孫春麗 陳森發(fā)

（東南大學(xué)系統(tǒng)工程研究所 南京 211189）

0 引 言

從中國(guó)近幾年交通運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展來(lái)看，各運(yùn)輸方式之間采取動(dòng)態(tài)優(yōu)惠預(yù)售票價(jià)方式吸引更多的旅客，使客票期望收益最大化成為一種有效的競(jìng)爭(zhēng)手段，因此如何根據(jù)市場(chǎng)需求的變化及時(shí)調(diào)整或選擇恰當(dāng)?shù)膭?dòng)態(tài)票價(jià)策略，將成為鐵路企業(yè)增效的一種重要手段.票價(jià)的制定問(wèn)題已有論文討論過(guò)，文獻(xiàn)［1－3］通過(guò)運(yùn)用雙層規(guī)劃模型建立了合理的模型，兼顧了交通部門和乘客的利益，并通過(guò)靈敏度分析方法求出解，但該方法確定的僅僅是單一的票價(jià).文獻(xiàn)［4］通過(guò)建立的馬氏純滅過(guò)程模型求的最優(yōu)動(dòng)態(tài)票價(jià)，但是在該論文中動(dòng)態(tài)票價(jià)集是給定的，而如何確定動(dòng)態(tài)票價(jià)集仍是個(gè)問(wèn)題.本文重點(diǎn)討論中短途公路與鐵路之間的競(jìng)爭(zhēng)，即在前人所提出的雙層規(guī)劃模型和靈敏度分析方法的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)非線性規(guī)劃模型，并對(duì)此進(jìn)行了分析并求得了最優(yōu)動(dòng)態(tài)票價(jià).

1 城市間的多模式均衡配流模型

對(duì)于交通方式選擇問(wèn)題來(lái)說(shuō)，市場(chǎng)份額分為2個(gè)部分：即強(qiáng)迫購(gòu)買部分和自由購(gòu)買部分，將分別對(duì)應(yīng)鐵路、高速公路和航空旅客運(yùn)輸中的穩(wěn)定客戶群與自由選擇客戶群.某種旅客運(yùn)輸方式的穩(wěn)定客戶群是由旅客的經(jīng)濟(jì)狀況、旅客的個(gè)人偏好等原因形成的穩(wěn)定的乘客群，這種穩(wěn)定的乘客群一般不考慮改變旅行的交通方式.自由選擇客戶群將根據(jù)各種旅行方式的旅行時(shí)間、旅行價(jià)格、旅行的準(zhǔn)時(shí)性、旅行的安全性和舒適性等因素形成對(duì)各種交通方式的效能函數(shù)值，并以此來(lái)確定將要選擇的交通方式.綜合考慮到這些因素，能夠得到公路和鐵路的運(yùn)輸方式的效能函數(shù)

式中：ζ為影響旅客運(yùn)輸分擔(dān)比例的因素集合；i為兩種旅客運(yùn)輸方式，i＝1為鐵路，i＝2為公路；Vi為第i種運(yùn)輸方式的效用值；xir為第i種運(yùn)輸方式的第r個(gè)因素的值；βi為xir在效能函數(shù)中的權(quán)重值.

下面，定義變量如下：W 為運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中所有OD對(duì)（從某起點(diǎn)至終點(diǎn)的運(yùn)輸通道成為一個(gè)OD對(duì)）序號(hào)的集合.w為OD對(duì)排列序號(hào)，w∈W；Qw為OD對(duì)w總的客流量；qnw為OD對(duì)w第n種運(yùn)輸方式的客流量，n＝1，2，…，N，N為運(yùn)輸方式總數(shù).

在本文中，假定在多種運(yùn)輸方式的均衡狀態(tài)下，在OD對(duì)w中不同運(yùn)輸方式的客流量滿足Logit分離模型，即

構(gòu)造如下最優(yōu)化模型（M），并且證明這個(gè)模型的解滿足式（2）

本文采用指數(shù)型需求函數(shù)

2 靈敏度分析方法

靈敏度分析方法主要應(yīng)用在變分不等式中.通過(guò)這種方法，可以求出變分不等式的解對(duì)其擾動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù).本文假定這個(gè)擾動(dòng)參數(shù)為旅客票價(jià)，并且假定影響客流變化的其他因素如時(shí)間、舒適性和安全性等均保持不變.

首先，多模式均衡配流模型（M）可表示為

式中：所有的qw∈｛qw（ε）｜Qw＝∧qw（ε）｝.

式中：uw為求解模型時(shí)，對(duì)應(yīng)于約束條件（4）的拉格朗日乘子.詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［6］.

設(shè) y（ε）＝［qw（ε），uw（ε）］T，用Jy（ε）表示式（10）和式（11）對(duì)［qw（ε），uw（ε）］的雅可比矩陣，用Jε（ε）表示式（10）和式（11）對(duì)于ε的雅可比矩陣，那么有如下結(jié)果［6］：

并且有如下結(jié)論

這樣就得到不同運(yùn)輸方式在均衡條件下客流量與擾動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，也就是客流量與旅客票價(jià)之間的關(guān)系.由此可以建立非線性規(guī)劃模型如下.

