張永庫，王 晶

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105)

鋼鐵工業(yè)是國家工業(yè)的基礎(chǔ)之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地，許多現(xiàn)代化鐵礦是露天開采。它的生產(chǎn)主要由電動鏟車裝車，卡車運輸來完成，而提高這些大型設(shè)備的利用率是增加露天礦效益的首要任務(wù)。露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)是近30年來世界范圍內(nèi)發(fā)展起來的一項新技術(shù)，它能夠使生產(chǎn)效益得到顯著提高，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)在采礦工業(yè)的一項成功應(yīng)用[1]。隨著計算機技術(shù)、現(xiàn)代通信技術(shù)及其他相關(guān)技術(shù)的迅猛發(fā)展，計算機調(diào)度系統(tǒng)將發(fā)揮越來越大的作用。通過采運設(shè)備的實時調(diào)配進行生產(chǎn)計劃指標(biāo)任務(wù)的完成及生產(chǎn)過程中是否合理地組織、實施卡車調(diào)配，將直接影響露天礦整個生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)效率和經(jīng)濟效益。然而影子價格可反映資源得到的最佳配置價格，能夠指導(dǎo)企業(yè)經(jīng)營管理者進行合理地調(diào)度。

在線性規(guī)劃模型中的資源利用問題中，對偶模型的最優(yōu)解——影子價格是著名的前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家線性規(guī)劃創(chuàng)始人、諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者康特羅維奇首先提出的。隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，“影子價格”理論在當(dāng)代經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，其最大的優(yōu)點在于對現(xiàn)在資源進行合理分配，將有限的資源用于產(chǎn)出最大的生產(chǎn)中。借助“影子價格”的計算，來預(yù)測每一單位的有限資源的變化對企業(yè)經(jīng)濟效益的影響，從而為經(jīng)濟管理者、合理地預(yù)測和決策提供依據(jù)。

1 影子價格簡介

1.1 影子價格的含義

影子價格又稱最優(yōu)計劃價格或效率價格，它是指有限資源或產(chǎn)品在最優(yōu)分配、合理利用的條件下，對社會目標(biāo)的邊際貢獻(xiàn)或邊際效益，所以也稱為資源的機會成本或邊際產(chǎn)出，表示資源在最優(yōu)組合時，具有的“潛在價值”或“貢獻(xiàn)”。在單純形算法中，設(shè)B是最優(yōu)基，XB=B-1b，其余 Xj=0是最優(yōu)解；最優(yōu)值 Z*=CBB-1b，取 Y=CBB-1=(Y1，Y2，…，Ym)則 Y是對偶最優(yōu)解。設(shè) bi有單位增量，即Δbi=1，其他參數(shù)不變。若原最優(yōu)基不變，則 Z+ΔZ=CBB-1(b+(0…Δbi…0）)=Z+YiΔbi，即 ΔZ=YiΔbi=Yi。 所以 Yi表示在原問題已取得最優(yōu)解情況下，第i種資源改變一個單位時總收益的變化值，即Yi是對第i種資源的一種價格估計。這種價格估計不是第i種資源的實際成本或價值，而是由該企業(yè)在制定產(chǎn)品的收益來估計所用資源的單位價值稱為影子價格。

1.2 影子價格的計算

在經(jīng)營管理過程中，對偶問題的解是影子價格的經(jīng)濟解釋，常用來討論怎樣能獲得最大利潤或者怎樣能使總成本達(dá)到最小，它們是同一經(jīng)營管理過程中的兩種不同的線性規(guī)劃模型。這兩種最優(yōu)化模型從不同角度對一個實際問題提出并進行描述，組成一對互為對偶的線性規(guī)劃，如果把其中一個稱為線性規(guī)劃原問題的話，另一個就稱為它的對偶問題。根據(jù)線性規(guī)劃的最優(yōu)性，可知當(dāng)原問題與對偶問題的目標(biāo)函數(shù)值相等時，即為最優(yōu)解。在線性規(guī)劃中，若原問題的模型是：假設(shè)經(jīng)濟活動過程涉及 n 種活動，其水平用 X=(x1，x2，x3，…，xn)表示，從事這些活動所消耗的資源有m種，資源的供應(yīng)為b=(b1，b2，b3，…，bn)，則使 n 種經(jīng)濟活動達(dá)到最優(yōu)的條件是[2]：

