約束方程(8)為運量、容量的非負(fù)約束。

2 求解算法設(shè)計

魯棒優(yōu)化模型是在考慮物流中心的運營過程中其環(huán)境參數(shù)(需求量)變化的基礎(chǔ)上建立的，并通過在具體的區(qū)間內(nèi)改變λ和ω對模型求解。由于其目標(biāo)函數(shù)式(1)是一個非線性方程，因此稱其為非線性規(guī)劃模型，當(dāng)模型規(guī)模很大時，可以采用lingo軟件或者GAMS軟件求解。思路為:

首先，在運行魯棒性模型之前，必須先求解得各情景在確定發(fā)生情況下的最優(yōu)解，以作為魯棒性模型的解的參照物。

其次，求解魯棒優(yōu)化模型，通過系統(tǒng)改變w和λ，反復(fù)運行線性規(guī)劃模型求解程序的過程，循環(huán)次數(shù)為w×λ，算法流程如圖1。

3 實例應(yīng)用及數(shù)據(jù)分析

以某城市為例，鑒于城市的發(fā)展戰(zhàn)略，在考慮各個區(qū)的社會經(jīng)濟(jì)、區(qū)域面積、人口密度及其分布、產(chǎn)業(yè)分布情況、地理特征等因素，從區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)［5－6］，將城市按配送范圍及配送量分成15個小區(qū)，即為各需求點，記為 vi(i=1，2……15)。其網(wǎng)絡(luò)圖如圖2所示。

圖1 魯棒性模型的算法流程Fig.1 Algorithm for robustmodel

圖2 某城市需求點與備選中心點分布示意圖Fig.2 Distribution diagram of demand and origin facility center

根據(jù)城市發(fā)展過程中各區(qū)域的戰(zhàn)略定位，物流需求現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，將城市物流劃分為3個區(qū):Ⅰ區(qū)的地理位置優(yōu)越，物流需求已經(jīng)具有了一定的規(guī)模，規(guī)劃年內(nèi)物流需求仍會增長，但增長能力逐年有下降的趨勢，包括需求點3，7，11，12，13;Ⅱ區(qū)有需求點1，2，5，10，14，有較強的發(fā)展?jié)摿?，物流中心的建設(shè)對于拉動2區(qū)發(fā)展意義重大，物流較前期物流需求增長速率有較大幅度上升;Ⅲ區(qū)包含需求點4，6，8，9，15，有明顯的地域特色和特殊環(huán)境，物流發(fā)展將比較緩慢，需求增長速率到規(guī)劃年會有所上升，但幅度較小。

通過對未來城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人口增長速度、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、市場環(huán)境及政策刺激等物流不確定影響因素及影響機制的分析及量化，進(jìn)行典型情景設(shè)置，預(yù)測規(guī)劃年內(nèi)可能的物流需求情景，并分別確定各情景下各區(qū)物流需求的增幅大小及各情景出現(xiàn)的概率［7－8］。本例設(shè)規(guī)劃年內(nèi)有4個需求情景，記為e1，e2，e3，e4，發(fā)生的概率分別為0.2，0.3，0.25，0.25。各情景下各需求點的需求量大小如表1。

假定有4個物流中心備選點如圖2，各自的最大可能容量為500，建設(shè)和經(jīng)營單個物流中心的單位成本費用(DC)為1.1元/t。各中心備選點到各需求點的單位費用如表2。

表1 各需求點在各情景下的需求量Table 1 Demands of all scenarios t

表2 各中心備選點到各需求點的單位費用(元/t)Table 2 Unit costs between origin facility centers and demands (yuan/t)

取pc=18，pd=6，運用圖1的計算流程，得具有魯棒性物流中心的最佳適建點為備選點1，2，4，其容量大小分別為:340，384，406 t。

3.1 解的魯棒性分析

解的魯棒性由參數(shù)λ來控制，本模型中λ的取值范圍是［0.00001，0.01］，以步長0.00001進(jìn)行增加。λ的增大意味著模型強制性找到一個逼近最優(yōu)解的方案的程度增大。圖3描述了在魯棒性方案下隨著魯棒因子變化時其期望值費用與各自確定發(fā)生條件的優(yōu)化費用的偏移大小示意圖。當(dāng)λ增大到0.0018以前，解基本上是穩(wěn)定的，沒有大的變動。事實上，當(dāng)λ低于0.002時，魯棒性模型的解逼近最優(yōu)解。解得魯棒性通過協(xié)調(diào)容量剩余或短缺水平來獲得。

圖3 魯棒因子對費用偏移期望值的影響Fig.3 Average cost deviations in robust solutions asλis varied

3.2 對容量短缺或剩余的控制

為了獲得逼近容量的零剩余及零短缺對w1，w2在區(qū)間［0.00001，0.01］上以步長0.00001實行很微小的變化。然而，要獲得在所有情景下都實現(xiàn)零剩余和零短缺的容量方案是不可行的，但是容量的剩余或短缺程度可以通過改變備選點1，2，4這3個物流中心的規(guī)劃容量來調(diào)整。