式中：f為某種運(yùn)輸方式下的經(jīng)營(yíng)收入.y（ε）與ε的關(guān)系如式（13）.ε為擾動(dòng)參數(shù)旅客票價(jià)，y（ε）為相應(yīng)的客流量.

下面在一個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上具體應(yīng)用該非線性規(guī)劃模型，并求得動(dòng)態(tài)票價(jià).實(shí)驗(yàn)表明這個(gè)模型是可行的.

3 算 例

本算例對(duì)于效能函數(shù)來(lái)說(shuō)分別考慮快速性、準(zhǔn)時(shí)性、方便性、舒適性、以及經(jīng)濟(jì)性，各自對(duì)應(yīng)的權(quán)重及數(shù)據(jù)見(jiàn)參考文獻(xiàn)［7］.本文以石家莊到天津之間的運(yùn)輸方式之間，制定合理的動(dòng)態(tài)火車票價(jià)，假設(shè)10天的總客流量為3 000人·次，需求函數(shù)中的β＝1.

表1 各因素的權(quán)重

表2 各因素所對(duì)應(yīng)的屬性值

式中：p1為乘坐汽車的票價(jià)且取p1＝100.

鐵路的效用函數(shù)為

式中：p1，p2，p3分別為不同時(shí)間段提前購(gòu)票所對(duì)應(yīng)的票價(jià)，本文假定各個(gè)時(shí)間段里所對(duì)應(yīng)的權(quán)重比為5∶3∶2.當(dāng)擾動(dòng)參數(shù)為0時(shí)，求的模型（M）的均衡解為

在這個(gè)算例中

所以，公路的效用函數(shù)為

根據(jù)式（15）、（16）、（17）得到Jy（p）和Jp（p）

將q1＊＝1 885，q2＊＝1 015代入Jy（p）得

最后得到

因此得出不同運(yùn)輸方式在市場(chǎng)均衡條件下客流量與旅客票價(jià)之間的關(guān)系

由此可以得出票價(jià)與乘客人數(shù)之間的關(guān)系，本文假定公路票價(jià)是一定值，即p1＝100，下面求火車的動(dòng)態(tài)票價(jià).建立數(shù)學(xué)模型為

式中：y為鐵路部門的總收益，（－75.211 5×p1＋1 015＋84.777 9p21＋50.866 7×p22＋33.911 ×p23）為乘坐火車的客流量，1／2×p21＋3／10× p22＋2／10×p23分別為各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的票價(jià)，前面的系數(shù)為各個(gè)時(shí)間段內(nèi)所占客流量的百分比.此系數(shù)是假定的.

這是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，由于目標(biāo)函數(shù)的hessian矩陣是正定的，所以目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù).又因?yàn)槠浼s束條件也為凸函數(shù)，所以該問(wèn)題的最優(yōu)解即為其K－T點(diǎn).

利用Matlab程序求的最終的結(jié)果為：p21＝51，p22＝56，p23＝64.對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值y＝－160 460，即火車在這種票價(jià)制度下的最佳收益值為160 460元.而目前火車的票價(jià)為50元，按照票價(jià)與客流量之間的關(guān)系可求的，此時(shí)鐵路部門的收益為：99 750元.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用規(guī)劃方法和靈敏度分析方法求出票價(jià)和客流量之間的關(guān)系，并由此建立了一個(gè)非線性規(guī)劃模型，并求出動(dòng)態(tài)票價(jià)的解，數(shù)據(jù)證明實(shí)施動(dòng)態(tài)票價(jià)要比單一票價(jià)鐵路部門的經(jīng)濟(jì)收益高，而且證明此模型具有可行性，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.但是本文仍存在欠缺的地方，本文假定總客流量是一定的，而且各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的客流量比例也是假定的，沒(méi)有考慮到客流量是隨價(jià)格的變動(dòng)而變動(dòng)的，有待進(jìn)一步研究.

［1］高自友，四兵鋒.市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)條件下鐵路旅客票價(jià)制定的模型與算法［J］.交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2001，1（1）：50－55.

［2］四兵鋒，高自友.合理制定鐵路客票價(jià)格的優(yōu)化模型及算法［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2001，9（1）：45－51.

［3］朱玲玲，徐 慶.彈性需求下鐵路票價(jià)和提速策略的優(yōu)化模型［J］.系統(tǒng)工程，2005（4）：69－74.

［4］史 峰，鄭國(guó)華，谷 強(qiáng).鐵路客票最優(yōu)動(dòng)態(tài)票價(jià)理論研究［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2002，24（1）：1－4.

［5］四兵鋒，高自友.鐵路旅客票價(jià)與客流量之間的靈敏度分析［J］.鐵道學(xué)報(bào)，1999，21（4）：13－16.

［6］Tobin R L，F(xiàn)iacco A V.Sensitivity analysis for variational inequalities［J］.Journal of Optimization Theory and Application，1986，48（1）：45－50.

［7］生 璇，佟 瓊.客運(yùn)專線票價(jià)制定及其實(shí)證研究［D］.北京：北京交通大學(xué)產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，2007.