線性規(guī)劃具有對偶性，原問題與對偶問題互為對偶。如果原問題為資源的最優(yōu)使用，求目標(biāo)函數(shù)的極大值；其對偶問題則是資源的恰當(dāng)估價，求目標(biāo)函數(shù)的極小值，這說明對偶問題的對偶變量代表著資源的一種價格。線性規(guī)劃的原問題與對偶問題之間存在對稱關(guān)系，影子價格線性規(guī)劃模型的對偶模型?；谝陨显恚贸鲇白觾r格線性規(guī)劃的對偶問題的模型是：

式中：c為目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，a為約束條件的系統(tǒng)，Z為噸公里數(shù)，CB為對應(yīng)于基變量XB目標(biāo)函數(shù)系統(tǒng)，B為約束條件的系數(shù)矩陣，即

線性規(guī)劃的原問題與對偶問題之間存在對稱的關(guān)系。將原問題引入松弛變量后化成標(biāo)準(zhǔn)形式，通過迭代得出線性規(guī)劃原問題的最優(yōu)解max Z=CBB-1b。根據(jù)線性規(guī)劃的最優(yōu)性，原問題的對偶問題的最優(yōu)解為y*=CBB-1，min W=max Z=CBB-1b，其中yi(i=1，…，m)就是第 i種資源的影子價格，即：

2 影子價格在露天礦生產(chǎn)中的應(yīng)用

對偶解的經(jīng)濟含義就是在給定的生產(chǎn)條件下，資源每增加一個單位時引起目標(biāo)函數(shù)值的增量。代表了對一個單位第i種資源的估價。這種估價不是資源的市場價格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中做出的貢獻(xiàn)而作的估價。通常稱對偶解為影子價格，它表明了對偶解是對生產(chǎn)系統(tǒng)內(nèi)部資源的一種定量估價，具有虛擬性，不是真實的價格?？陀^上，在生產(chǎn)管理系統(tǒng)內(nèi)部資源的影子價格反映了該資源的稀缺程度，影子價格越高，說明該資源對利潤收益的貢獻(xiàn)越大。當(dāng)影子價格不為零，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗盡完畢；當(dāng)影子價格等于零，表明該種資源在生產(chǎn)過程中未得到充分利用，不用補給[3]。

露天礦是一個以采剝?yōu)橹行模赃\輸為紐帶的復(fù)雜大型生產(chǎn)系統(tǒng)。通過應(yīng)用影子價格能合理地增加、減少資源，達(dá)到合理調(diào)配。資源的影子價格又是一種機會成本，露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)中，某種資源的影子價格大于零時，企業(yè)增進該種資源是有利的；反之，企業(yè)暫時不增加甚至可以適當(dāng)減少該資源。影子價格不是固定不變的，當(dāng)約束條件、產(chǎn)品利潤等發(fā)生變化時，有可能使影子價格發(fā)生變化。同一種資源，處于不同的范圍與條件，其影子價格不一定相同，即使在同一范圍內(nèi)，如條件發(fā)生了變化，則各種資源的影子價格也可能發(fā)生變化。因此露天礦企業(yè)可以一直處在“最優(yōu)”的狀態(tài)下，使資源的配置更加合理，并且在資源投入增加時就掌握了主動性，使企業(yè)的利潤不斷提高。

3 應(yīng)用實例

3.1 礦山基本情況

對某露天鐵礦進行實例研究，其主要產(chǎn)品為磁鐵礦，平均地質(zhì)品位30.6%，露天礦有5個鏟點，2個卸點，3臺電鏟，6臺卡車。產(chǎn)量要求分別為：卸點Ⅰ1.40萬噸、卸點Ⅱ1.20萬噸，一個班次工作時間為8 h，如表1所示。

表1 各鏟位和各卸點之間的距離/km

3.2 線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)

在完成卸點產(chǎn)量要求的前提下，綜合運距最小，同時出動最少的電鏟和卡車，從而使運輸成本最小(即噸公里數(shù)最小)，目標(biāo)函數(shù)為：