3.3 魯棒優(yōu)化方案與隨機規(guī)劃方案的比較

令w=0，λ=0，則得優(yōu)化期望值總費用的隨機規(guī)劃模型，與魯棒優(yōu)化方案進(jìn)行對比分析得各情景在2種方案下的費用曲線示意圖如圖4。由圖中可得，除了在隨機規(guī)劃方案下容量短缺非常嚴(yán)重的一些情景外，基于魯棒性優(yōu)化的方案(λ= 0.002)大多數(shù)情景下比隨機模型方案的運營費用要高一點，但是差距不大。

圖4 各情景下的費用曲線Fig.4 Cost curve of all scenarios between stochastic solution and robust solution

另外，隨機優(yōu)化方案只是最小化期望值費用，當(dāng)有些情景出現(xiàn)的時候，可能會由于物流中心容量嚴(yán)重不足，導(dǎo)致費用急劇上升。而魯棒優(yōu)化方案的最大優(yōu)勢在于可以大大降低最壞情景的最大后悔值，減小投資的風(fēng)險。

兩方案下各情景貨流損失或容量剩余情況對比如圖5所示。

圖5 貨流損失及容量剩余對比Fig.5 Comparison of excess capacity and unmet demand

由圖5可得，若實施隨機優(yōu)化方案，則各情景發(fā)生的機會損失期望值費用為1 107.63元;發(fā)生情景1時，為最不利情況，造成的最大后悔值為: 149.5×18=2 691(元);若實施魯棒優(yōu)化方案，則各情景發(fā)生的機會損失期望值為918.9元，發(fā)生情景1時，也為最不利情況，但這時的最大后悔值為: 118.0×18=2 124(元);因此，無論從最小化期望值費用來講，還是從最小化最壞情景下的最大后悔值來講，魯棒優(yōu)化方案都優(yōu)于隨機優(yōu)化方案。

4 結(jié)論

(1)在不確定需求情景下，構(gòu)建及實現(xiàn)了基于魯棒性優(yōu)化的城市物流中心選址模型。實例分析表明，此模型不僅可以最小化期望值總費用而且可以大大降低最壞情景的最大后悔值，減小投資風(fēng)險。

(2)該模型可以進(jìn)一步推廣到供應(yīng)、運輸費用等其他因素的不確定性處理，以進(jìn)一步提高選址在整個運營過程中的穩(wěn)健性。

(3)解決了將不確定因素假設(shè)為若干情景的選址問題，對于費用因素的不確定性以某一函數(shù)形態(tài)出現(xiàn)時，選址模型還需進(jìn)一步研究。

［1］任永昌，刑 濤，趙國強.城市物流中心單點選址模型及優(yōu)化及方案評選［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，29(4):690－693.REN Yong-chang，XING chao，ZHAO Guo-qiang.Optimization on single location selection of city logistics centre model and scheme selection［J］.Journal of Liaoning Technical University:Natural Science，2010，29(4):690－693.

［2］周愛蓮，李旭宏，毛海軍.企業(yè)物流中心穩(wěn)健性選址模型［J］.交通運輸工程學(xué)報，2010，10(4):60－65.ZHOU Ai-lian，LIXu-hong，MAO Hai-jun.Robusth location model of enterprise logistics center［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2010，10(4):60－65.

［3］Killmer K A.Sitting noxious facilities under uncertainty［J］.European Journal of Operational Research，2001，133:569－607.

［4］Feng Pan，Rakesh Nagi.Robust supply chain design under uncertain demand in agile manufacturing［J］.Computers＆Operations Research，2010(37):668－683.

［5］崔亞瓊.綜合因素條件下的物流中心選址研究［J］.鐵道運輸與經(jīng)濟(jì)，2010，32(10):53－57.CUIYa-qiong.Research on location selection of logistic center under comprehensive factors［J］.Railway Transport and Economy，2010，32(10):53－57.

［6］董龍云，史 峰，秦 進(jìn)，等.區(qū)域交通物流基礎(chǔ)設(shè)施可持續(xù)發(fā)展水平的多層次灰色綜合評價［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報，2009，2(6):64－68.DONG Long-yun，SHIFeng，QIN Jin，etal.Multi－level grey comprehensive evaluation for sustainable development level of regional transportation and logistics infrastructures［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2009，2(6):64－68.

［7］Zhiqiang Lu，Nathalie Bostel.A facility location model for logistics systems including reverse flows:The case of remanufacturing activities［J］.Computers＆Operations Research，2007(34):299－323.

［8］Anshuman G，Maranas C D.Managing demand uncertainty in supply chain planning［J］.Computers and Chemical Engineering，2003(27):1219－1227.