式中，G為卡車的載重量 135(噸)；Lij為鏟點 i到卸點 j的距離；xij為鏟點i到卸點j的車次數(shù)[4]。則目標(biāo)函數(shù)如下式：

3.3 資源的約束條件

露天礦是一個以采剝?yōu)橹行?，以運輸為紐帶的大型生產(chǎn)系統(tǒng)。采用影響露天礦生產(chǎn)的最關(guān)鍵的資源種類作業(yè)的約束條件[5]。

(1)電鏟約束：一臺電鏟不能同時為兩輛卡車服務(wù)，所以一臺電鏟在一個班次中最大的可能產(chǎn)量為8×20×135(噸)。

(2)卸點約束：對于第i個卸點的噸數(shù)應(yīng)該滿足卸點的產(chǎn)量要求，即1.60萬噸。

(3)卡車約束：該露天礦只有3臺卡車，所以生產(chǎn)的礦石總量應(yīng)該小于卡車的總運載能力。

(4)時間約束：一個班次工作時間為 8 h。對于 i卸點，從鏟點j到卸點一次運輸時間等于裝車時間Ta，卸車時間Tb以及卡車在鏟位和卸點運行時間

3.4 影子價格計算

根據(jù)電鏟、卸點、卡車、時間的資源量作業(yè)限制條件列出條件方程，將條件方程的系數(shù)、資源限量、目標(biāo)函數(shù)組成一個增廣矩陣A。將此矩陣A進行轉(zhuǎn)置，取得轉(zhuǎn)置矩陣AT，求解轉(zhuǎn)置后矩陣即可解出條件方程中各資源的影子價格， 用 Matlab求解得最優(yōu)解為 Y*=(0.32，0，0.27，0.17)通過影子價格可知，增加 1 臺電鏟生產(chǎn)礦石，礦石總產(chǎn)量會增加0.32萬噸；增加1個卸點礦石總產(chǎn)量沒有變化，說明卸點資源不稀缺，如果增加這種資源，只能造成積壓，不會增加產(chǎn)量和效益；增加1臺卡車，總產(chǎn)量會增加0.27萬噸；增加1 h工作時間，總產(chǎn)量會增加0.17萬噸?，F(xiàn)有的資源中卸點相對剩余，因此若增加這種資源，只能造成積壓不會增加產(chǎn)量和效益。

由于影子價格用貨幣表示時，同樣受到通貨膨脹率及供求關(guān)系的影響，所以同其他商品的影子價格一樣，露天礦水價亦具有時限性。由于各地區(qū)礦存儲量與開發(fā)難易程度差別很大，及不同地區(qū)的品位不同和采礦所有的設(shè)備不同，顯然影子價格具有明顯的地區(qū)性，因此求得的影子價格具有地區(qū)性。同樣對于地理位置、天氣情況、電鏟和卡車的工作能力等使得影子價格具有時限性。

通過對大型露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)的研究，提出了影子價格，并以露天鐵礦為例進行了初步研究。結(jié)果表明，這種方法在我國卡車運輸露天礦中具有實用價值，適合露天礦的現(xiàn)在管理水平和管理手段，既能滿足生產(chǎn)需要又能節(jié)省資金并且能合理地進行資源配置，大大提高了露天礦資源的利用率，降低了生產(chǎn)成本。文中所提出的對偶問題和影子價格是對露天礦卡車調(diào)度系統(tǒng)的改進和發(fā)展。

[1]孫效玉，宋守志.露天礦卡車優(yōu)化調(diào)度系統(tǒng)實時調(diào)度方法[J].金屬礦山，2005，35(8)：14-17.

[2]王松林，曹林.基于對偶線性規(guī)劃模型的影子水價計算[J].安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2008，36(16)：6607-6608.

[3] HAMILTON K， BOLT K.Resourcepricetrendsand development prospects[J].Portuguese Economic Journal，2004， 3(2)：51-54.

[4]朱求長.運籌學(xué)及其應(yīng)用[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

[5]王華，劉萬軍.基于貪心算法的露天礦卡車調(diào)度的應(yīng)用

研究[J].微型機與應(yīng)用，2010，29(1)：8-10.